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12（易错题）若$y=(a+4)x^{|a|-2}+5x-8$是关于x的二次函数，则a的值为（
A.$-4$
B.$4$
C.$\pm4$
D.$\pm2$
B
）A.$-4$
B.$4$
C.$\pm4$
D.$\pm2$
答案
12.B
易错分析：忽视二次函数解析式中二次项系数不为0致错。
易错分析：忽视二次函数解析式中二次项系数不为0致错。
解析
【分析】
要确定a的值，需结合二次函数的定义思考：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，函数就不属于二次函数）。我们先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$y=(a+4)x^{|a|-2}+5x-8$是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$\left|a\right|-2=2$
解该绝对值方程可得：$\left|a\right|=4$，即$a=4$或$a=-4$
2. 二次项系数不为0：$a+4≠0$
解得：$a≠-4$
综合两个条件，排除$a=-4$，因此$a=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数概念相关的基础易错题，解题时要注意二次函数的两个成立条件缺一不可，不少同学容易忽略二次项系数不为0的限制，仅根据次数要求错选C，做题时要养成验证所有限制条件的习惯。
【难度系数】
0.6
要确定a的值，需结合二次函数的定义思考：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，函数就不属于二次函数）。我们先根据次数要求列方程求出a的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵$y=(a+4)x^{|a|-2}+5x-8$是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：$\left|a\right|-2=2$
解该绝对值方程可得：$\left|a\right|=4$，即$a=4$或$a=-4$
2. 二次项系数不为0：$a+4≠0$
解得：$a≠-4$
综合两个条件，排除$a=-4$，因此$a=4$。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数概念相关的基础易错题，解题时要注意二次函数的两个成立条件缺一不可，不少同学容易忽略二次项系数不为0的限制，仅根据次数要求错选C，做题时要养成验证所有限制条件的习惯。
【难度系数】
0.6
13 如图, 在四边形 ABCD 中, ∠BAD = ∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC.设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数解析式为 (
A.$y=\frac{2}{25}x^2$
B.$y=\frac{4}{25}x^2$
C.$y=\frac{2}{5}x^2$
D.$y=\frac{4}{5}x^2$
C
)A.$y=\frac{2}{25}x^2$
B.$y=\frac{4}{25}x^2$
C.$y=\frac{2}{5}x^2$
D.$y=\frac{4}{5}x^2$
答案
13.C 【解析】如图,过点 D 作 $DE⊥ AC$ 于点 E. 设 $BC=a$,则 $AC=4a$. $\because ∠ BAD=90°,∠ DEA=90°,\therefore$ 易得 $∠ BAC=∠ ADE$. 又$\because ∠ ACB=∠ DEA=90°,AB=DA,\therefore △ ABC≌△ DAE$. $\therefore BC=AE=a,AC=DE=4a$. $\therefore EC=AC-AE=4a-a=3a$. 在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中,$DC=\sqrt{EC^2+DE^2}=5a,\therefore x=5a$,即 $a=\frac{1}{5}x$. $\therefore y=\frac{1}{2} · a · 4a + \frac{1}{2} · 4a · 4a = 10a^2=\frac{2}{5}x^2$,即 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式为 $y=\frac{2}{5}x^2$.
解析
【分析】
遇到有一组相等边和多个直角的几何题，可通过作垂线构造全等三角形转化边的关系：首先过点D作DE⊥AC，利用同角的余角相等得到一组角相等，结合已知直角和AB=AD，证明△ABC和△DAE全等，即可将BC、AC的长度转化到△DAE的边上；再设BC为参数a，用a表示出AC、DE、EC的长度，通过勾股定理建立CD（即x）和a的关系，最后将四边形拆分为两个三角形计算面积，把a用x替换即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
过点D作$DE⊥ AC$于点E，设 $BC=a$，则 $AC=4a$。
$\because ∠ BAD=90°,∠ DEA=90°$，
$\therefore ∠BAC + ∠DAE = 90°$，$∠ADE + ∠DAE = 90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ADE$。
又$\because ∠ ACB=∠ DEA=90°,AB=DA$，
$\therefore △ ABC≌△ DAE \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore BC=AE=a,AC=DE=4a$。
$\therefore EC=AC-AE=4a-a=3a$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{EC^2+DE^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$，
$\therefore x=5a$，即 $a=\frac{1}{5}x$。
四边形ABCD的面积$y=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$，
代入面积公式得：
$y=\frac{1}{2} · AC · BC + \frac{1}{2} · AC · DE = \frac{1}{2} · 4a · a + \frac{1}{2} · 4a · 4a = 2a^2 + 8a^2 = 10a^2$，
将$a=\frac{1}{5}x$代入得：$y=10× (\frac{x}{5})^2=\frac{2}{5}x^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数解析式
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，实现边的转化，再用参数法结合勾股定理建立未知量之间的关系，最后代入面积公式求解函数解析式，能有效考查学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
遇到有一组相等边和多个直角的几何题，可通过作垂线构造全等三角形转化边的关系：首先过点D作DE⊥AC，利用同角的余角相等得到一组角相等，结合已知直角和AB=AD，证明△ABC和△DAE全等，即可将BC、AC的长度转化到△DAE的边上；再设BC为参数a，用a表示出AC、DE、EC的长度，通过勾股定理建立CD（即x）和a的关系，最后将四边形拆分为两个三角形计算面积，把a用x替换即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
过点D作$DE⊥ AC$于点E，设 $BC=a$，则 $AC=4a$。
$\because ∠ BAD=90°,∠ DEA=90°$，
$\therefore ∠BAC + ∠DAE = 90°$，$∠ADE + ∠DAE = 90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ ADE$。
又$\because ∠ ACB=∠ DEA=90°,AB=DA$，
$\therefore △ ABC≌△ DAE \ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore BC=AE=a,AC=DE=4a$。
$\therefore EC=AC-AE=4a-a=3a$。
在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中，由勾股定理得：
$DC=\sqrt{EC^2+DE^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$，
$\therefore x=5a$，即 $a=\frac{1}{5}x$。
四边形ABCD的面积$y=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$，
代入面积公式得：
$y=\frac{1}{2} · AC · BC + \frac{1}{2} · AC · DE = \frac{1}{2} · 4a · a + \frac{1}{2} · 4a · 4a = 2a^2 + 8a^2 = 10a^2$，
将$a=\frac{1}{5}x$代入得：$y=10× (\frac{x}{5})^2=\frac{2}{5}x^2$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数解析式
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，实现边的转化，再用参数法结合勾股定理建立未知量之间的关系，最后代入面积公式求解函数解析式，能有效考查学生的逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
14 把$y=(3x-2)(x+3)$化成$y=ax^2+bx+c$的形式为
$y=3x^2+7x-6$
，其一次项系数与常数项的和为$1$
。答案
14.$y=3x^2+7x-6$ 1
解析
【分析】
本题分为两步求解，第一步需将因式乘积形式的函数展开化简为二次函数的一般形式，解题时运用多项式乘多项式的运算法则逐项相乘后合并同类项即可；第二步要先准确识别一般式中的一次项系数和常数项，注意常数项的符号，再将两个数值相加得到结果。
【解析】
1. 将$y=(3x-2)(x+3)$展开为$y=ax^2+bx+c$的形式：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$\begin{aligned}y&=3x· x + 3x×3 + (-2)· x + (-2)×3\\&=3x^2 +9x -2x -6\end{aligned}$
合并同类项后得：$y=3x^2 +7x -6$。
2. 计算一次项系数与常数项的和：
在$y=3x^2 +7x -6$中，一次项系数为$7$，常数项为$-6$，
则二者的和为$7 + (-6) = 1$。
【答案】
$y=3x^2+7x-6$；$1$
【知识点】
多项式乘多项式运算；二次函数一般式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式乘法的运用和二次函数基本形式的识别，解题时需注意展开运算时的符号问题，避免因常数项符号写错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
本题分为两步求解，第一步需将因式乘积形式的函数展开化简为二次函数的一般形式，解题时运用多项式乘多项式的运算法则逐项相乘后合并同类项即可；第二步要先准确识别一般式中的一次项系数和常数项，注意常数项的符号，再将两个数值相加得到结果。
【解析】
1. 将$y=(3x-2)(x+3)$展开为$y=ax^2+bx+c$的形式：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$\begin{aligned}y&=3x· x + 3x×3 + (-2)· x + (-2)×3\\&=3x^2 +9x -2x -6\end{aligned}$
合并同类项后得：$y=3x^2 +7x -6$。
2. 计算一次项系数与常数项的和：
在$y=3x^2 +7x -6$中，一次项系数为$7$，常数项为$-6$，
则二者的和为$7 + (-6) = 1$。
【答案】
$y=3x^2+7x-6$；$1$
【知识点】
多项式乘多项式运算；二次函数一般式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查整式乘法的运用和二次函数基本形式的识别，解题时需注意展开运算时的符号问题，避免因常数项符号写错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
15 已知$y$与$x^2$成正比例关系，并且当$x=-1$时，$y=-\dfrac{1}{3}$，则当$x=-3$时，$y$的值为
$-3$
。答案
15.$-3$
解析
【分析】
首先根据y与x²成正比例的条件，利用正比例关系的定义设出函数解析式为y=kx²（k≠0，k为常数）；再将已知的x=-1、y=-1/3代入解析式，求出未知系数k的值，得到完整的函数表达式；最后将x=-3代入已求出的函数表达式，计算即可得到对应的y值。
【解析】
解：
∵ y与x²成正比例关系，
∴ 设函数解析式为$y=kx^2$（$k≠ 0$，$k$为常数），
将$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{3}$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{3}=k× (-1)^2$，
解得$k=-\dfrac{1}{3}$，
∴ 函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2$，
当$x=-3$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{3}× (-3)^2=-\dfrac{1}{3}×9=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
正比例关系，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题考查正比例关系的应用及待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确根据正比例关系列出函数表达式，代入求值时注意符号运算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
首先根据y与x²成正比例的条件，利用正比例关系的定义设出函数解析式为y=kx²（k≠0，k为常数）；再将已知的x=-1、y=-1/3代入解析式，求出未知系数k的值，得到完整的函数表达式；最后将x=-3代入已求出的函数表达式，计算即可得到对应的y值。
【解析】
解：
∵ y与x²成正比例关系，
∴ 设函数解析式为$y=kx^2$（$k≠ 0$，$k$为常数），
将$x=-1$，$y=-\dfrac{1}{3}$代入解析式得：
$-\dfrac{1}{3}=k× (-1)^2$，
解得$k=-\dfrac{1}{3}$，
∴ 函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2$，
当$x=-3$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{1}{3}× (-3)^2=-\dfrac{1}{3}×9=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
正比例关系，待定系数法，函数值计算
【点评】
本题考查正比例关系的应用及待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确根据正比例关系列出函数表达式，代入求值时注意符号运算，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
16 已知函数$y=(m^2 - m)x^2 + (m - 1)x - 2$（m为常数）.
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围.
（1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围.
答案
16. (1) 由题意，得 $\begin{cases}m^2 - m = 0,\\m - 1≠ 0,\end{cases}$ 解得 $m=0$ (2) 由题意，得 $m^2 - m≠ 0$. $\therefore m≠ 0$ 且 $m≠ 1$
解析
【分析】
（1）要确定函数为一次函数时m的值，需结合一次函数的定义思考：一次函数中自变量的最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此本题需满足二次项系数为0，同时一次项系数不为0，联立条件求解即可。
（2）要确定函数为二次函数时m的取值范围，结合二次函数的定义：二次函数中自变量的最高次数为2，因此只需满足二次项系数不为0，解对应的不等式即可得到结果。
【解析】
（1）若函数是关于x的一次函数，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列方程组得：
$\begin{cases}m^2 - m = 0\\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$。
结合$m - 1 ≠ 0$即$m ≠ 1$，舍去$m=1$，因此$m=0$。
（2）若函数是关于x的二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1) ≠ 0$，因此$m ≠ 0$且$m ≠ 1$。
【答案】
(1) $m=0$；(2) $m≠0$且$m≠1$
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 二次函数的定义
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查一次函数和二次函数的定义辨析，解题的关键是明确不同函数类型对对应项系数的限制条件，注意不要遗漏一次项系数不为0的要求，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）要确定函数为一次函数时m的值，需结合一次函数的定义思考：一次函数中自变量的最高次数为1，且一次项系数不能为0，因此本题需满足二次项系数为0，同时一次项系数不为0，联立条件求解即可。
（2）要确定函数为二次函数时m的取值范围，结合二次函数的定义：二次函数中自变量的最高次数为2，因此只需满足二次项系数不为0，解对应的不等式即可得到结果。
【解析】
（1）若函数是关于x的一次函数，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列方程组得：
$\begin{cases}m^2 - m = 0\\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 - m = 0$，因式分解得$m(m-1)=0$，解得$m=0$或$m=1$。
结合$m - 1 ≠ 0$即$m ≠ 1$，舍去$m=1$，因此$m=0$。
（2）若函数是关于x的二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m^2 - m ≠ 0$
因式分解得$m(m-1) ≠ 0$，因此$m ≠ 0$且$m ≠ 1$。
【答案】
(1) $m=0$；(2) $m≠0$且$m≠1$
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 二次函数的定义
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查一次函数和二次函数的定义辨析，解题的关键是明确不同函数类型对对应项系数的限制条件，注意不要遗漏一次项系数不为0的要求，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
17 如图,利用一面长为 34 m 的墙,用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ABCD,在边 AB 和 BC 上各有一个 2 m 宽的小门(不用铁栅栏).若所用铁栅栏的长为 40 m,矩形 ABCD 的边 AD 的长为 x m,边 CD 的长为 y m,矩形的面积为 S m²,且 x＜y.
(1) 求 S 与 x 之间的函数解析式;
(2) 直接写出自变量 x 的取值范围.
(1) 求 S 与 x 之间的函数解析式;
(2) 直接写出自变量 x 的取值范围.
答案
17. (1) 根据题意，得 $S=xy=x(40+2×2-2x)=-2x^2+44x$ (2) 自变量 $x$ 的取值范围是 $5≤ x＜\frac{44}{3}$
解析
【分析】
（1）要推导面积S与x的函数解析式，首先需根据铁栅栏总长和小门宽度建立x和y的等量关系：矩形中AD=BC=x，AB=CD=y，AB、BC各有2m宽的小门无需铁栅栏，因此铁栅栏总长等于AD长度、扣除小门后的BC长度、扣除小门后的AB长度之和，据此先求出y关于x的表达式，再结合矩形面积公式即可得到S与x的函数关系。
（2）求自变量x的取值范围需结合实际限制条件：一是靠墙的CD边长度不能超过墙的总长34m；二是题目给出的x＜y的要求；三是矩形边长需为正数，联立上述条件解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，矩形ABCD中AD=BC=x m，AB=CD=y m。
因为AB、BC各有2m宽的小门不用铁栅栏，铁栅栏总长为40m，因此列等式：
$x + (x-2) + (y-2) = 40$
整理得：$2x + y = 44$，即$y=44-2x$。
根据矩形面积公式$S=AD· CD$，代入$y=44-2x$得：
$S = x(44-2x) = -2x^2 + 44x$。
(2) 结合实际条件列不等式组：
① 靠墙边CD不超过墙长：$y≤34$，即$44-2x≤34$，解得$x≥5$；
② 题目要求$x＜y$，即$x＜44-2x$，解得$x＜\frac{44}{3}$；
③ 边长为正，$x＞0$且$y=44-2x＞0$，解得$x＜22$，该条件已被$x＜\frac{44}{3}$覆盖。
综上可得自变量x的取值范围。
【答案】
(1) $S=-2x^2+44x$
(2) $5≤ x＜\dfrac{44}{3}$
【知识点】
二次函数实际应用，一元一次不等式组，矩形周长与面积
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是准确梳理栅栏长度与矩形边长的等量关系，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略墙长、边长为正等隐含条件。
【难度系数】
0.7
（1）要推导面积S与x的函数解析式，首先需根据铁栅栏总长和小门宽度建立x和y的等量关系：矩形中AD=BC=x，AB=CD=y，AB、BC各有2m宽的小门无需铁栅栏，因此铁栅栏总长等于AD长度、扣除小门后的BC长度、扣除小门后的AB长度之和，据此先求出y关于x的表达式，再结合矩形面积公式即可得到S与x的函数关系。
（2）求自变量x的取值范围需结合实际限制条件：一是靠墙的CD边长度不能超过墙的总长34m；二是题目给出的x＜y的要求；三是矩形边长需为正数，联立上述条件解不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得，矩形ABCD中AD=BC=x m，AB=CD=y m。
因为AB、BC各有2m宽的小门不用铁栅栏，铁栅栏总长为40m，因此列等式：
$x + (x-2) + (y-2) = 40$
整理得：$2x + y = 44$，即$y=44-2x$。
根据矩形面积公式$S=AD· CD$，代入$y=44-2x$得：
$S = x(44-2x) = -2x^2 + 44x$。
(2) 结合实际条件列不等式组：
① 靠墙边CD不超过墙长：$y≤34$，即$44-2x≤34$，解得$x≥5$；
② 题目要求$x＜y$，即$x＜44-2x$，解得$x＜\frac{44}{3}$；
③ 边长为正，$x＞0$且$y=44-2x＞0$，解得$x＜22$，该条件已被$x＜\frac{44}{3}$覆盖。
综上可得自变量x的取值范围。
【答案】
(1) $S=-2x^2+44x$
(2) $5≤ x＜\dfrac{44}{3}$
【知识点】
二次函数实际应用，一元一次不等式组，矩形周长与面积
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是准确梳理栅栏长度与矩形边长的等量关系，同时要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略墙长、边长为正等隐含条件。
【难度系数】
0.7
18 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，动点P，Q同时从点A出发，以1 cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动。设运动时间为x s，由点P，B，D，Q确定的封闭图形的面积为y cm²，求y关于x(0≤x≤8，且x≠4)的函数解析式。
答案
18. 由题意,可知当 $0≤ x＜4$ 时,$AP=AQ=x\ \mathrm{cm},\therefore y=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}x^2=8-\frac{1}{2}x^2$. 当 $4＜x≤8$ 时,$CQ=CP=4+4-x=(8-x)\mathrm{cm},\therefore y=\frac{1}{2}×4×4-\frac{1}{2}(8-x)^2=-\frac{1}{2}x^2+8x-24$. 综上所述, $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\begin{cases}8-\dfrac{1}{2}x^2(0≤ x＜4),\\-\dfrac{1}{2}x^2+8x-24(4＜x≤8)\end{cases}$
解析
【分析】
本题是结合动点的分段函数求解问题，解题需按动点位置分阶段讨论：首先确定分界点为x=4，此时点P到达点B、点Q到达点D，四点无法构成封闭图形，因此分$0≤x＜4$和$4＜x≤8$两个阶段计算。每个阶段采用割补法，用$△ ABD$（或$△ BCD$）的固定面积减去空白小等腰直角三角形的面积，即可得到所求封闭图形的面积y，进而整理得到对应的函数解析式。
【解析】
解：根据动点P、Q的位置分两种情况讨论：
① 当 $0≤ x＜4$ 时，点P在AB边上，点Q在AD边上，$AP=AQ=x\ \mathrm{cm}$。
正方形ABCD中，$△ ABD$ 的面积为 $\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm^2}$，空白$△ APQ$为等腰直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm^2}$。
因此封闭图形面积 $y=8-\frac{1}{2}x^2$。
② 当 $4＜x≤8$ 时，点P在BC边上，点Q在DC边上，点P、Q的运动路程均为$x\ \mathrm{cm}$，因此 $CQ=CP=4+4-x=(8-x)\mathrm{cm}$。
正方形ABCD中，$△ BCD$ 的面积为 $\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm^2}$，空白$△ CPQ$为等腰直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}(8-x)^2\ \mathrm{cm^2}$。
因此封闭图形面积 $y=8-\frac{1}{2}(8-x)^2=-\frac{1}{2}x^2+8x-24$。
【答案】
$y=\begin{cases}8-\dfrac{1}{2}x^2&(0≤ x＜4)\\-\dfrac{1}{2}x^2+8x-24&(4＜x≤8)\end{cases}$
【知识点】
分段函数求解，二次函数解析式，图形面积计算
【点评】
本题结合动点运动场景，考察不规则图形面积计算和分段二次函数的列写，解题的核心是准确根据动点的位置划分讨论区间，利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，计算时需注意区间端点的取值是否符合题意。
【难度系数】
0.7
本题是结合动点的分段函数求解问题，解题需按动点位置分阶段讨论：首先确定分界点为x=4，此时点P到达点B、点Q到达点D，四点无法构成封闭图形，因此分$0≤x＜4$和$4＜x≤8$两个阶段计算。每个阶段采用割补法，用$△ ABD$（或$△ BCD$）的固定面积减去空白小等腰直角三角形的面积，即可得到所求封闭图形的面积y，进而整理得到对应的函数解析式。
【解析】
解：根据动点P、Q的位置分两种情况讨论：
① 当 $0≤ x＜4$ 时，点P在AB边上，点Q在AD边上，$AP=AQ=x\ \mathrm{cm}$。
正方形ABCD中，$△ ABD$ 的面积为 $\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm^2}$，空白$△ APQ$为等腰直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}x^2\ \mathrm{cm^2}$。
因此封闭图形面积 $y=8-\frac{1}{2}x^2$。
② 当 $4＜x≤8$ 时，点P在BC边上，点Q在DC边上，点P、Q的运动路程均为$x\ \mathrm{cm}$，因此 $CQ=CP=4+4-x=(8-x)\mathrm{cm}$。
正方形ABCD中，$△ BCD$ 的面积为 $\frac{1}{2}×4×4=8\ \mathrm{cm^2}$，空白$△ CPQ$为等腰直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}(8-x)^2\ \mathrm{cm^2}$。
因此封闭图形面积 $y=8-\frac{1}{2}(8-x)^2=-\frac{1}{2}x^2+8x-24$。
【答案】
$y=\begin{cases}8-\dfrac{1}{2}x^2&(0≤ x＜4)\\-\dfrac{1}{2}x^2+8x-24&(4＜x≤8)\end{cases}$
【知识点】
分段函数求解，二次函数解析式，图形面积计算
【点评】
本题结合动点运动场景，考察不规则图形面积计算和分段二次函数的列写，解题的核心是准确根据动点的位置划分讨论区间，利用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的差，计算时需注意区间端点的取值是否符合题意。
【难度系数】
0.7
