登录
1 下列函数中，一定为二次函数的是 （
A.$y=\dfrac{1}{x^2}$
B.$y=mx^2+x-2$
C.$s=2t^2+1$
D.$y=x^2+\dfrac{2}{x}$
C
）A.$y=\dfrac{1}{x^2}$
B.$y=mx^2+x-2$
C.$s=2t^2+1$
D.$y=x^2+\dfrac{2}{x}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。解题时我们就用这三个条件逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=mx^2+x-2$中，参数$m$的取值未限定，若$m=0$，函数变为$y=x-2$，是一次函数，因此该函数不一定是二次函数，排除；
选项C：$s=2t^2+1$中，自变量为$t$，最高次数是2，二次项系数$2≠0$，且表达式是整式，完全符合二次函数的定义，当选；
选项D：$y=x^2+\dfrac{2}{x}$的第二项分母含$x$，属于分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数判定的三个核心要点，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件、以及函数必须是整式的要求，避免错选B。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。解题时我们就用这三个条件逐一排查每个选项即可。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=mx^2+x-2$中，参数$m$的取值未限定，若$m=0$，函数变为$y=x-2$，是一次函数，因此该函数不一定是二次函数，排除；
选项C：$s=2t^2+1$中，自变量为$t$，最高次数是2，二次项系数$2≠0$，且表达式是整式，完全符合二次函数的定义，当选；
选项D：$y=x^2+\dfrac{2}{x}$的第二项分母含$x$，属于分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数判定的三个核心要点，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0的隐含条件、以及函数必须是整式的要求，避免错选B。
【难度系数】
0.8
2 二次函数$y=2x^2 -1$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 （
A.$2,0,-1$
B.$2,2,-1$
C.$2,2,1$
D.$2,0,1$
A
）A.$2,0,-1$
B.$2,2,-1$
C.$2,2,1$
D.$2,0,1$
答案
2.A
解析
【分析】
首先回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义，再将题目给出的二次函数整理成一般形式的结构，对应找出二次项系数、一次项系数、常数项即可，解题时要注意没有出现的项对应的系数为0，同时常数项要注意符号。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将题干中的二次函数$y=2x^2-1$改写为符合一般形式的结构：$y=2x^2+0x-1$，对应可得：
二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-1，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的一般形式；二次函数各项系数识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数结构的认识，解题时容易忽略缺失项的系数为0，或者看错常数项的符号，日常练习要注意细节。
【难度系数】
0.9
首先回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义，再将题目给出的二次函数整理成一般形式的结构，对应找出二次项系数、一次项系数、常数项即可，解题时要注意没有出现的项对应的系数为0，同时常数项要注意符号。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将题干中的二次函数$y=2x^2-1$改写为符合一般形式的结构：$y=2x^2+0x-1$，对应可得：
二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为-1，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的一般形式；二次函数各项系数识别
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数结构的认识，解题时容易忽略缺失项的系数为0，或者看错常数项的符号，日常练习要注意细节。
【难度系数】
0.9
3 若二次函数 $y=x^2+2x-7$ 的函数值是 8，则对应的 $x$ 的值是 （
A.3
B.5
C.$-3$ 和 5
D.3 和 $-5$
D
）A.3
B.5
C.$-3$ 和 5
D.3 和 $-5$
答案
3.D
解析
【分析】
遇到已知二次函数的函数值求对应自变量x的题目，解题思路清晰：首先将给出的函数值代入二次函数的解析式，将问题转化为求解关于x的一元二次方程，得到的方程的解就是x的取值，再匹配选项得到答案即可。
【解析】
解：由题意可知，二次函数的函数值为8，即$y=8$。
将$y=8$代入解析式$y=x^2+2x-7$，可得：
$x^2 + 2x - 7 = 8$
移项整理得：$x^2 + 2x - 15 = 0$
对等式左边因式分解得：$(x + 5)(x - 3) = 0$
则$x + 5 = 0$或$x - 3 = 0$
解得$x_1 = -5$，$x_2 = 3$
即对应的x的值为3和-5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的函数值；一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题型，核心是理解二次函数中函数值与自变量的对应关系，将问题转化为一元二次方程求解，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
遇到已知二次函数的函数值求对应自变量x的题目，解题思路清晰：首先将给出的函数值代入二次函数的解析式，将问题转化为求解关于x的一元二次方程，得到的方程的解就是x的取值，再匹配选项得到答案即可。
【解析】
解：由题意可知，二次函数的函数值为8，即$y=8$。
将$y=8$代入解析式$y=x^2+2x-7$，可得：
$x^2 + 2x - 7 = 8$
移项整理得：$x^2 + 2x - 15 = 0$
对等式左边因式分解得：$(x + 5)(x - 3) = 0$
则$x + 5 = 0$或$x - 3 = 0$
解得$x_1 = -5$，$x_2 = 3$
即对应的x的值为3和-5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的函数值；一元二次方程的解法
【点评】
本题为基础题型，核心是理解二次函数中函数值与自变量的对应关系，将问题转化为一元二次方程求解，熟练掌握一元二次方程的解法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4 若函数$y=(m+2)x^2+2x+5$是关于$x$的二次函数，则$m$的取值范围是
$m≠-2$
。答案
4.$m≠-2$
解析
【分析】
要确定m的取值范围，首先回忆二次函数的定义：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。本题给出的函数中x的最高次数已经是2，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。
已知函数$y=(m+2)x^2+2x+5$是关于x的二次函数，因此二次项系数不能为0，可得：
$m+2≠0$
解不等式得：$m≠-2$
【答案】
$m≠-2$
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数定义的理解，解题的关键是牢记二次项系数不为0的限制条件，避免遗漏该条件导致错误。
【难度系数】
0.85
要确定m的取值范围，首先回忆二次函数的定义：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。本题给出的函数中x的最高次数已经是2，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（a、b、c为常数，且$a≠0$）的函数为二次函数。
已知函数$y=(m+2)x^2+2x+5$是关于x的二次函数，因此二次项系数不能为0，可得：
$m+2≠0$
解不等式得：$m≠-2$
【答案】
$m≠-2$
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数定义的理解，解题的关键是牢记二次项系数不为0的限制条件，避免遗漏该条件导致错误。
【难度系数】
0.85
5 把二次函数 $y=(x-1)^2 - 3(x-2)$ 化为一般形式，则一次项系数为
$-5$
。答案
5.$-5$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），其中$b$就是一次项系数。解题思路为：先将给定的函数表达式展开，通过去括号、合并同类项整理成一般形式，再提取一次项的系数即可。运算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【解析】
先对给定的二次函数展开化简：
1. 展开完全平方项：$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 去括号：$-3(x-2) = -3x + 6$
3. 合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x^2 - 2x + 1) - 3(x-2)\\&=x^2 - 2x + 1 - 3x + 6\\&=x^2 - 5x + 7\end{aligned}$
整理得到二次函数的一般形式后，可知一次项为$-5x$，对应的系数为$-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数一般形式的识别和整式化简的运算能力，解题的关键是准确展开多项式、正确处理去括号时的符号变化，合并同类项时计算要细心。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a≠0$），其中$b$就是一次项系数。解题思路为：先将给定的函数表达式展开，通过去括号、合并同类项整理成一般形式，再提取一次项的系数即可。运算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【解析】
先对给定的二次函数展开化简：
1. 展开完全平方项：$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 去括号：$-3(x-2) = -3x + 6$
3. 合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x^2 - 2x + 1) - 3(x-2)\\&=x^2 - 2x + 1 - 3x + 6\\&=x^2 - 5x + 7\end{aligned}$
整理得到二次函数的一般形式后，可知一次项为$-5x$，对应的系数为$-5$。
【答案】
$-5$
【知识点】
二次函数的一般形式；完全平方公式；整式加减运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查二次函数一般形式的识别和整式化简的运算能力，解题的关键是准确展开多项式、正确处理去括号时的符号变化，合并同类项时计算要细心。
【难度系数】
0.8
6 下列函数中，y 是关于 x 的二次函数吗？若是二次函数，请写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $y=x(x+4)$；
(2) $y=(1-x)(2+x)+x^2$；
(3) $y=ax^2+\frac{x}{a}+1$（a 是常数，且 $a≠0$）。
(1) $y=x(x+4)$；
(2) $y=(1-x)(2+x)+x^2$；
(3) $y=ax^2+\frac{x}{a}+1$（a 是常数，且 $a≠0$）。
答案
6. (1) 是二次函数 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0 (2) 不是二次函数 (3) 是二次函数 二次项系数、一次项系数和常数项分别是$a,\frac{1}{a},1$
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数。解题时需先将每个函数表达式通过整式乘法、合并同类项化简为一般形式，再判断最高次项的次数是否为2，且二次项系数不为0；若满足上述条件则为二次函数，再对应找出二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数需包含本身的符号。
【解析】
(1) 先化简函数表达式：
$y=x(x+4)=x^2+4x$，整理为一般形式为$y=x^2+4x+0$
观察可得最高次项次数为2，二次项系数$1≠0$，因此是二次函数。
其中二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0。
(2) 化简函数表达式：
$y=(1-x)(2+x)+x^2=2+x-2x-x^2+x^2$，合并同类项后得$y=-x+2$
观察可得最高次项次数为1，因此不是二次函数。
(3) 已知$a$是常数且$a≠0$，表达式$y=ax^2+\frac{x}{a}+1$已是一般形式，最高次项次数为2，二次项系数$a≠0$，因此是二次函数。
其中二次项系数为$a$，一次项系数为$\frac{1}{a}$，常数项为1。
【答案】
(1) 是二次函数 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0；(2) 不是二次函数；(3) 是二次函数 二次项系数、一次项系数和常数项分别是$a,\frac{1}{a},1$
【知识点】
1.二次函数的定义
2.整式的化简
3.二次函数系数识别
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，解题关键是先将函数表达式化简为一般形式后再进行判断，避免仅通过原式的表面形式误判，同时要注意含参数的二次函数需满足二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数。解题时需先将每个函数表达式通过整式乘法、合并同类项化简为一般形式，再判断最高次项的次数是否为2，且二次项系数不为0；若满足上述条件则为二次函数，再对应找出二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数需包含本身的符号。
【解析】
(1) 先化简函数表达式：
$y=x(x+4)=x^2+4x$，整理为一般形式为$y=x^2+4x+0$
观察可得最高次项次数为2，二次项系数$1≠0$，因此是二次函数。
其中二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0。
(2) 化简函数表达式：
$y=(1-x)(2+x)+x^2=2+x-2x-x^2+x^2$，合并同类项后得$y=-x+2$
观察可得最高次项次数为1，因此不是二次函数。
(3) 已知$a$是常数且$a≠0$，表达式$y=ax^2+\frac{x}{a}+1$已是一般形式，最高次项次数为2，二次项系数$a≠0$，因此是二次函数。
其中二次项系数为$a$，一次项系数为$\frac{1}{a}$，常数项为1。
【答案】
(1) 是二次函数 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0；(2) 不是二次函数；(3) 是二次函数 二次项系数、一次项系数和常数项分别是$a,\frac{1}{a},1$
【知识点】
1.二次函数的定义
2.整式的化简
3.二次函数系数识别
【点评】
本题是二次函数概念的基础考察题，解题关键是先将函数表达式化简为一般形式后再进行判断，避免仅通过原式的表面形式误判，同时要注意含参数的二次函数需满足二次项系数不为0的条件。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放y个垃圾桶。设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数解析式为 （
A.$y=1000(1-x)^2$
B.$y=1000(1+x)^2$
C.$y=(1-x)^2+1000$
D.$y=x^2+1000$
B
）A.$y=1000(1-x)^2$
B.$y=1000(1+x)^2$
C.$y=(1-x)^2+1000$
D.$y=x^2+1000$
答案
7.B
解析
【分析】
这是平均增长率类的实际问题，解题先回忆平均增长率的基本数量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)ⁿ，其中n为增长次数。首先明确初始投放量是第一个月的1000个，从第一个月到第三个月共经历2次增长，增长率为x，代入公式即可推导出y与x的函数关系，再匹配选项即可。
【解析】
已知第一个月投放垃圾桶1000个，第二、三两个月的月平均增长率为x：
1. 计算第二个月投放量：第二个月在第一个月的基础上增长x，因此第二个月投放量为$1000(1+x)$个；
2. 计算第三个月投放量：第三个月在第二个月的基础上再增长x，因此第三个月投放量$y=1000(1+x) × (1+x)=1000(1+x)^2$。
综上可知选项B符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题 2. 列二次函数解析式
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，重点考查平均增长率公式的应用，解题关键是准确判断增长的次数，注意区分增长率和下降率的表达式差异，避免将(1+x)错写为(1-x)。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的实际问题，解题先回忆平均增长率的基本数量关系：增长后的量=初始量×(1+增长率)ⁿ，其中n为增长次数。首先明确初始投放量是第一个月的1000个，从第一个月到第三个月共经历2次增长，增长率为x，代入公式即可推导出y与x的函数关系，再匹配选项即可。
【解析】
已知第一个月投放垃圾桶1000个，第二、三两个月的月平均增长率为x：
1. 计算第二个月投放量：第二个月在第一个月的基础上增长x，因此第二个月投放量为$1000(1+x)$个；
2. 计算第三个月投放量：第三个月在第二个月的基础上再增长x，因此第三个月投放量$y=1000(1+x) × (1+x)=1000(1+x)^2$。
综上可知选项B符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
1. 平均增长率问题 2. 列二次函数解析式
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，重点考查平均增长率公式的应用，解题关键是准确判断增长的次数，注意区分增长率和下降率的表达式差异，避免将(1+x)错写为(1-x)。
【难度系数】
0.8
8 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10.设其中一条直角边长为x，则该直角三角形的面积y与x之间的函数解析式为
$y=-\frac{1}{2}x^2+5x$
.答案
8.$y=-\frac{1}{2}x^2+5x$
解析
【分析】
解题时先根据两条直角边的和为10，用含x的代数式表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形的面积公式列出面积y关于x的关系式，最后化简整理为标准的函数形式即可。
【解析】
已知其中一条直角边长为x，两条直角边长的和为10，因此另一条直角边长为$10 - x$。
根据直角三角形的面积公式：面积 = $\frac{1}{2}×$直角边1$×$直角边2，代入可得：
$y = \frac{1}{2}x(10 - x)$
展开并化简得：
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2+5x$
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 列函数解析式
3. 整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合几何图形的面积公式建立函数关系，解题的关键是正确表示出另一条直角边的长度，代入公式后化简即可得到结果，是二次函数概念相关的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解题时先根据两条直角边的和为10，用含x的代数式表示出另一条直角边的长度，再结合直角三角形的面积公式列出面积y关于x的关系式，最后化简整理为标准的函数形式即可。
【解析】
已知其中一条直角边长为x，两条直角边长的和为10，因此另一条直角边长为$10 - x$。
根据直角三角形的面积公式：面积 = $\frac{1}{2}×$直角边1$×$直角边2，代入可得：
$y = \frac{1}{2}x(10 - x)$
展开并化简得：
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$
【答案】
$y=-\frac{1}{2}x^2+5x$
【知识点】
1. 直角三角形面积公式
2. 列函数解析式
3. 整式化简
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合几何图形的面积公式建立函数关系，解题的关键是正确表示出另一条直角边的长度，代入公式后化简即可得到结果，是二次函数概念相关的典型基础题。
【难度系数】
0.9
9 已知两个正方形的周长之和是32 cm.若以两个正方形面积之和 $ y(\mathrm{cm}^2) $ 为因变量，其中一个正方形的边长 $ x(\mathrm{cm}) $ 为自变量，则 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为
$y=2x^2-16x+64$
.答案
9.$y=2x^2-16x+64$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，先根据给定的一个正方形边长x，求出其周长，再结合两个正方形的周长和，推导得出另一个正方形的周长，进而算出另一个正方形的边长；第二步，依据正方形面积公式分别表示两个正方形的面积，求和得到面积和y，最后化简代数式即可得到函数解析式，同时需注意正方形边长为正数，自变量x要有合理的取值范围。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，
则该正方形的周长为$ 4x\ \mathrm{cm} $。
已知两个正方形周长之和为$ 32\ \mathrm{cm} $，因此另一个正方形的周长为$ (32-4x)\ \mathrm{cm} $，
可得另一个正方形的边长为$ (32-4x)÷4=8-x\ (\mathrm{cm}) $。
根据正方形面积公式，两个正方形的面积之和$ y $为：
$\begin{aligned}y&=x^2+(8-x)^2\\&=x^2+64-16x+x^2\\&=2x^2-16x+64\end{aligned}$
其中自变量取值范围为$ 0＜x＜8 $（边长为正）。
【答案】
$ y=2x^2-16x+64 $
【知识点】
正方形周长与面积计算；列函数关系式；二次函数的概念
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，核心考查将实际几何问题转化为函数表达式的能力，解题关键是正确用含x的代数式表示出另一个正方形的边长，运算时要注意完全平方公式的正确展开，避免漏项。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为两步：第一步，先根据给定的一个正方形边长x，求出其周长，再结合两个正方形的周长和，推导得出另一个正方形的周长，进而算出另一个正方形的边长；第二步，依据正方形面积公式分别表示两个正方形的面积，求和得到面积和y，最后化简代数式即可得到函数解析式，同时需注意正方形边长为正数，自变量x要有合理的取值范围。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $，
则该正方形的周长为$ 4x\ \mathrm{cm} $。
已知两个正方形周长之和为$ 32\ \mathrm{cm} $，因此另一个正方形的周长为$ (32-4x)\ \mathrm{cm} $，
可得另一个正方形的边长为$ (32-4x)÷4=8-x\ (\mathrm{cm}) $。
根据正方形面积公式，两个正方形的面积之和$ y $为：
$\begin{aligned}y&=x^2+(8-x)^2\\&=x^2+64-16x+x^2\\&=2x^2-16x+64\end{aligned}$
其中自变量取值范围为$ 0＜x＜8 $（边长为正）。
【答案】
$ y=2x^2-16x+64 $
【知识点】
正方形周长与面积计算；列函数关系式；二次函数的概念
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，核心考查将实际几何问题转化为函数表达式的能力，解题关键是正确用含x的代数式表示出另一个正方形的边长，运算时要注意完全平方公式的正确展开，避免漏项。
【难度系数】
0.8
10 教材变式题 已知矩形的周长为36 m，矩形绕着它的一条边所在的直线旋转形成一个圆柱.设矩形的另一条边的长为x m，圆柱的侧面积为y m²，则y与x之间的函数解析式为
$y=-2π x^2+36π x$
.答案
10.$y=-2π x^2+36π x$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据矩形周长公式，用已知边长x表示出其邻边的长度；第二步，明确矩形旋转形成圆柱时的边的对应关系：作为旋转轴的边是圆柱的高，另一条边（即题设的x）是圆柱的底面半径；第三步，代入圆柱侧面积公式，整理即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
已知矩形周长为36m，其中一条边长为x m，则其邻边长为：
$36÷2 - x = 18 - x$（m）
矩形绕其中一条边旋转形成圆柱时，圆柱的底面半径为x m，高为$18 - x$ m（两种旋转方向代入侧面积公式后结果一致）。
根据圆柱侧面积公式$S_{\mathrm{侧}} = 2π r h$，代入对应量得：
$y = 2π · x · (18 - x)$
整理得：
$y = -2π x^2 + 36π x$（$0 ＜ x ＜ 18$）
【答案】
$y=-2π x^2+36π x$
【知识点】
矩形周长计算、圆柱侧面积公式、二次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，核心是理清平面图形旋转为立体图形后各边的对应关系，再结合对应公式列式化简，主要考查学生的空间想象能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据矩形周长公式，用已知边长x表示出其邻边的长度；第二步，明确矩形旋转形成圆柱时的边的对应关系：作为旋转轴的边是圆柱的高，另一条边（即题设的x）是圆柱的底面半径；第三步，代入圆柱侧面积公式，整理即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
已知矩形周长为36m，其中一条边长为x m，则其邻边长为：
$36÷2 - x = 18 - x$（m）
矩形绕其中一条边旋转形成圆柱时，圆柱的底面半径为x m，高为$18 - x$ m（两种旋转方向代入侧面积公式后结果一致）。
根据圆柱侧面积公式$S_{\mathrm{侧}} = 2π r h$，代入对应量得：
$y = 2π · x · (18 - x)$
整理得：
$y = -2π x^2 + 36π x$（$0 ＜ x ＜ 18$）
【答案】
$y=-2π x^2+36π x$
【知识点】
矩形周长计算、圆柱侧面积公式、二次函数解析式
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题，核心是理清平面图形旋转为立体图形后各边的对应关系，再结合对应公式列式化简，主要考查学生的空间想象能力和基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.7
11 已知一个菱形两条对角线的长的和为24 cm，设其中一条对角线的长为x cm.
（1）设菱形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，求$S$与$x$之间的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围；
（2）当$x=12$时，菱形的面积为多少？
（1）设菱形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，求$S$与$x$之间的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围；
（2）当$x=12$时，菱形的面积为多少？
答案
11. (1) 由题意，得 $S=\frac{1}{2}x(24-x)=-\frac{1}{2}x^2+12x(0＜x＜24)$ (2) 当$x=12$时，$S=-\frac{1}{2}×12^2+12×12=72$，即菱形的面积为72 $\mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
（1）要得到菱形面积$S$和$x$的函数关系，首先回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半。已知一条对角线长为$x\ \mathrm{cm}$，两条对角线的和为$24\ \mathrm{cm}$，因此另一条对角线长为$(24-x)\ \mathrm{cm}$，将两条对角线长度代入面积公式即可得到$S$与$x$的函数解析式；再结合对角线长度为正数的实际意义，就能求出自变量$x$的取值范围。
（2）求$x=12$时的菱形面积，直接将$x=12$代入（1）中求得的函数解析式，计算出对应$S$的值即可。
【解析】
（1）已知其中一条对角线长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条对角线长为$(24-x)\ \mathrm{cm}$。
根据菱形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2} · x · (24-x)$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2 + 12x$
∵ 对角线长度必须为正数，
∴ $\begin{cases}x＞0 \\ 24-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜24$。
（2）将$x=12$代入$S=-\frac{1}{2}x^2 + 12x$中：
$S=-\frac{1}{2} × 12^2 + 12 × 12 = -72 + 144 = 72$
即此时菱形的面积为$72\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+12x(0＜x＜24)$
(2) $72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 菱形面积计算
2. 二次函数解析式建立
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是基础的几何结合函数的应用题，核心是熟练运用菱形面积公式建立函数关系，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，代入求值时注意计算准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
（1）要得到菱形面积$S$和$x$的函数关系，首先回忆菱形面积公式：菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半。已知一条对角线长为$x\ \mathrm{cm}$，两条对角线的和为$24\ \mathrm{cm}$，因此另一条对角线长为$(24-x)\ \mathrm{cm}$，将两条对角线长度代入面积公式即可得到$S$与$x$的函数解析式；再结合对角线长度为正数的实际意义，就能求出自变量$x$的取值范围。
（2）求$x=12$时的菱形面积，直接将$x=12$代入（1）中求得的函数解析式，计算出对应$S$的值即可。
【解析】
（1）已知其中一条对角线长为$x\ \mathrm{cm}$，则另一条对角线长为$(24-x)\ \mathrm{cm}$。
根据菱形面积公式可得：
$S=\frac{1}{2} · x · (24-x)$
整理得：$S=-\frac{1}{2}x^2 + 12x$
∵ 对角线长度必须为正数，
∴ $\begin{cases}x＞0 \\ 24-x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜24$。
（2）将$x=12$代入$S=-\frac{1}{2}x^2 + 12x$中：
$S=-\frac{1}{2} × 12^2 + 12 × 12 = -72 + 144 = 72$
即此时菱形的面积为$72\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+12x(0＜x＜24)$
(2) $72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 菱形面积计算
2. 二次函数解析式建立
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是基础的几何结合函数的应用题，核心是熟练运用菱形面积公式建立函数关系，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，代入求值时注意计算准确性即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
