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11.「★☆」已知$a=-2026$，$b=\dfrac{1}{2026}$，则多项式$3a^2 + 2ab - a^2 - 3ab - 2a^2$的值为（
A.1
B.-1
C.2026
D.$\dfrac{1}{2026}$
A
）A.1
B.-1
C.2026
D.$\dfrac{1}{2026}$
答案
$3a^2+2ab-a^2-3ab-2a^2=3a^2-a^2-2a^2+2ab-3ab=-ab$,当$a=-2026,b=\frac{1}{2026}$时,原式$=-(-2026)×\frac{1}{2026}=1$,故选 A.
12.「2026山东济宁金乡月考，★☆」若多项式$\frac{1}{2}xy^{|m|}+(m-3)x^2+3$是关于x,y的四次二项式，则m的值为
3
。答案
解析 $\because$多项式$\frac{1}{2}xy^{|m|}+(m-3)x^2+3$是关于$x,y$的四次二项式,
$\therefore |m|=3,m-3=0,\therefore m=3$.故答案为3.
$\therefore |m|=3,m-3=0,\therefore m=3$.故答案为3.
13.「2026山东滨州期中，★☆」若多项式$x^2 - 2kxy + y^2 + 6xy -6$合并同类项后不含$xy$项，则$k=$
3
.答案
解析 $x^2-2kxy+y^2+6xy-6=x^2+(6-2k)xy+y^2-6$,
由题意得$6-2k=0$,
解得$k=3$,故答案为3.
由题意得$6-2k=0$,
解得$k=3$,故答案为3.
14.「2026 陕西咸阳礼泉期中，★☆」已知关于$x,y$的多项式$-5x^2y^{n+1}+xy^2-3x^2-n$的次数是6，且该多项式与关于$x,y$的单项式$3x^{n-2}y^{\frac{m}{2}}$的次数相同.
(1)求$m,n$的值.
(2)求该多项式中含有字母$x$的各项系数的和.
(1)求$m,n$的值.
(2)求该多项式中含有字母$x$的各项系数的和.
答案
解析 (1)$\because$关于$x,y$的多项式$-5x^2y^{n+1}+xy^2-3x^2-n$的次数是6,
$\therefore 2+n+1=6,\therefore n=3$.
由题意可知关于$x,y$的单项式$3x^{n-2}y^{\frac{m}{2}}$的次数为6,
$\therefore n-2+\frac{m}{2}=6$,
$\therefore 3-2+\frac{m}{2}=6$,
$\therefore m=10$.
(2)由(1)知$n=3$,
$\therefore$关于$x,y$的多项式$-5x^2y^{n+1}+xy^2-3x^2-n$为$-5x^2y^4+xy^2-3x^2-3$,
$\therefore$该多项式中含有字母$x$的各项系数为$-5,1,-3$,
$\therefore$该多项式中含有字母$x$的各项系数的和$=-5+1-3=-7$.
$\therefore 2+n+1=6,\therefore n=3$.
由题意可知关于$x,y$的单项式$3x^{n-2}y^{\frac{m}{2}}$的次数为6,
$\therefore n-2+\frac{m}{2}=6$,
$\therefore 3-2+\frac{m}{2}=6$,
$\therefore m=10$.
(2)由(1)知$n=3$,
$\therefore$关于$x,y$的多项式$-5x^2y^{n+1}+xy^2-3x^2-n$为$-5x^2y^4+xy^2-3x^2-3$,
$\therefore$该多项式中含有字母$x$的各项系数为$-5,1,-3$,
$\therefore$该多项式中含有字母$x$的各项系数的和$=-5+1-3=-7$.
15.「★☆」已知$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$是六次四项式，单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与这个多项式的次数相同，求$(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}$的值。
答案
解析 因为多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$是六次四项式,所以$2+m+1=6$,解得$m=3$,
因为单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$的次数相同,
所以$2n+5-m=6$,
所以$2n+5-3=6$,
解得$n=2$,
因为$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,
所以$a+b=0,cd=1$,
所以$(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}$
$=0+3^2-(1-2)^{2025}$
$=9-(-1)$
$=10$.
因为单项式$\frac{7}{2}x^{2n}y^{5-m}$的次数与多项式$-5x^2y^{m+1}+\frac{1}{3}xy^2-\frac{1}{4}x^3+6$的次数相同,
所以$2n+5-m=6$,
所以$2n+5-3=6$,
解得$n=2$,
因为$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,
所以$a+b=0,cd=1$,
所以$(a+b)m+m^n-(cd-n)^{2025}$
$=0+3^2-(1-2)^{2025}$
$=9-(-1)$
$=10$.
16. 核心素养 运算能力 数学课上老师出了这样一道题目：“当$a=-2024,b=3$时，求$2a^3 -3ab -2b^3 -a^3 +2ab -b^3 -a^3 +ab -1$的值。”小王同学把$a=-2024$错抄成了$a=2024$，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？
(1)请你通过化简，说明小王同学计算结果正确的原因。
(2)小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论$x$取何值，多项式$4x^3 +mx -2x +nx^3 +2$的值都不变，求$2m -n$的值。
(1)请你通过化简，说明小王同学计算结果正确的原因。
(2)小红据此又改编了一道题，请你试一试：无论$x$取何值，多项式$4x^3 +mx -2x +nx^3 +2$的值都不变，求$2m -n$的值。
答案
解析 (1)$2a^3-3ab-2b^3-a^3+2ab-b^3-a^3+ab-1$
$=(2a^3-a^3-a^3)+(-3ab+2ab+ab)+(-2b^3-b^3)-1$
$=-3b^3-1$.
因为原式的化简结果中不含$a$,
所以无论$a$取何值,都不会影响计算结果.
(2)$4x^3+mx-2x+nx^3+2=(4+n)x^3+(m-2)x+2$,
因为无论$x$取何值,多项式$4x^3+mx-2x+nx^3+2$的值都不变,
所以$4+n=0,m-2=0$,即$n=-4,m=2$,
所以$2m-n=2×2-(-4)=8$.
$=(2a^3-a^3-a^3)+(-3ab+2ab+ab)+(-2b^3-b^3)-1$
$=-3b^3-1$.
因为原式的化简结果中不含$a$,
所以无论$a$取何值,都不会影响计算结果.
(2)$4x^3+mx-2x+nx^3+2=(4+n)x^3+(m-2)x+2$,
因为无论$x$取何值,多项式$4x^3+mx-2x+nx^3+2$的值都不变,
所以$4+n=0,m-2=0$,即$n=-4,m=2$,
所以$2m-n=2×2-(-4)=8$.
17. 核心 素养 运算能力 已知关于x的整式$(|k|-3)x^3+(k-3)x^2 -k$.
(1)若此整式是二次多项式,求k的值.
(2)若此整式是二项式,求k的值.
(1)若此整式是二次多项式,求k的值.
(2)若此整式是二项式,求k的值.
答案
解析 (1)因为关于$x$的整式$(|k|-3)x^3+(k-3)x^2-k$是二次多项式,
所以$|k|-3=0$,且$k-3\ne0$,解得$k=-3$,
所以$k$的值是$-3$.
(2)因为关于$x$的整式$(|k|-3)x^3+(k-3)x^2-k$是二项式,
所以分三种情况:
①$|k|-3=0,k-3\ne0$,且$-k\ne0$,解得$k=-3$.
②$|k|-3\ne0,k-3=0$,且$-k\ne0$,无符合题意的解.
③$|k|-3\ne0,k-3\ne0$,且$-k=0$,解得$k=0$.
所以$k$的值是$-3$或$0$.
所以$|k|-3=0$,且$k-3\ne0$,解得$k=-3$,
所以$k$的值是$-3$.
(2)因为关于$x$的整式$(|k|-3)x^3+(k-3)x^2-k$是二项式,
所以分三种情况:
①$|k|-3=0,k-3\ne0$,且$-k\ne0$,解得$k=-3$.
②$|k|-3\ne0,k-3=0$,且$-k\ne0$,无符合题意的解.
③$|k|-3\ne0,k-3\ne0$,且$-k=0$,解得$k=0$.
所以$k$的值是$-3$或$0$.
