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6 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+c(a≠0)$的图象过正方形ABOC的三个顶点A,B,C,则ac的值是（
A.-1
B.2
C.-2
D.-1或-2
C
）A.-1
B.2
C.-2
D.-1或-2
答案
6. C
7 如果一条抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，$[a,b,c]$称为“抛物线三角形系数”。若抛物线三角形系数为$[-1,b,0]$的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值为（
A.$ \pm 2 $
B.$ \pm 3 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
A
）A.$ \pm 2 $
B.$ \pm 3 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $
答案
7. A
8 抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x+4$ 与 $x$ 轴交于 $A$，$B$ 两点(点 $A$ 在点 $B$ 的左侧)，点 $C(2,m)$ 在这条抛物线上.
(1) 点 $C$ 的坐标为________；
(2) 若 $P$ 为 $y$ 轴正半轴上的一点，且 $△ BCP$ 为等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为________.
(1) 点 $C$ 的坐标为________；
(2) 若 $P$ 为 $y$ 轴正半轴上的一点，且 $△ BCP$ 为等腰三角形，则点 $P$ 的坐标为________.
答案
8. (1) (2,4) (2) $(0,2)或(0,\frac{1}{2})$ 【解析】(1)
∵ 点 C(2,m) 在抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$ 上,
∴ $m=-\frac{1}{2}×2^2+2+4=4.$
∴ C(2,4). (2) 令 y=0,则 $-\frac{1}{2}x^2+x+4=0$,解得 x=4 或 x=-2.
∵ 抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+x+4$ 与 x 轴交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧,
∴ B(4,0).由题意,P 为 y 轴正半轴上的一点,△BCP 为等腰三角形,则分情况讨论:① 当 BP=BC 时,如图①,过点 C 作 CD⊥OB 于点 D.
∵ C(2,4),B(4,0),
∴ CD=4,OB=4,OD=2.
∴ CD=OB. 在 Rt△BPO 和 Rt△CBD 中,$\begin{cases}BP=CB,\\OB=DC,\end{cases}$
∴ Rt△BPO ≅ Rt△CBD (HL).
∴ OP=DB.
∵ OB=4,OD=2,
∴ BD=OB-OD=2.
∴ OP=BD=2.
∴ P(0,2).② 当 BP=PC 时,如图②,过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E.
∵ C(2,4),B(4,0),
∴ CE=2,OE=4,OB=4.设点 P(0,a),
∵ P 为 y 轴正半轴上的一点,
∴ OP=a,EP=4-a.
∵ BP=PC,
∴ $BP^2=PC^2.$
∴ $EP^2+CE^2=OP^2+OB^2.$
∴ $(4-a)^2+2^2=a^2+4^2$,解得 $a=\frac{1}{2}.$
∴ $P(0,\frac{1}{2}).$ ③ 易知当 CB=CP 时,不存在符合条件的点 P.综上所述,点 P 的坐标为(0,2)或 $(0,\frac{1}{2}).$
9 如图,抛物线 $y=ax^2+2x+c$ 与y轴相交于点$C(0,3)$,与x轴正半轴相交于点B,与负半轴相交于点$A(-1,0)$.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式.
(2) 如图①,P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作$PD⊥ x$轴,垂足为D,PD与BC的交点为E,设$P(m,n)$.
① 用含m的式子表示:$PD=$
② 若$PE=DE$,求点P的坐标;
③ 若$PE=2DE$,求点P的坐标.
(3) 如图②,若点F在抛物线上,点G在x轴上,当以点B,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形时,求点F的坐标.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式.
(2) 如图①,P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作$PD⊥ x$轴,垂足为D,PD与BC的交点为E,设$P(m,n)$.
① 用含m的式子表示:$PD=$
$-m^2+2m+3$
, $DE=$$-m+3$
;② 若$PE=DE$,求点P的坐标;
③ 若$PE=2DE$,求点P的坐标.
(3) 如图②,若点F在抛物线上,点G在x轴上,当以点B,C,F,G为顶点的四边形是平行四边形时,求点F的坐标.
答案
9. (1) 由题意,得$\begin{cases}a-2+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-1,\\c=3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x+3$ (2) ① $-m^2+2m+3$ $-m+3$ ② 若 $PE=DE$,则 $-m^2+2m+3-(-m+3)=-m+3$,解得 m=3(舍去)或 m=1,即点 P(1,4) ③ 若 $PE=2DE$,则 $-m^2+2m+3-(-m+3)=-2m+6$,解得 m=3(舍去)或 m=2,即点 P(2,3) (3) 设点 F(n,-n²+2n+3),点 G(x,0).当 BC 为对角线时,$3=-n^2+2n+3$,解得 n=0(舍去)或 n=2,即点 F(2,3).当 BF 或 BG 为对角线时,同理可得,$3=-n^2+2n+3$ 或 $0=-n^2+2n+3+3$,解得 n=0(舍去)或 n=2 或 $n=1±\sqrt{7}$,即点 F 的坐标为(2,3) 或 $(1+\sqrt{7},-3)$ 或 $(1-\sqrt{7},-3).$ 综上所述,点 F 的坐标为(2,3) 或 $(1+\sqrt{7},-3)$ 或 $(1-\sqrt{7},-3)$
∴ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-x^2+2x+3$ (2) ① $-m^2+2m+3$ $-m+3$ ② 若 $PE=DE$,则 $-m^2+2m+3-(-m+3)=-m+3$,解得 m=3(舍去)或 m=1,即点 P(1,4) ③ 若 $PE=2DE$,则 $-m^2+2m+3-(-m+3)=-2m+6$,解得 m=3(舍去)或 m=2,即点 P(2,3) (3) 设点 F(n,-n²+2n+3),点 G(x,0).当 BC 为对角线时,$3=-n^2+2n+3$,解得 n=0(舍去)或 n=2,即点 F(2,3).当 BF 或 BG 为对角线时,同理可得,$3=-n^2+2n+3$ 或 $0=-n^2+2n+3+3$,解得 n=0(舍去)或 n=2 或 $n=1±\sqrt{7}$,即点 F 的坐标为(2,3) 或 $(1+\sqrt{7},-3)$ 或 $(1-\sqrt{7},-3).$ 综上所述,点 F 的坐标为(2,3) 或 $(1+\sqrt{7},-3)$ 或 $(1-\sqrt{7},-3)$
