1 如图,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D.
(1) 求证:$AC=BD$;
(2) 若$AC=3$,大圆和小圆的半径分别为 6 和 4,求 CD 的长.

证明：​$(1)$​过点​$O$​作​$OH⊥CD$​于点​$H$​∵​$OH⊥CD，$​∴​$CH=DH，$​​$AH=BH$​∴​$AH-CH=BH-DH，$​∴​$AC=BD$​​$(2)$​连接​$OC，$​设​$CH=x$​在​$Rt△OCH$​中，​$OH²=OC²-CH²=4²-x²$​在​$Rt△OAH$​中，​$OH²=OA²-AH²=6²-(3+x)²$​∴​$4²-x=6²-(3+x)²$​解得​$x=\frac {11}{6}$​∴​$CD=2CH=\frac {11}{3}$​ ;

2 如图，$\odot O$的半径为 2，弦$AB=2\sqrt{3}$，点$C$在弦$AB$上，$AC=\frac{1}{4}AB$，求$OC$的长.

解：过点​$O$​作​$OH⊥AB$​于点​$H$​∵​$OH⊥AB$​∴​$AH=BH=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}×2\sqrt {3}=\sqrt 3$​在​$Rt△BOH$​中，​$OB=2，$​​$BH=\sqrt 3$​∴​$OH= \sqrt {OB²-BH²}= \sqrt {2^2-(\sqrt {3})^2}=1$​∵​$AC=\frac {1}{4}AB=\frac {1}{4}×2\sqrt {3}=\frac {\sqrt 3}{2}$​∴​$CH=AH-AC=\sqrt 3-\frac {\sqrt {3}}{2}=\frac {\sqrt {3}}{2}$​在​$Rt△OHC$​中，​$OC= \sqrt {OH^2+CH²} =\sqrt {1^2+(\frac {\sqrt {3}}{2})^2}=\frac {\sqrt 7}2$​ ;

3 如图,AB是$\odot O$的直径,弦$AC// OD$.
(1) 求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$;
(2) 若$\overset{\frown}{AC}$的度数为$58°$,求$∠ AOD$的度数.

证明：​$(1)$​连接​$OC$​∵​$OA=OC$​∴​$∠OAC=∠ACO$​∵​$AC//OD$​∴​$∠OAC=∠BOD，$​​$∠COD=∠ACO$​∴​$∠BOD=∠COD$​∴​$\widehat {BD}=\widehat {CD}$​​$(2)$​∵​$\widehat {BD}=\widehat {CD}$​∴​$\widehat {BD}=\widehat {CD}=\frac {1}{2}\widehat {BC}$​∴​$∠COD=\frac {1}{2}(180°-58°)=61°$​∴​$∠AOD=61°+58°=119°，$​即​$\widehat {AD}$​的度数为​$119°$​ ;