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1 与抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 的开口方向相同的抛物线是（
A.$y=\frac{1}{4}x^2$
B.$y=-x^2$
C.$y=\frac{1}{2}x^2$
D.$y=x^2$
B
）A.$y=\frac{1}{4}x^2$
B.$y=-x^2$
C.$y=\frac{1}{2}x^2$
D.$y=x^2$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断抛物线的开口方向，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。解题时先确定题干中抛物线的二次项系数符号，再逐一对比选项中二次项系数的符号，找到符号一致的选项即可。
【解析】
首先分析题干中抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数：$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此该抛物线开口向下，需寻找二次项系数$a＜0$的选项。
逐一分析选项：
A选项：$y=\frac{1}{4}x^2$的二次项系数$a=\frac{1}{4}＞0$，开口向上，不符合要求；
B选项：$y=-x^2$的二次项系数$a=-1＜0$，开口向下，与题干抛物线开口方向相同；
C选项：$y=\frac{1}{2}x^2$的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，不符合要求；
D选项：$y=x^2$的二次项系数$a=1＞0$，开口向上，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线开口方向判断
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察二次项系数符号与抛物线开口方向的对应规律，熟练掌握该基础规律即可快速得出答案，是二次函数图象部分的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线的开口方向，首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：抛物线的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。解题时先确定题干中抛物线的二次项系数符号，再逐一对比选项中二次项系数的符号，找到符号一致的选项即可。
【解析】
首先分析题干中抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数：$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此该抛物线开口向下，需寻找二次项系数$a＜0$的选项。
逐一分析选项：
A选项：$y=\frac{1}{4}x^2$的二次项系数$a=\frac{1}{4}＞0$，开口向上，不符合要求；
B选项：$y=-x^2$的二次项系数$a=-1＜0$，开口向下，与题干抛物线开口方向相同；
C选项：$y=\frac{1}{2}x^2$的二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，开口向上，不符合要求；
D选项：$y=x^2$的二次项系数$a=1＞0$，开口向上，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；抛物线开口方向判断
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察二次项系数符号与抛物线开口方向的对应规律，熟练掌握该基础规律即可快速得出答案，是二次函数图象部分的常规基础考点。
【难度系数】
0.9
2 有下列二次函数:① $y=3x^2$;② $y=\frac{2}{3}x^2$;③ $y=-\frac{4}{3}x^2$. 将它们图象的开口按从大到小的顺序排列,正确的是 (
A.①②③
B.①③②
C.②③①
D.②①③
C
)A.①②③
B.①③②
C.②③①
D.②①③
答案
2.C
解析
【分析】
要判断三个二次函数图象开口的大小顺序，首先需要明确二次函数$y=ax^2$的开口大小规律：图象开口大小由二次项系数的绝对值$|a|$决定，$|a|$越小，开口越大。解题时先分别求出三个函数对应$|a|$的值，再比较$|a|$的大小，反过来就能得到开口从大到小的顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，$|a|$越小，图象的开口越大。
分别计算三个函数二次项系数的绝对值：
①$y=3x^2$中，$|a|=|3|=3$；
②$y=\frac{2}{3}x^2$中，$|a|=|\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$；
③$y=-\frac{4}{3}x^2$中，$|a|=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3}$。
比较$|a|$的大小：$\frac{2}{3}＜\frac{4}{3}＜3$，因此开口从大到小的顺序为②③①。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的开口大小和二次项系数的关系，核心是牢记“$|a|$越小，开口越大”的规律，不需要考虑$a$的正负对开口大小的影响，属于基础概念考查题，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断三个二次函数图象开口的大小顺序，首先需要明确二次函数$y=ax^2$的开口大小规律：图象开口大小由二次项系数的绝对值$|a|$决定，$|a|$越小，开口越大。解题时先分别求出三个函数对应$|a|$的值，再比较$|a|$的大小，反过来就能得到开口从大到小的顺序。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，$|a|$越小，图象的开口越大。
分别计算三个函数二次项系数的绝对值：
①$y=3x^2$中，$|a|=|3|=3$；
②$y=\frac{2}{3}x^2$中，$|a|=|\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}$；
③$y=-\frac{4}{3}x^2$中，$|a|=|-\frac{4}{3}|=\frac{4}{3}$。
比较$|a|$的大小：$\frac{2}{3}＜\frac{4}{3}＜3$，因此开口从大到小的顺序为②③①。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$的开口大小和二次项系数的关系，核心是牢记“$|a|$越小，开口越大”的规律，不需要考虑$a$的正负对开口大小的影响，属于基础概念考查题，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 已知二次函数$y=ax^2$与$y=-3x^2$的图象的开口大小相同，方向相反，则$a=$
3
.答案
3.3
解析
【分析】
解决这道题的核心是明确二次函数$y=ax^2$中二次项系数$a$的作用：①$|a|$决定图象的开口大小，当两个二次函数的$|a|$相等时，开口大小相同；②$a$的符号决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，两个函数的$a$符号相反则开口方向相反。我们先根据开口大小相同求出$|a|$的值，再结合开口方向相反确定$a$的符号，即可得到$a$的取值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 由两函数开口大小相同可得：$|a|=|-3|=3$；
2. 由两函数开口方向相反可得：$a$与$-3$符号相反，即$a＞0$；
综上，$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数的作用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次项系数对二次函数开口特征的影响，熟记对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解决这道题的核心是明确二次函数$y=ax^2$中二次项系数$a$的作用：①$|a|$决定图象的开口大小，当两个二次函数的$|a|$相等时，开口大小相同；②$a$的符号决定开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，两个函数的$a$符号相反则开口方向相反。我们先根据开口大小相同求出$|a|$的值，再结合开口方向相反确定$a$的符号，即可得到$a$的取值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 由两函数开口大小相同可得：$|a|=|-3|=3$；
2. 由两函数开口方向相反可得：$a$与$-3$符号相反，即$a＞0$；
综上，$a=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数的作用
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察二次项系数对二次函数开口特征的影响，熟记对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象，并从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点。
答案
图象略 二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象的相同点:形状都是抛物线,对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0);二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象的不同点:$y=2x^2$图象开口向上，$y=-2x^2$图象开口向下
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象画法为列表、描点、连线，且其图象性质由二次项系数$a$决定：$|a|$决定抛物线开口大小，$a$的符号决定开口方向，所有$y=ax^2$的图象对称轴都是y轴、顶点都是原点。解题时先按画图步骤得到两个函数的图象，再从题干要求的形状、开口方向、对称轴、顶点四个维度逐一对比两个函数的特征，区分出相同点和不同点即可。
【解析】
1. 绘制图象步骤：
①列表：分别取$x=-2、-1、0、1、2$，计算对应两个函数的$y$值：$y=2x^2$对应的$y$值为8、2、0、2、8；$y=-2x^2$对应的$y$值为-8、-2、0、-2、-8。
②描点：在平面直角坐标系中分别描出上述计算得到的对应点。
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象。
2. 图象特征对比：
相同点：两个函数$|a|$均为2，图象都是形状相同的抛物线；对称轴都为y轴；顶点坐标都为$(0,0)$。
不同点：两个函数$a$的符号相反，$y=2x^2$的$a＞0$，图象开口向上；$y=-2x^2$的$a＜0$，图象开口向下。
【答案】
图象略 二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象的相同点:形状都是抛物线,对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0);二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象的不同点:$y=2x^2$图象开口向上，$y=-2x^2$图象开口向下
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数图象的绘制
【点评】
本题侧重考查对基础二次函数图象性质的理解，通过对比$a$互为相反数的两个二次函数的图象特征，能帮助大家明确二次项系数$a$对抛物线开口方向、开口大小的影响，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先回忆二次函数$y=ax^2$的图象画法为列表、描点、连线，且其图象性质由二次项系数$a$决定：$|a|$决定抛物线开口大小，$a$的符号决定开口方向，所有$y=ax^2$的图象对称轴都是y轴、顶点都是原点。解题时先按画图步骤得到两个函数的图象，再从题干要求的形状、开口方向、对称轴、顶点四个维度逐一对比两个函数的特征，区分出相同点和不同点即可。
【解析】
1. 绘制图象步骤：
①列表：分别取$x=-2、-1、0、1、2$，计算对应两个函数的$y$值：$y=2x^2$对应的$y$值为8、2、0、2、8；$y=-2x^2$对应的$y$值为-8、-2、0、-2、-8。
②描点：在平面直角坐标系中分别描出上述计算得到的对应点。
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到两个函数的图象。
2. 图象特征对比：
相同点：两个函数$|a|$均为2，图象都是形状相同的抛物线；对称轴都为y轴；顶点坐标都为$(0,0)$。
不同点：两个函数$a$的符号相反，$y=2x^2$的$a＞0$，图象开口向上；$y=-2x^2$的$a＜0$，图象开口向下。
【答案】
图象略 二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象的相同点:形状都是抛物线,对称轴都是y轴,顶点坐标都是(0,0);二次函数$y=2x^2$和$y=-2x^2$的图象的不同点:$y=2x^2$图象开口向上，$y=-2x^2$图象开口向下
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数图象的绘制
【点评】
本题侧重考查对基础二次函数图象性质的理解，通过对比$a$互为相反数的两个二次函数的图象特征，能帮助大家明确二次项系数$a$对抛物线开口方向、开口大小的影响，是巩固二次函数基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
5 已知二次函数$y=(a-1)x^2$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则实数$a$的取值范围是（
A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≠1$
D.$a＜1$
D
）A.$a＞0$
B.$a＞1$
C.$a≠1$
D.$a＜1$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的增减性规律，解题时先回忆该类函数的性质：二次项系数$a$的符号决定抛物线开口方向，进而决定$x＞0$时的增减性：$a＞0$时开口向上，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时开口向下，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。结合题干给出的增减性特征，可列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其增减性规律如下：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），此时$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），此时$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中二次函数为$y=(a-1)x^2$，对应二次项系数为$a-1$，已知当$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此可得：
$a-1＜0$
解该不等式得：$a＜1$，同时满足二次函数二次项系数不为0的要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题型，解题核心是牢记二次项系数符号对函数开口方向、增减性的影响，熟练掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2$的增减性规律，解题时先回忆该类函数的性质：二次项系数$a$的符号决定抛物线开口方向，进而决定$x＞0$时的增减性：$a＞0$时开口向上，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时开口向下，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。结合题干给出的增减性特征，可列出关于$a$的不等式，求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其增减性规律如下：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），此时$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），此时$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中二次函数为$y=(a-1)x^2$，对应二次项系数为$a-1$，已知当$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此可得：
$a-1＜0$
解该不等式得：$a＜1$，同时满足二次函数二次项系数不为0的要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数增减性；解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数基础性质的考查题型，解题核心是牢记二次项系数符号对函数开口方向、增减性的影响，熟练掌握该知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
6 已知抛物线 $y=ax^2(a＞0)$ 过 $A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$ 两点，则下列关系式正确的是（
A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$
C
）A.$y_1＞0＞y_2$
B.$y_2＞0＞y_1$
C.$y_1＞y_2＞0$
D.$y_2＞y_1＞0$
答案
6.C
解析
【分析】
解题可以从两种思路入手：思路一：先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的性质：开口向上，对称轴为y轴，$x≠0$时函数值恒为正，且点的横坐标的绝对值越大，对应函数值越大，再计算A、B两点横坐标的绝对值，比较大小即可得到$y_1$、$y_2$的大小关系。思路二：直接将A、B两点的横坐标代入抛物线解析式，求出$y_1$、$y_2$的表达式，结合$a＞0$的条件比较大小即可。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
∵ 抛物线解析式为$y=ax^2$且$a＞0$，
∴ 抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴为直线$x=0$（y轴），当$x≠0$时，$y＞0$。
对于开口向上的抛物线$y=ax^2$，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2|=2$，点$B(1,y_2)$到对称轴的距离为$|1|=1$，
∵ $2＞1$，
∴ $y_1＞y_2$，
又
∵ $x=-2$、$x=1$均不为0，
∴ $y_1＞y_2＞0$。
方法二：代入计算比较
将$x=-2$代入$y=ax^2$得：$y_1=a×(-2)^2=4a$，
将$x=1$代入$y=ax^2$得：$y_2=a×1^2=a$，
∵ $a＞0$，
∴ $4a＞a＞0$，即$y_1＞y_2＞0$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用二次函数的性质快速判断，解题核心是掌握$a＞0$时$y=ax^2$的图象特征和函数变化规律，是巩固二次函数基础性质的典型题。
【难度系数】
0.8
解题可以从两种思路入手：思路一：先回忆二次函数$y=ax^2(a＞0)$的性质：开口向上，对称轴为y轴，$x≠0$时函数值恒为正，且点的横坐标的绝对值越大，对应函数值越大，再计算A、B两点横坐标的绝对值，比较大小即可得到$y_1$、$y_2$的大小关系。思路二：直接将A、B两点的横坐标代入抛物线解析式，求出$y_1$、$y_2$的表达式，结合$a＞0$的条件比较大小即可。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
∵ 抛物线解析式为$y=ax^2$且$a＞0$，
∴ 抛物线开口向上，顶点在原点，对称轴为直线$x=0$（y轴），当$x≠0$时，$y＞0$。
对于开口向上的抛物线$y=ax^2$，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离为$|-2|=2$，点$B(1,y_2)$到对称轴的距离为$|1|=1$，
∵ $2＞1$，
∴ $y_1＞y_2$，
又
∵ $x=-2$、$x=1$均不为0，
∴ $y_1＞y_2＞0$。
方法二：代入计算比较
将$x=-2$代入$y=ax^2$得：$y_1=a×(-2)^2=4a$，
将$x=1$代入$y=ax^2$得：$y_2=a×1^2=a$，
∵ $a＞0$，
∴ $4a＞a＞0$，即$y_1＞y_2＞0$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
2. 二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过代入求值直接比较，也可以利用二次函数的性质快速判断，解题核心是掌握$a＞0$时$y=ax^2$的图象特征和函数变化规律，是巩固二次函数基础性质的典型题。
【难度系数】
0.8
7（易错题）已知抛物线$y=2x^2$，当$-1≤ x≤3$时，y的取值范围是
$0≤y≤18$
。答案
7.$0≤y≤18$
解析
【分析】
要确定给定区间内二次函数y的取值范围，需先明确二次函数的基本性质：首先判断抛物线开口方向，再找到对称轴，判断对称轴是否落在给定的区间[-1,3]内：若对称轴在区间内，开口向上时顶点处取最小值，最大值在离对称轴更远的区间端点处取得；若对称轴不在区间内，最值都在区间端点取得。本题抛物线开口向上，对称轴x=0在区间内，因此先求顶点处的最小值，再比较区间两个端点的函数值得到最大值，即可确定y的范围。
【解析】
对于抛物线$y=2x^2$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
2. 给定区间$-1\le x\le3$包含对称轴$x=0$，因此当$x=0$时，$y$取得最小值：$y_{\mathrm{最小}}=2×0^2=0$；
3. 计算区间端点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2=2$；
当$x=3$时，$y=2×3^2=18$；
因为$18＞2$，所以$y$的最大值为18；
综上，当$-1\le x\le3$时，$y$的取值范围是$0\le y\le18$。
【答案】
$0≤ y≤ 18$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数最值计算
3. 区间内函数值范围求解
【点评】
本题是易错题，易错点为直接代入区间两个端点计算y的取值范围，忽略了开口向上的抛物线在包含对称轴的区间内，顶点处取得最小值。解题时需先判断对称轴与给定区间的位置关系，结合开口方向确定最值的位置，再计算即可避免出错。
【难度系数】
0.6
要确定给定区间内二次函数y的取值范围，需先明确二次函数的基本性质：首先判断抛物线开口方向，再找到对称轴，判断对称轴是否落在给定的区间[-1,3]内：若对称轴在区间内，开口向上时顶点处取最小值，最大值在离对称轴更远的区间端点处取得；若对称轴不在区间内，最值都在区间端点取得。本题抛物线开口向上，对称轴x=0在区间内，因此先求顶点处的最小值，再比较区间两个端点的函数值得到最大值，即可确定y的范围。
【解析】
对于抛物线$y=2x^2$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,0)$；
2. 给定区间$-1\le x\le3$包含对称轴$x=0$，因此当$x=0$时，$y$取得最小值：$y_{\mathrm{最小}}=2×0^2=0$；
3. 计算区间端点处的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2=2$；
当$x=3$时，$y=2×3^2=18$；
因为$18＞2$，所以$y$的最大值为18；
综上，当$-1\le x\le3$时，$y$的取值范围是$0\le y\le18$。
【答案】
$0≤ y≤ 18$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次函数最值计算
3. 区间内函数值范围求解
【点评】
本题是易错题，易错点为直接代入区间两个端点计算y的取值范围，忽略了开口向上的抛物线在包含对称轴的区间内，顶点处取得最小值。解题时需先判断对称轴与给定区间的位置关系，结合开口方向确定最值的位置，再计算即可避免出错。
【难度系数】
0.6
8 已知函数$y=(m+3)x^{m^2 - 3m -26}$是关于$x$的二次函数.当$m$为何值时,该函数图象的开口向下?这时当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?
答案
$\because y=(m+3)x^{m^2 - 3m -26}$ 是关于 $x$ 的二次函数, $\therefore m^2 - 3m -26=2$ 且 $m+3≠0$,解得 $m=7$ 或 $m=-4$,即 $m$ 的值为 7或-4. 当 $m=-4$ 时, $m+3=-1＜0$, 函数图象开口向下, $\therefore$ 当 $m$ 为-4时,函数图象开口向下,此时当 $x＞0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小
解析
【分析】
解题可分三步推导：第一步，根据二次函数的定义列条件：自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求出m的所有可能取值；第二步，结合二次函数开口向下的判定规则（二次项系数小于0），从m的可能值中筛选出符合要求的结果；第三步，根据开口向下的二次函数$y=ax^2$的增减性规律，确定y随x增大而减小时x的取值范围。
【解析】
解：$\because y=(m+3)x^{m^2 - 3m -26}$是关于$x$的二次函数
$\therefore$需同时满足：
①x的最高次数为2：$m^2 - 3m -26=2$
②二次项系数不为0：$m+3≠0$
先解方程$m^2 - 3m -26=2$，整理得$m^2 - 3m -28=0$，因式分解得$(m-7)(m+4)=0$，解得$m=7$或$m=-4$，两个解均满足$m+3≠0$，符合二次函数要求。
若函数图象开口向下，则二次项系数$m+3＜0$，即$m＜-3$，对比已得的m的取值，只有$m=-4$符合要求。
此时函数为$y=-x^2$，图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向下的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而减小，即$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
当$m=-4$时，该函数图象的开口向下；这时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，解题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，需熟练掌握二次项系数的符号与开口方向、增减性的对应关系，避免错选m的取值。
【难度系数】
0.7
解题可分三步推导：第一步，根据二次函数的定义列条件：自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此求出m的所有可能取值；第二步，结合二次函数开口向下的判定规则（二次项系数小于0），从m的可能值中筛选出符合要求的结果；第三步，根据开口向下的二次函数$y=ax^2$的增减性规律，确定y随x增大而减小时x的取值范围。
【解析】
解：$\because y=(m+3)x^{m^2 - 3m -26}$是关于$x$的二次函数
$\therefore$需同时满足：
①x的最高次数为2：$m^2 - 3m -26=2$
②二次项系数不为0：$m+3≠0$
先解方程$m^2 - 3m -26=2$，整理得$m^2 - 3m -28=0$，因式分解得$(m-7)(m+4)=0$，解得$m=7$或$m=-4$，两个解均满足$m+3≠0$，符合二次函数要求。
若函数图象开口向下，则二次项系数$m+3＜0$，即$m＜-3$，对比已得的m的取值，只有$m=-4$符合要求。
此时函数为$y=-x^2$，图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），开口向下的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而减小，即$x＞0$时，y随x的增大而减小。
【答案】
当$m=-4$时，该函数图象的开口向下；这时当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，解题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，需熟练掌握二次项系数的符号与开口方向、增减性的对应关系，避免错选m的取值。
【难度系数】
0.7
9 二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
D
）答案
9.D
解析
【分析】
本题为含相同参数的一次函数与二次函数图象判断问题，解题思路如下：首先先推导一次函数的定点缩小判断范围，将一次函数$y=ax+a$变形为$y=a(x+1)$，可知其恒过点$(-1,0)$；再分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别对应二次函数的开口方向、一次函数的倾斜方向和与y轴的交点位置，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 推导一次函数的定点：
将一次函数$y=ax+a$整理为$y=a(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过点$(-1,0)$。
2. 分情况讨论参数$a$的正负：
① 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$斜率为正，图象从左下向右上倾斜，截距为正，与y轴交于正半轴，且过点$(-1,0)$。
观察选项：B选项的一次函数与x轴交点在-1左侧，不符合过$(-1,0)$的性质，排除；D选项符合所有特征。
② 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$斜率为负，图象从左上向右下倾斜，截距为负，与y轴交于负半轴，且过点$(-1,0)$。
观察选项：A选项的一次函数与x轴交点在-1和0之间，不符合过$(-1,0)$的性质，排除；C选项的一次函数斜率为正说明$a＞0$，但二次函数开口向下说明$a＜0$，两者矛盾，排除。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的常考题型，解题核心是抓住相同参数在不同函数中的符号一致性，可通过分类讨论或定点法快速排除错误选项，能有效考查对函数性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题为含相同参数的一次函数与二次函数图象判断问题，解题思路如下：首先先推导一次函数的定点缩小判断范围，将一次函数$y=ax+a$变形为$y=a(x+1)$，可知其恒过点$(-1,0)$；再分$a＞0$和$a＜0$两种情况，分别对应二次函数的开口方向、一次函数的倾斜方向和与y轴的交点位置，逐一排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 推导一次函数的定点：
将一次函数$y=ax+a$整理为$y=a(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过点$(-1,0)$。
2. 分情况讨论参数$a$的正负：
① 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向上，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$斜率为正，图象从左下向右上倾斜，截距为正，与y轴交于正半轴，且过点$(-1,0)$。
观察选项：B选项的一次函数与x轴交点在-1左侧，不符合过$(-1,0)$的性质，排除；D选项符合所有特征。
② 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2$开口向下，顶点在原点；
一次函数$y=ax+a$斜率为负，图象从左上向右下倾斜，截距为负，与y轴交于负半轴，且过点$(-1,0)$。
观察选项：A选项的一次函数与x轴交点在-1和0之间，不符合过$(-1,0)$的性质，排除；C选项的一次函数斜率为正说明$a＞0$，但二次函数开口向下说明$a＜0$，两者矛盾，排除。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质；一次函数图象性质；含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的常考题型，解题核心是抓住相同参数在不同函数中的符号一致性，可通过分类讨论或定点法快速排除错误选项，能有效考查对函数性质的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
