1 已知抛物线 $y=x^2+(m+1)x-\frac{1}{4}m^2-1$（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m的值为（）

A.$2+\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.2
D.$-2$

1. D

2 如图，P是抛物线$y=-x^2 + x + 3$在第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为。

2. 8

3 如图，抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC。动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m。当点P在线段OB上运动时，线段MN长的最大值为。

3. $\frac{9}{4}$

4 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6\ \mathrm{cm}$,$BC=12\ \mathrm{cm}$.动点$P$从点$A$开始沿$AB$向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度运动(不与点$B$重合),动点$Q$从点$B$开始沿$BC$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动(不与点$C$重合).如果点$P$,$Q$同时出发,那么当四边形$APQC$的面积最小时,要经过s.

4. 3 【解析】设点 P,Q 同时出发,经过 t s 后,四边形 APQC的面积为 S cm²,则 $S=\frac{1}{2}×12×6-\frac{1}{2}(6-t)×2t=t^2-6t+36=(t-3)^2+27.$
∴ 当 t=3 时,S 取得最小值,即要经过 3 s,四边形 APQC 的面积最小.

5 新考向 存在性问题 [2025 龙东地区]如图，抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 交x轴于点A，B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3,－4)。
(1) 求b，c的值。
(2) 在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由。

5. (1)
∵ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为(3,－4),
∴ $y=(x-3)^2-4=x^2-6x+5.$
∴ $b=-6,c=5$ (2) 存在 对于$y=x^2-6x+5$,当$y=0$时,$x^2-6x+5=0$,解得$x_1=1,x_2=5$;当$x=0$时,$y=5.$
∴ $OB=OC=5,AB=5-1=4.$
∵ $∠COB=90°$,
∴ $∠OBC=∠OCB=45°.$ 如图,过点 B 作 x 轴的垂线,在x轴上方的垂线上截取 $BD=BA=4$,连接 AD 与 BC 交于点 E.
∴ $D(5,4),∠DBC=90°-∠OBC=45°=∠OBC.$
∴ $BC⊥AD,ED=EA.$ 过点 D 作 BC 的平行线与抛物线的交点即为 P,连接 PC,PB.
∵ $S_{△BCP}=\frac{1}{2}BC·DE,S_{△BCA}=\frac{1}{2}BC·AE$,
∴ $S_{△BCA}=S_{△BCP}.$ 设直线 $BC:y=mx+n$,则 $\begin{cases}5m+n=0,\\n=5,\end{cases}$
∴ $\begin{cases}m=-1,\\n=5.\end{cases}$
∴ 直线 $BC:y=-x+5.$
∵ $BC// PD$,
∴ 设直线 $PD:y=-x+q$,将 $D(5,4)$ 代入,得 $-5+q=4$,解得 $q=9.$
∴ 直线 $PD:y=-x+9$,与抛物线对应的函数解析式联立,得 $\begin{cases}y=-x+9,\\y=x^2-6x+5.\end{cases}$ 整理,得 $x^2-5x-4=0$,解得 $x=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $x=\frac{5-\sqrt{41}}{2}.$
∴ 点 P 的横坐标为 $\frac{5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $\frac{5-\sqrt{41}}{2}$