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1[中]数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1 cm，若在数轴上画出一条长为2 023 cm的线段AB，则AB盖住的整点个数是 (
A.2 023 或 2 024
B.2 022 或 2 023
C.2 024
D.2 023
A
)A.2 023 或 2 024
B.2 022 或 2 023
C.2 024
D.2 023
答案
A 【解析】
线段AB的一个端点与数轴上的一个整点重合时，盖住2024个整点；线段AB的一个端点不与数轴上的一个整点重合时，盖住2023个整点。
线段AB的一个端点与数轴上的一个整点重合时，盖住2024个整点；线段AB的一个端点不与数轴上的一个整点重合时，盖住2023个整点。
2[中]如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1 cm），刻度尺上“0 cm”和“3 cm”分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上“3.4 cm”对应数轴上的数为（
A.-0.4
B.-0.6
C.-1.6
D.1.4
A
）A.-0.4
B.-0.6
C.-1.6
D.1.4
答案
A 【解析】刻度尺上“3.4 cm”对应数轴上的点与数轴上原点(刻度尺上“3 cm”对应数轴上的点)的距离为0.4个单位长度,且该点在原点的左侧,故刻度尺上“3.4 cm”对应数轴上的数为-0.4. 故选A.
3[2025山东日照质检,中]已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面,若-1表示的点与3表示的点重合,则5表示的点与数
-3
表示的点重合. 答案
-3 【解析】因为-1表示的点与3表示的点重合,故此折痕经过的点表示的数是1,所以5表示的点与数-3表示的点重合. 故答案为-3.
4[2026山东烟台期中,中]如图,圆的周长为4个单位长度,在该圆的四等分点处按顺时针方向分别标有0,1,2,3四个有理数,先让圆上表示有理数0的点与数轴上表示-1的点重合,再将圆沿着数轴向右滚动,则圆上与数轴上表示2025的点重合的有理数是
2
.答案
2 【解析】由题意可知,数轴上表示1,2,3,4,5,…的点,依次与圆上的2,1,0,3,2,…重合. 因为2 025÷4 = 506……1,所以圆上与数轴上表示2 025的点重合的有理数是2. 故答案为2.
5[2026江苏连云港质检,较难]我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.
同学们都知道,$|x-2|$表示$x$与2的差的绝对值,可理解为$x$与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.同理,$|x-1|+|-2-x|$可理解为在数轴上$x$对应的点分别到1和-2所对应的
点的距离之和.
请你利用数形结合的思想探究下列问题:
(1)和为定值 $|-2-x|+|x-3|$表示数轴上$x$对应的点到-2和3所对应的点的距离之和.若要使得$|-2-x|+|x-3|=5$,请你利用数轴,写出所有符合条件的整数$x$:
(2)偶数个绝对值之和最小 ①$|-3-x|+|x-4|$的最小值是
②$|-7-x|+|-4-x|+|x-2|+|x-5|$的最小值是
(3)奇数个绝对值之和最小 ①$|-6-x|+|-3-x|+|x-2|$的最小值是
②$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取最小值时,$x$的值是
刷素养 走向重高
同学们都知道,$|x-2|$表示$x$与2的差的绝对值,可理解为$x$与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.同理,$|x-1|+|-2-x|$可理解为在数轴上$x$对应的点分别到1和-2所对应的
点的距离之和.
请你利用数形结合的思想探究下列问题:
(1)和为定值 $|-2-x|+|x-3|$表示数轴上$x$对应的点到-2和3所对应的点的距离之和.若要使得$|-2-x|+|x-3|=5$,请你利用数轴,写出所有符合条件的整数$x$:
-2,-1,0,1,2,3
.(2)偶数个绝对值之和最小 ①$|-3-x|+|x-4|$的最小值是
7
,此时$x$的取值范围是-3≤x≤4
.②$|-7-x|+|-4-x|+|x-2|+|x-5|$的最小值是
18
,此时$x$的取值范围是-4≤x≤2
.(3)奇数个绝对值之和最小 ①$|-6-x|+|-3-x|+|x-2|$的最小值是
8
,此时$x$的值是-3
.②$|x-1|+|x-2|+|x-3|+\dots+|x-617|$取最小值时,$x$的值是
309
.刷素养 走向重高
答案
(1)-2,-1,0,1,2,3
(2)①7 -3≤x≤4 ②18 -4≤x≤2
(3)①8 -3 ②309
【解析】(1)|-2-x|+|x-3|=5表示数轴上x对应的点到-2和3对应的点的距离之和为5，-2到3的距离刚好是5，所以所有在-2和3之间（包含端点）的整数都符合条件，即-2,-1,0,1,2,3。
②因为|-7-x|+|-4-x|+|x-2|+|x-5|,所以x在-4和2之间(含-4和2),即-4≤x≤2时,|-7-x|+|-4-x|+|x-2|+|x-5|取得最小值18. 故答案为18,-4≤x≤2.
(3)①|-6-x|+|-3-x|+|x-2|表示数轴上x对应的点到-6,-3和2对应的点的距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是x,点A表示的数是-6,点B表示的数是-3,点C表示的数是2,易得当点P在点B处时,点P到A,B,C三点的距离之和等于A,C两点间的距离;当点P在除点B外的任意位置时,点P到A,B,C三点的距离之和均大于A,C两点间的距离,所以x=-3时,|-6-x|+|-3-x|+|x-2|取得最小值8. 故答案为8,-3.
②因为(1+617)÷2 = 309,所以当x = 309 时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|取到最小值. 故答案为309.
(2)①7 -3≤x≤4 ②18 -4≤x≤2
(3)①8 -3 ②309
【解析】(1)|-2-x|+|x-3|=5表示数轴上x对应的点到-2和3对应的点的距离之和为5，-2到3的距离刚好是5，所以所有在-2和3之间（包含端点）的整数都符合条件，即-2,-1,0,1,2,3。
②因为|-7-x|+|-4-x|+|x-2|+|x-5|,所以x在-4和2之间(含-4和2),即-4≤x≤2时,|-7-x|+|-4-x|+|x-2|+|x-5|取得最小值18. 故答案为18,-4≤x≤2.
(3)①|-6-x|+|-3-x|+|x-2|表示数轴上x对应的点到-6,-3和2对应的点的距离之和. 假设点P在数轴上表示的数是x,点A表示的数是-6,点B表示的数是-3,点C表示的数是2,易得当点P在点B处时,点P到A,B,C三点的距离之和等于A,C两点间的距离;当点P在除点B外的任意位置时,点P到A,B,C三点的距离之和均大于A,C两点间的距离,所以x=-3时,|-6-x|+|-3-x|+|x-2|取得最小值8. 故答案为8,-3.
②因为(1+617)÷2 = 309,所以当x = 309 时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|取到最小值. 故答案为309.
6 核心素养应用意识[2025吉林松原期中,较难]如图(1),将一根木棒放在数轴(单位长度为1)上,木棒左端与数轴上的点A重合,右端与数轴上的点B重合.
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动,则当它的左端移动到点B时,它的右端在数轴上所对应的数为30;若将木棒沿数轴向左水平移动,则当它的右端移动到点A时,它的左端在数轴上所对应的数为3,由此可得这根木棒的长为
(2)仿照(1)的方法,请借助“数轴”这个工具解决问题:一天,爸爸对小明说:“我若是你现在这么大,你才刚出生;你若是我现在这么大,我就84岁啦!”则爸爸的年龄是
(1)若将木棒沿数轴向右水平移动,则当它的左端移动到点B时,它的右端在数轴上所对应的数为30;若将木棒沿数轴向左水平移动,则当它的右端移动到点A时,它的左端在数轴上所对应的数为3,由此可得这根木棒的长为
9
;点A表示的数是12
;点B表示的数是21
.(2)仿照(1)的方法,请借助“数轴”这个工具解决问题:一天,爸爸对小明说:“我若是你现在这么大,你才刚出生;你若是我现在这么大,我就84岁啦!”则爸爸的年龄是
56
岁.(在图(2)中标出分析过程)答案
【解】(1)由题意得三根这样的木棒长为30-3=27,则这根木棒的长为27÷3=9,所以点B表示的数是3+9+9=21,点A表示的数是3+9=12. 故答案为9,12,21.
(2)如图,把小明和爸爸的年龄差看作木棒的长度,同理可得爸爸比小明大84÷3=28(岁),所以爸爸的年龄是84-28=56(岁). 故答案为56.
