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10 如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心画一个半径为2的圆,$C_1$是函数$y=x^2$的图象,$C_2$是函数$y=-x^2$的图象,则涂色部分的面积是
$2π$
.答案
10.$2π$
解析
【分析】
解题时先观察图形的对称性特征：函数$y=x^2$和$y=-x^2$的图象关于x轴对称，整个图形也关于y轴对称，因此可以用割补法将不规则的涂色部分拼接成规则图形。我们可以把x轴下方的涂色部分，通过对称变换补到x轴上方对应的空白区域，最终所有涂色部分刚好拼成半径为2的半圆，直接计算半圆面积即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=x^2$与$y=-x^2$的图象关于x轴对称，
$\therefore$ 可通过割补法，将所有涂色部分拼接为以原点为圆心、半径为2的半圆。
根据圆的面积公式$S_{圆}=πr^2$，代入$r=2$得：
涂色部分面积$S=\frac{1}{2}×π×2^2 = 2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用二次函数图象的对称性将不规则图形转化为熟悉的规则图形，简化计算过程，无需对每块涂色区域分别计算，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形的对称性特征：函数$y=x^2$和$y=-x^2$的图象关于x轴对称，整个图形也关于y轴对称，因此可以用割补法将不规则的涂色部分拼接成规则图形。我们可以把x轴下方的涂色部分，通过对称变换补到x轴上方对应的空白区域，最终所有涂色部分刚好拼成半径为2的半圆，直接计算半圆面积即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 函数$y=x^2$与$y=-x^2$的图象关于x轴对称，
$\therefore$ 可通过割补法，将所有涂色部分拼接为以原点为圆心、半径为2的半圆。
根据圆的面积公式$S_{圆}=πr^2$，代入$r=2$得：
涂色部分面积$S=\frac{1}{2}×π×2^2 = 2π$。
【答案】
$2π$
【知识点】
二次函数的对称性；割补法求面积；圆的面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用二次函数图象的对称性将不规则图形转化为熟悉的规则图形，简化计算过程，无需对每块涂色区域分别计算，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
11 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3)。若抛物线 $ y = ax^2 $ 与正方形有公共点，则实数a的取值范围是
$\frac{1}{9}≤a≤3$
。答案
11.$\frac{1}{9}≤a≤3$
解析
【分析】
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，首先明确二次函数$y=ax^2$中，$a＞0$时开口向上，且$a$越大开口越小，$a$越小开口越大。结合正方形的位置，我们只需找到两个临界情况：抛物线恰好经过正方形的左上角顶点$(1,3)$和右下角顶点$(3,1)$，分别求出对应的$a$值，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
已知正方形四个顶点为$(1,1)$、$(3,1)$、$(3,3)$、$(1,3)$，抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时，$a＞0$（若$a≤0$，抛物线开口向下或为x轴，与正方形无公共点）：
1. 当抛物线经过正方形左上角顶点$(1,3)$时，将$x=1,y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$，此时为$a$的最大值，若$a＞3$，抛物线开口过小，无法与正方形相交。
2. 当抛物线经过正方形右下角顶点$(3,1)$时，将$x=3,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×3^2$，即$9a=1$，解得$a=\frac{1}{9}$，此时为$a$的最小值，若$a＜\frac{1}{9}$，抛物线开口过大，无法与正方形相交。
综上，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤a≤3$。
【答案】
$\frac{1}{9}≤a≤3$
【知识点】
二次函数图象性质，点与函数解析式的关系，临界值求解
【点评】
本题解题的核心是利用数形结合思想，根据二次函数开口大小与$a$的关联，找到抛物线与正方形相交的两个边界点，代入解析式即可快速求出取值范围，避免了复杂的分类讨论。
【难度系数】
0.7
要确定抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时$a$的取值范围，首先明确二次函数$y=ax^2$中，$a＞0$时开口向上，且$a$越大开口越小，$a$越小开口越大。结合正方形的位置，我们只需找到两个临界情况：抛物线恰好经过正方形的左上角顶点$(1,3)$和右下角顶点$(3,1)$，分别求出对应的$a$值，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
已知正方形四个顶点为$(1,1)$、$(3,1)$、$(3,3)$、$(1,3)$，抛物线$y=ax^2$与正方形有公共点时，$a＞0$（若$a≤0$，抛物线开口向下或为x轴，与正方形无公共点）：
1. 当抛物线经过正方形左上角顶点$(1,3)$时，将$x=1,y=3$代入$y=ax^2$，得：
$3=a×1^2$，解得$a=3$，此时为$a$的最大值，若$a＞3$，抛物线开口过小，无法与正方形相交。
2. 当抛物线经过正方形右下角顶点$(3,1)$时，将$x=3,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×3^2$，即$9a=1$，解得$a=\frac{1}{9}$，此时为$a$的最小值，若$a＜\frac{1}{9}$，抛物线开口过大，无法与正方形相交。
综上，实数$a$的取值范围是$\frac{1}{9}≤a≤3$。
【答案】
$\frac{1}{9}≤a≤3$
【知识点】
二次函数图象性质，点与函数解析式的关系，临界值求解
【点评】
本题解题的核心是利用数形结合思想，根据二次函数开口大小与$a$的关联，找到抛物线与正方形相交的两个边界点，代入解析式即可快速求出取值范围，避免了复杂的分类讨论。
【难度系数】
0.7
12 已知点$A(2,8)$与点$B(-1,k)$都在二次函数$y=ax^2$的图象上.
（1）求$a$和$k$的值，并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及开口方向；
（2）求该函数图象上纵坐标为4的点的坐标；
（3）判断该函数的图象是否经过点$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$.
（1）求$a$和$k$的值，并写出该函数图象的对称轴、顶点坐标及开口方向；
（2）求该函数图象上纵坐标为4的点的坐标；
（3）判断该函数的图象是否经过点$(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$.
答案
12. (1) 由题意,得 $8=a · 2^2$,解得 $a=2$. $\therefore y=2x^2$. $\therefore$ 当 $x=-1$ 时, $k=2×(-1)^2=2$. 该函数图象的对称轴为 $y$ 轴,顶点坐标为 $(0,0)$,开口向上 (2) 令 $y=4$,则 $2x^2=4$,解得 $x_1=\sqrt{2}$, $x_2=-\sqrt{2}$. $\therefore$ 该函数图象上纵坐标为 4 的点的坐标为 $(\sqrt{2},4)$,$(-\sqrt{2},4)$ (3) 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, $y=2×(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}$. $\therefore$ 该函数的图象经过点 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质和点与函数图象的关系展开，解题思路如下：
1. 第（1）问：根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，先将点$A(2,8)$代入$y=ax^2$求出$a$的值，确定函数解析式；再将点$B(-1,k)$代入解析式求出$k$的值；最后结合$y=ax^2$的固定性质，直接得出对称轴、顶点坐标和开口方向。
2. 第（2）问：纵坐标为4即$y=4$，将其代入函数解析式得到关于$x$的一元二次方程，解方程求出$x$的取值，即可得到对应点的坐标。
3. 第（3）问：将待验证点的横坐标$x=-\frac{1}{2}$代入函数解析式，计算出对应的$y$值，和点的纵坐标$\frac{1}{2}$比较，若相等则点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(2,8)$代入$y=ax^2$，得：
$8 = a · 2^2$
解得 $a=2$，
∴二次函数解析式为 $y=2x^2$，
把点$B(-1,k)$代入$y=2x^2$，得：
$k=2 × (-1)^2 = 2$，
根据二次函数$y=ax^2$的性质可得：该函数图象的对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$，
∵$a=2＞0$，
∴函数图象开口向上。
(2) 令$y=4$，代入$y=2x^2$得：
$2x^2=4$，
化简得$x^2=2$，
解得 $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，
∴纵坐标为4的点的坐标为$(\sqrt{2},4)$和$(-\sqrt{2},4)$。
(3) 当$x=-\frac{1}{2}$时，代入$y=2x^2$得：
$y=2 × (-\frac{1}{2})^2 = 2 × \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，
计算得到的$y$值和点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$的纵坐标相等，
∴该函数的图象经过点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
【答案】
(1) $a=2$，$k=2$；对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$，开口向上；
(2) $(\sqrt{2},4)$，$(-\sqrt{2},4)$；
(3) 该函数图象经过点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，以及验证点是否在函数图象上的方法，解题核心是理解“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数$y=ax^2$的性质和点与函数图象的关系展开，解题思路如下：
1. 第（1）问：根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，先将点$A(2,8)$代入$y=ax^2$求出$a$的值，确定函数解析式；再将点$B(-1,k)$代入解析式求出$k$的值；最后结合$y=ax^2$的固定性质，直接得出对称轴、顶点坐标和开口方向。
2. 第（2）问：纵坐标为4即$y=4$，将其代入函数解析式得到关于$x$的一元二次方程，解方程求出$x$的取值，即可得到对应点的坐标。
3. 第（3）问：将待验证点的横坐标$x=-\frac{1}{2}$代入函数解析式，计算出对应的$y$值，和点的纵坐标$\frac{1}{2}$比较，若相等则点在函数图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(2,8)$代入$y=ax^2$，得：
$8 = a · 2^2$
解得 $a=2$，
∴二次函数解析式为 $y=2x^2$，
把点$B(-1,k)$代入$y=2x^2$，得：
$k=2 × (-1)^2 = 2$，
根据二次函数$y=ax^2$的性质可得：该函数图象的对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$，
∵$a=2＞0$，
∴函数图象开口向上。
(2) 令$y=4$，代入$y=2x^2$得：
$2x^2=4$，
化简得$x^2=2$，
解得 $x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$，
∴纵坐标为4的点的坐标为$(\sqrt{2},4)$和$(-\sqrt{2},4)$。
(3) 当$x=-\frac{1}{2}$时，代入$y=2x^2$得：
$y=2 × (-\frac{1}{2})^2 = 2 × \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$，
计算得到的$y$值和点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$的纵坐标相等，
∴该函数的图象经过点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
【答案】
(1) $a=2$，$k=2$；对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$，开口向上；
(2) $(\sqrt{2},4)$，$(-\sqrt{2},4)$；
(3) 该函数图象经过点$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握，以及验证点是否在函数图象上的方法，解题核心是理解“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律。
【难度系数】
0.8
13 已知抛物线 $ y = ax^2 $ 与直线 $ y = 2x - 3 $ 交于点(1, b).
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接OA，OB，求$ △ AOB $的面积；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，则当$ |PA - PB| $取得最大值时，求点P的坐标.
（1）求抛物线对应的函数解析式，并写出顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），连接OA，OB，求$ △ AOB $的面积；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，则当$ |PA - PB| $取得最大值时，求点P的坐标.
答案
13. (1) 将$(1,b)$代入$y=2x-3$,得$b=-1$. 将$(1,-1)$代入$y=ax^2$,得$-1=a · 1^2$,解得$a=-1$. $\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2$,顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴 (2) 令$-x^2=2x-3$,解得$x_1=-3$,$x_2=1$. 当$x=-3$时,$y=-9$;当$x=1$时,$y=-1$. $\therefore A(1,-1)$,$B(-3,-9)$. $\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×(1+9)×[1-(-3)]-\frac{1}{2}×3×9-\frac{1}{2}×1×1=6$ (3) 令点A关于$y$轴的对称点为$A'(-1,-1)$.连接$BA'$并延长,交$y$轴于点$P$,易知此时$|PA-PB|$的值最大. 设直线$A'B$对应的函数解析式为$y=kx+c$. 将$B(-3,-9)$,$A'(-1,-1)$代入,得$\begin{cases}-3k+c=-9,\\-k+c=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=4,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$ 直线$A'B$对应的函数解析式为$y=4x+3$. 当$x=0$时,$y=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(0,3)$
解析
【分析】
第(1)问：已知交点(1,b)同时满足抛物线和直线的解析式，先代入直线解析式求出b的值，再将交点坐标代入抛物线解析式求出a，即可得到抛物线解析式，结合$y=ax^2$的图象性质直接写出顶点坐标和对称轴。
第(2)问：联立抛物线与直线的解析式，解方程得到两个交点的横坐标，代入解析式求出对应纵坐标，结合点A在右侧确定A、B的坐标，用割补法即可计算$△ AOB$的面积。
第(3)问：根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，作点A关于y轴的对称点$A'$，可得$PA=PA'$，则$|PA-PB|=|PA'-PB|$，当$A'$、B、P三点共线时，差值取得最大值，求出直线$A'B$的解析式，再求其与y轴的交点即为P点坐标。
【解析】
(1) 将点$(1,b)$代入$y=2x-3$，得：
$b=2×1-3=-1$
∴交点坐标为$(1,-1)$
将$(1,-1)$代入$y=ax^2$，得：
$-1=a×1^2$，解得$a=-1$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得：
$\begin{cases}y=-x^2 \\ y=2x-3 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2+2x-3=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$
当$x=-3$时，$y=2×(-3)-3=-9$；当$x=1$时，$y=-1$
∵点A在点B的右侧，
∴$A(1,-1)$，$B(-3,-9)$
用割补法计算面积：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×(1+9)×[1-(-3)]-\frac{1}{2}×3×9-\frac{1}{2}×1×1=20-13.5-0.5=6$
(3) 作点A关于y轴的对称点$A'$，则$A'(-1,-1)$
∵点P在y轴上，
∴$PA=PA'$，则$|PA-PB|=|PA'-PB|$
根据三角形三边关系，当$A'$、B、P三点共线时，$|PA-PB|$取得最大值
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+c$，将$B(-3,-9)$、$A'(-1,-1)$代入得：
$\begin{cases}-3k+c=-9 \\ -k+c=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=4 \\ c=3 \end{cases}$
∴直线$A'B$的解析式为$y=4x+3$
令$x=0$，得$y=3$，即点P的坐标为$(0,3)$
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
(2) $△ AOB$的面积为$6$；
(3) 点P的坐标为$(0,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点问题；轴对称最值模型
【点评】
本题综合考查二次函数、一次函数的基础性质及几何最值的应用，题目设置层层递进，既考查学生对函数基础知识的掌握程度，也要求学生能灵活运用几何模型解决代数最值问题，是二次函数综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知交点(1,b)同时满足抛物线和直线的解析式，先代入直线解析式求出b的值，再将交点坐标代入抛物线解析式求出a，即可得到抛物线解析式，结合$y=ax^2$的图象性质直接写出顶点坐标和对称轴。
第(2)问：联立抛物线与直线的解析式，解方程得到两个交点的横坐标，代入解析式求出对应纵坐标，结合点A在右侧确定A、B的坐标，用割补法即可计算$△ AOB$的面积。
第(3)问：根据三角形三边关系“两边之差小于第三边”，作点A关于y轴的对称点$A'$，可得$PA=PA'$，则$|PA-PB|=|PA'-PB|$，当$A'$、B、P三点共线时，差值取得最大值，求出直线$A'B$的解析式，再求其与y轴的交点即为P点坐标。
【解析】
(1) 将点$(1,b)$代入$y=2x-3$，得：
$b=2×1-3=-1$
∴交点坐标为$(1,-1)$
将$(1,-1)$代入$y=ax^2$，得：
$-1=a×1^2$，解得$a=-1$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
(2) 联立抛物线与直线的解析式，得：
$\begin{cases}y=-x^2 \\ y=2x-3 \end{cases}$
消去y整理得：$x^2+2x-3=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=1$
当$x=-3$时，$y=2×(-3)-3=-9$；当$x=1$时，$y=-1$
∵点A在点B的右侧，
∴$A(1,-1)$，$B(-3,-9)$
用割补法计算面积：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×(1+9)×[1-(-3)]-\frac{1}{2}×3×9-\frac{1}{2}×1×1=20-13.5-0.5=6$
(3) 作点A关于y轴的对称点$A'$，则$A'(-1,-1)$
∵点P在y轴上，
∴$PA=PA'$，则$|PA-PB|=|PA'-PB|$
根据三角形三边关系，当$A'$、B、P三点共线时，$|PA-PB|$取得最大值
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+c$，将$B(-3,-9)$、$A'(-1,-1)$代入得：
$\begin{cases}-3k+c=-9 \\ -k+c=-1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=4 \\ c=3 \end{cases}$
∴直线$A'B$的解析式为$y=4x+3$
令$x=0$，得$y=3$，即点P的坐标为$(0,3)$
【答案】
(1) 抛物线解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴；
(2) $△ AOB$的面积为$6$；
(3) 点P的坐标为$(0,3)$
【知识点】
待定系数法求解析式；函数交点问题；轴对称最值模型
【点评】
本题综合考查二次函数、一次函数的基础性质及几何最值的应用，题目设置层层递进，既考查学生对函数基础知识的掌握程度，也要求学生能灵活运用几何模型解决代数最值问题，是二次函数综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
