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7 新情境 体育比赛 已知网球比赛场地的长AB为24米(其中A,B为边界点),球场中心的球网OC高度为1米,建立如图所示的平面直角坐标系.运动员从点P(-9,1.5)处击球,网球飞行路线呈抛物线形状,网球飞行过程中在点D(-3,2)处达到最高.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内(含边界),并说明理由.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内(含边界),并说明理由.
答案
7.（1）$\because$ 网球飞行过程中在点 $D(-3,2)$ 处达到最高, $\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x+3)^2+2$. 把 $P(-9,1.5)$ 代入, 得 $1.5=a(-9+3)^2+2$, 解得 $a=-\frac{1}{72}$. $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
（2）此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界) 理由: $\because y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2,\therefore$ 当$x=0$ 时, $y=-\frac{1}{72}×9+2=\frac{15}{8}＞1$. $\therefore$ 网球越过球网. 当 $x=12$时, $y=-\frac{1}{72}×(12+3)^2+2=-\frac{9}{8}＜0,\therefore$ 网球落在对方区域内. $\therefore$ 此次击球越过球网并落在对方区域内.
（2）此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界) 理由: $\because y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2,\therefore$ 当$x=0$ 时, $y=-\frac{1}{72}×9+2=\frac{15}{8}＞1$. $\therefore$ 网球越过球网. 当 $x=12$时, $y=-\frac{1}{72}×(12+3)^2+2=-\frac{9}{8}＜0,\therefore$ 网球落在对方区域内. $\therefore$ 此次击球越过球网并落在对方区域内.
解析
【分析】
（1）已知抛物线的顶点为$D(-3,2)$，因此选用顶点式设二次函数解析式，再将点$P$的坐标代入解析式求解待定系数$a$，即可得到抛物线的函数解析式。（2）判断是否越过球网时，球网对应$x=0$的位置，高度为$1\mathrm{m}$，只需代入$x=0$计算对应的函数值，和$1$比较大小即可；判断是否落在对方区域时，对方场地边界$B$对应$x=12$的位置，代入$x=12$计算对应的函数值，若值小于等于$0$说明网球在$x≤12$处落地，即落在对方区域，结合两个判断即可得出结论。
【解析】
（1）$\because$ 网球飞行的最高点为$D(-3,2)$，即抛物线顶点为$(-3,2)$
$\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+3)^2+2\ (a≠0)$
将$P(-9,1.5)$代入解析式，得：
$1.5=a×(-9+3)^2+2$
整理得$36a=-0.5$
解得$a=-\frac{1}{72}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
（2）此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界)，理由如下：
球网位于$x=0$处，高度为$1\mathrm{m}$，当$x=0$时：
$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}$
$\because \frac{15}{8}＞1$，$\therefore$ 网球能越过球网。
对方场地边界点$B$坐标为$(12,0)$，当$x=12$时：
$y=-\frac{1}{72}×(12+3)^2+2=-\frac{9}{8}$
$\because -\frac{9}{8}＜0$，说明网球在$x＜12$的位置已经落地，即落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
（2）此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界)
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数求值
【点评】
本题结合网球比赛的生活化情境考查二次函数的应用，解题核心是将实际场景的特征转化为坐标系中的坐标关系，通过代入计算函数值即可完成判断，贴近生活且考查内容基础。
【难度系数】
0.75
（1）已知抛物线的顶点为$D(-3,2)$，因此选用顶点式设二次函数解析式，再将点$P$的坐标代入解析式求解待定系数$a$，即可得到抛物线的函数解析式。（2）判断是否越过球网时，球网对应$x=0$的位置，高度为$1\mathrm{m}$，只需代入$x=0$计算对应的函数值，和$1$比较大小即可；判断是否落在对方区域时，对方场地边界$B$对应$x=12$的位置，代入$x=12$计算对应的函数值，若值小于等于$0$说明网球在$x≤12$处落地，即落在对方区域，结合两个判断即可得出结论。
【解析】
（1）$\because$ 网球飞行的最高点为$D(-3,2)$，即抛物线顶点为$(-3,2)$
$\therefore$ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x+3)^2+2\ (a≠0)$
将$P(-9,1.5)$代入解析式，得：
$1.5=a×(-9+3)^2+2$
整理得$36a=-0.5$
解得$a=-\frac{1}{72}$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
（2）此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界)，理由如下：
球网位于$x=0$处，高度为$1\mathrm{m}$，当$x=0$时：
$y=-\frac{1}{72}×(0+3)^2+2=\frac{15}{8}$
$\because \frac{15}{8}＞1$，$\therefore$ 网球能越过球网。
对方场地边界点$B$坐标为$(12,0)$，当$x=12$时：
$y=-\frac{1}{72}×(12+3)^2+2=-\frac{9}{8}$
$\because -\frac{9}{8}＜0$，说明网球在$x＜12$的位置已经落地，即落在对方区域内。
综上，此次击球越过球网并落在对方区域内。
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{72}(x+3)^2+2$
（2）此次击球越过球网并落在对方区域内(含边界)
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数求值
【点评】
本题结合网球比赛的生活化情境考查二次函数的应用，解题核心是将实际场景的特征转化为坐标系中的坐标关系，通过代入计算函数值即可完成判断，贴近生活且考查内容基础。
【难度系数】
0.75
8 一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形。当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m。已知球门OB高为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
（3）若要让球恰好擦着球门顶端射入，小明需要带球向正后方移动多少米？
（1）求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
（3）若要让球恰好擦着球门顶端射入，小明需要带球向正后方移动多少米？
答案
8.（1）由题意,得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$. 设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-2)^2+3$. 把 $A(8,0)$ 代入, 得 $36a+3=0$,解得 $a=-\frac{1}{12}$. $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$. 当 $x=0$ 时, 易得 $y=\frac{8}{3}＞2.44,\therefore$ 球不能射进球门
（2）设小明带球向正后方移动 $m$ m, 则移动后的抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$. 把 $(0,2.25)$ 代入, 得$2.25=-\frac{1}{12}(-2-m)^2+3$, 解得 $m_1=-5$(不合题意,舍去),$m_2=1$. $\therefore$ 当时他应该带球向正后方移动 1 m 射门
（3）设小明向正后方移动 $n$ m$(n＞0)$, 则新抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}[x-(2+n)]^2+3$. $\because$ 球恰好擦着球门顶端射入, 即新抛物线经过点$(0,2.44),\therefore 2.44=-\frac{1}{12}[0-(2+n)]^2+3$, 解得$n=\frac{2\sqrt{42}}{5}-2$(负值舍去), $\therefore$ 小明需要带球向正后方移动$(\frac{2\sqrt{42}}{5}-2)\mathrm{m}$射门,足球就能恰好擦着球门顶端射入
（2）设小明带球向正后方移动 $m$ m, 则移动后的抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$. 把 $(0,2.25)$ 代入, 得$2.25=-\frac{1}{12}(-2-m)^2+3$, 解得 $m_1=-5$(不合题意,舍去),$m_2=1$. $\therefore$ 当时他应该带球向正后方移动 1 m 射门
（3）设小明向正后方移动 $n$ m$(n＞0)$, 则新抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}[x-(2+n)]^2+3$. $\because$ 球恰好擦着球门顶端射入, 即新抛物线经过点$(0,2.44),\therefore 2.44=-\frac{1}{12}[0-(2+n)]^2+3$, 解得$n=\frac{2\sqrt{42}}{5}-2$(负值舍去), $\therefore$ 小明需要带球向正后方移动$(\frac{2\sqrt{42}}{5}-2)\mathrm{m}$射门,足球就能恰好擦着球门顶端射入
解析
【分析】
（1）首先根据题意确定抛物线的顶点坐标，选择顶点式设函数解析式，将已知点A代入求出未知系数，再计算x=0时的函数值，和球门高度对比即可判断能否进球。
（2）抛物线形状、最大高度不变说明二次项系数不变，向正后方移动相当于抛物线向右平移，设出平移距离后写出新的抛物线解析式，将点(0,2.25)代入求解，结合实际意义舍去负根即可。
（3）思路同第（2）问，球擦着球门顶端射入说明新抛物线过点(0,2.44)，代入新解析式求解，舍去不符合题意的根即可得到移动距离。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-2)^2+3$。
把 $A(8,0)$ 代入解析式，得 $36a+3=0$，解得 $a=-\frac{1}{12}$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
当 $x=0$ 时，代入得$y=-\frac{1}{12}× (-2)^2+3=\frac{8}{3}$，$\because \frac{8}{3}\approx2.67＞2.44$，$\therefore$ 球不能射进球门。
（2）设小明带球向正后方移动 $m$ m，移动后抛物线形状、最大高度不变，因此新抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$。
把 $(0,2.25)$ 代入解析式，得$2.25=-\frac{1}{12}(-2-m)^2+3$，整理得$(m+2)^2=9$，解得 $m_1=-5$(不合题意，舍去)，$m_2=1$。
$\therefore$ 他应该带球向正后方移动1m射门。
（3）设小明向正后方移动 $n$ m$(n＞0)$，则新抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}[x-(2+n)]^2+3$。
$\because$ 球恰好擦着球门顶端射入，即新抛物线经过点$(0,2.44)$，代入得$2.44=-\frac{1}{12}[0-(2+n)]^2+3$，整理得$(n+2)^2=\frac{168}{25}$，解得$n=\frac{2\sqrt{42}}{5}-2$(负值舍去)。
$\therefore$ 小明需要带球向正后方移动$(\frac{2\sqrt{42}}{5}-2)\mathrm{m}$。
【答案】
（1）抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3}$，球不能射进球门；
（2）应带球向正后方移动$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$；
（3）需要带球向正后方移动$\boldsymbol{(\frac{2\sqrt{42}}{5}-2)\mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数顶点式应用，二次函数图像平移，二次函数实际建模
【点评】本题结合体育场景考查二次函数的实际应用，重点考查顶点式的用法和函数平移规律，解题时需注意结合实际意义对根进行取舍，能很好地锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据题意确定抛物线的顶点坐标，选择顶点式设函数解析式，将已知点A代入求出未知系数，再计算x=0时的函数值，和球门高度对比即可判断能否进球。
（2）抛物线形状、最大高度不变说明二次项系数不变，向正后方移动相当于抛物线向右平移，设出平移距离后写出新的抛物线解析式，将点(0,2.25)代入求解，结合实际意义舍去负根即可。
（3）思路同第（2）问，球擦着球门顶端射入说明新抛物线过点(0,2.44)，代入新解析式求解，舍去不符合题意的根即可得到移动距离。
【解析】
（1）由题意得抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，设抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x-2)^2+3$。
把 $A(8,0)$ 代入解析式，得 $36a+3=0$，解得 $a=-\frac{1}{12}$。
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3$。
当 $x=0$ 时，代入得$y=-\frac{1}{12}× (-2)^2+3=\frac{8}{3}$，$\because \frac{8}{3}\approx2.67＞2.44$，$\therefore$ 球不能射进球门。
（2）设小明带球向正后方移动 $m$ m，移动后抛物线形状、最大高度不变，因此新抛物线对应的函数解析式为 $y=-\frac{1}{12}(x-2-m)^2+3$。
把 $(0,2.25)$ 代入解析式，得$2.25=-\frac{1}{12}(-2-m)^2+3$，整理得$(m+2)^2=9$，解得 $m_1=-5$(不合题意，舍去)，$m_2=1$。
$\therefore$ 他应该带球向正后方移动1m射门。
（3）设小明向正后方移动 $n$ m$(n＞0)$，则新抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{12}[x-(2+n)]^2+3$。
$\because$ 球恰好擦着球门顶端射入，即新抛物线经过点$(0,2.44)$，代入得$2.44=-\frac{1}{12}[0-(2+n)]^2+3$，整理得$(n+2)^2=\frac{168}{25}$，解得$n=\frac{2\sqrt{42}}{5}-2$(负值舍去)。
$\therefore$ 小明需要带球向正后方移动$(\frac{2\sqrt{42}}{5}-2)\mathrm{m}$。
【答案】
（1）抛物线解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{12}(x-2)^2+3}$，球不能射进球门；
（2）应带球向正后方移动$\boldsymbol{1\ \mathrm{m}}$；
（3）需要带球向正后方移动$\boldsymbol{(\frac{2\sqrt{42}}{5}-2)\mathrm{m}}$。
【知识点】
二次函数顶点式应用，二次函数图像平移，二次函数实际建模
【点评】本题结合体育场景考查二次函数的实际应用，重点考查顶点式的用法和函数平移规律，解题时需注意结合实际意义对根进行取舍，能很好地锻炼数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
