4（2024 临夏州）如图，直线$ l $与$ \odot O $相切于点$ D $，$ AB $为$ \odot O $的直径，过点$ A $作$ AE ⊥ l $于点$ E $，延长$ AB $交直线$ l $于点$ C $．
（1）求证：$ AD $平分$ ∠ CAE $；
（2）若$ BC=1 $，$ DC=3 $，求$ \odot O $的半径．

​$ (1)$​证明：如图，连接​$OD$​∵直线​$l$​与​$\odot O$​相切于点​$D，$​∴​$OD\perp CE$​∵​$AE\perp CE，$​∴​$OD// AE$​∴​$∠ODA=∠EAD$​∵​$OA = OD，$​∴​$∠ODA=∠OAD$​∴​$∠OAD=∠EAD，$​∴​$AD$​平分​$∠CAE$​​$ (2)$​解：设​$\odot O$​的半径为​$r，$​则​$OB = OD = r$​​$ $​在​$Rt\triangle OCD$​中，​$OD = r，$​​$CD = 3，$​​$OC=OB + BC=r + 1$​​$ $​由勾股定理​$OD^2+CD^2=OC^2，$​即​$r^2+3^2=(r + 1)^2，$​解得​$r = 4$​∴​$\odot O$​的半径为​$4$​ ;

5（2024江阴月考）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，以$AB$为直径作$\odot O$，分别交$BC$，$AC$于点$D$，$E$，连接$OD$，$DE$.
（1）求证：$BD=DC$；
（2）若$∠ BAC=40°$，求$∠ ODE$的度数.

​$ (1)$​证明：连接​$AD$​∵​$AB$​是​$\odot O$​的直径，∴​$∠ADB = 90°$​∴​$AD\perp BC$​∵​$AB = AC，$​∴​$BD = DC$​​$ (2)$​解：∵​$AB = AC，$​​$∠BAC = 40°$​∴​$∠B=∠C=\frac 12×(180°-40°) = 70°$​∵​$OD = OB，$​∴​$∠ODB=∠B = 70°$​∵四边形​$ABDE$​是​$\odot O$​的内接四边形∴​$∠BDE+∠BAC = 180°$​∴​$∠BDE = 140°$​∴​$∠ODE=∠BDE-∠ODB=140°-70°=70°$​ ;

6 如图,在等边三角形 ABC 中,AB=6,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 BD=CE,连接 AD,BE 交于点 F,连接 CF,求线段 CF 长的最小值.

解：∵​$△ABC$​是等边三角形∴​$AB=BC=AC，$​​$∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°$​又∵​$BD=CE$​∴​$△ABD≌△BCE(\mathrm {SAS})$​∴​$∠BAD=∠CBE$​又∵​$∠AFE=∠BAD+∠ABE$​∴​$∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC$​∴​$∠AFE=60°$​∴​$∠AFB=120°$​∴点​$F $​的运动轨迹是以​$O$​为圆心，​$OA $​为半径的弧​$(∠AOB=120°，$​​$OA=2 \sqrt {3})$​连接​$OC$​交​$⊙O$​于点​$N$​当点​$F $​与点​$N$​重合时，​$CF $​的值最小，最小值为​$OC-ON=4 \sqrt {3}-2 \sqrt {3}=2 \sqrt {3}$​ ;