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1 二次函数$y=-x^2 -4$的图象经过的象限为（
A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第一、三象限
C
）A.第一、二象限
B.第二、四象限
C.第三、四象限
D.第一、三象限
答案
1.C
解析
【分析】
要判断二次函数图象经过的象限，可按以下思路逐步推导：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，再确定抛物线的顶点位置，最后结合开口方向判断函数值的正负范围，就能确定图象所在的象限。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2-4$，解题步骤如下：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定顶点坐标：该函数是$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=-4$得顶点坐标为$(0,-4)$，即顶点在$y$轴负半轴，是抛物线的最高点；
3. 判断函数值范围：因为抛物线开口向下，且最高点的纵坐标为$-4＜0$，所以对任意实数$x$，都有$y=-x^2-4≤-4＜0$，即图象上所有点的纵坐标均为负数；
4. 对应象限判断：当$x＞0$时，点的横坐标为正、纵坐标为负，属于第四象限；当$x＜0$时，点的横坐标为负、纵坐标为负，属于第三象限。
因此该二次函数图象经过第三、四象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象性质；二次函数的开口方向；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象类的基础题，解题核心是熟练掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、顶点坐标的判断规则，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象经过的象限，可按以下思路逐步推导：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，再确定抛物线的顶点位置，最后结合开口方向判断函数值的正负范围，就能确定图象所在的象限。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2-4$，解题步骤如下：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定顶点坐标：该函数是$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，代入$k=-4$得顶点坐标为$(0,-4)$，即顶点在$y$轴负半轴，是抛物线的最高点；
3. 判断函数值范围：因为抛物线开口向下，且最高点的纵坐标为$-4＜0$，所以对任意实数$x$，都有$y=-x^2-4≤-4＜0$，即图象上所有点的纵坐标均为负数；
4. 对应象限判断：当$x＞0$时，点的横坐标为正、纵坐标为负，属于第四象限；当$x＜0$时，点的横坐标为负、纵坐标为负，属于第三象限。
因此该二次函数图象经过第三、四象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象性质；二次函数的开口方向；二次函数的顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象类的基础题，解题核心是熟练掌握$y=ax^2+k$型二次函数的开口方向、顶点坐标的判断规则，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2 函数$y=-2x^2+5$与$y=-2x^2-3$的图象的不同之处是 （
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
C
）A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象性质，解题时可按照以下思路推导：首先回忆二次函数$y=ax^2+k$中各参数对应的图象性质，再对比两个函数的参数，逐一验证选项对应的性质是否相同：①参数$a$决定开口方向、形状、开口大小，两个函数的$a$相同，因此这类性质一致；②$y=ax^2+k$的对称轴固定为$y$轴，因此对称轴相同；③顶点坐标为$(0,k)$，两个函数的$k$值不同，因此顶点不同，即可锁定答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，逐一分析选项：
1. A选项（对称轴）：$y=ax^2+k$的对称轴均为直线$x=0$（即$y$轴），两个函数的对称轴相同，排除A；
2. B选项（开口方向）：开口方向由$a$的符号决定，两个函数$a=-2＜0$，均开口向下，开口方向相同，排除B；
3. C选项（顶点）：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，$y=-2x^2+5$的顶点为$(0,5)$，$y=-2x^2-3$的顶点为$(0,-3)$，二者顶点不同，符合题意；
4. D选项（形状）：图象形状由$|a|$决定，两个函数$|a|=2$，形状完全相同，排除D。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象特征
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是区分参数$a$和$k$对二次函数图象的不同影响，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象性质，解题时可按照以下思路推导：首先回忆二次函数$y=ax^2+k$中各参数对应的图象性质，再对比两个函数的参数，逐一验证选项对应的性质是否相同：①参数$a$决定开口方向、形状、开口大小，两个函数的$a$相同，因此这类性质一致；②$y=ax^2+k$的对称轴固定为$y$轴，因此对称轴相同；③顶点坐标为$(0,k)$，两个函数的$k$值不同，因此顶点不同，即可锁定答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+k$，逐一分析选项：
1. A选项（对称轴）：$y=ax^2+k$的对称轴均为直线$x=0$（即$y$轴），两个函数的对称轴相同，排除A；
2. B选项（开口方向）：开口方向由$a$的符号决定，两个函数$a=-2＜0$，均开口向下，开口方向相同，排除B；
3. C选项（顶点）：$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，$y=-2x^2+5$的顶点为$(0,5)$，$y=-2x^2-3$的顶点为$(0,-3)$，二者顶点不同，符合题意；
4. D选项（形状）：图象形状由$|a|$决定，两个函数$|a|=2$，形状完全相同，排除D。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象特征
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是区分参数$a$和$k$对二次函数图象的不同影响，牢记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3 已知抛物线 $ y = 2x^2 + m^2 - 4m $ 的最低点为 $ (0, -4) $，则 $ m $ 的值为
2
。答案
3.2
解析
【分析】
首先观察抛物线解析式的形式为$y=ax^2+k$，其中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，顶点就是它的最低点，顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=m^2-4m$。已知最低点坐标为$(0,-4)$，说明顶点纵坐标为$-4$，据此列关于$m$的方程求解即可。
【解析】
解：$\because$ 抛物线$y=2x^2+m^2-4m$中，二次项系数$2＞0$
$\therefore$ 抛物线开口向上，其顶点就是最低点，顶点坐标为$(0,m^2-4m)$
又$\because$ 抛物线最低点为$(0,-4)$
$\therefore$ 可得方程：$m^2-4m=-4$
整理得：$m^2-4m+4=0$
配方得：$(m-2)^2=0$
解得：$m=2$
【答案】
$2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题解题核心是明确开口向上的抛物线的顶点即为最低点，顶点纵坐标对应解析式中的常数项，结合方程即可求解，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先观察抛物线解析式的形式为$y=ax^2+k$，其中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，顶点就是它的最低点，顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=m^2-4m$。已知最低点坐标为$(0,-4)$，说明顶点纵坐标为$-4$，据此列关于$m$的方程求解即可。
【解析】
解：$\because$ 抛物线$y=2x^2+m^2-4m$中，二次项系数$2＞0$
$\therefore$ 抛物线开口向上，其顶点就是最低点，顶点坐标为$(0,m^2-4m)$
又$\because$ 抛物线最低点为$(0,-4)$
$\therefore$ 可得方程：$m^2-4m=-4$
整理得：$m^2-4m+4=0$
配方得：$(m-2)^2=0$
解得：$m=2$
【答案】
$2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质；解一元二次方程
【点评】
本题解题核心是明确开口向上的抛物线的顶点即为最低点，顶点纵坐标对应解析式中的常数项，结合方程即可求解，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
4 已知二次函数的图象以$A(0,1)$为顶点，且过点$B(2,3)$。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）画出该二次函数的图象。
（1）求该二次函数的解析式；
（2）画出该二次函数的图象。
答案
4. (1) 由题意,可设该二次函数的解析式为 $y=ax^2+c(a≠0)$.将A(0,1),B(2,3)代入,得$\begin{cases}c=1,\\4a+c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2},\\c=1.\end{cases}$
∴该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$ (2) 图象略
∴该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$ (2) 图象略
解析
【分析】
（1）已知二次函数的顶点为$A(0,1)$，说明其对称轴为y轴，无一次项，符合$y=ax^2+k(a≠0)$的形式，顶点纵坐标就是常数项$k$的值。因此可先设出该形式的解析式，再将$A$、$B$两点的坐标代入，得到关于$a$、$k$的方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）画二次函数图象采用描点法，先确定顶点，再取关于对称轴对称的几组点，描点后用平滑曲线连接即可。
【解析】
（1）由题意，该二次函数顶点在$(0,1)$，对称轴为y轴，可设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
将$A(0,1)$代入解析式，得：$c=1$；
将$B(2,3)$和$c=1$代入解析式，得：$4a + 1 = 3$，解得$a=\frac{1}{2}$。
∴该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$。
（2）绘制图象步骤：①列表：取$x$为$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$，计算对应$y$值分别为$3$、$\frac{3}{2}$、$1$、$\frac{3}{2}$、$3$；②描点：在平面直角坐标系中描出上述坐标点；③连线：用平滑的曲线从左到右连接各点，即得该二次函数的图象。（图象略）
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$；(2) 图象略
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象画法；二次函数顶点式应用
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查根据顶点特征简化解析式的设定，再通过待定系数法求解参数，掌握$y=ax^2+k$类二次函数的结构特征和图象画法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次函数的顶点为$A(0,1)$，说明其对称轴为y轴，无一次项，符合$y=ax^2+k(a≠0)$的形式，顶点纵坐标就是常数项$k$的值。因此可先设出该形式的解析式，再将$A$、$B$两点的坐标代入，得到关于$a$、$k$的方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
（2）画二次函数图象采用描点法，先确定顶点，再取关于对称轴对称的几组点，描点后用平滑曲线连接即可。
【解析】
（1）由题意，该二次函数顶点在$(0,1)$，对称轴为y轴，可设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。
将$A(0,1)$代入解析式，得：$c=1$；
将$B(2,3)$和$c=1$代入解析式，得：$4a + 1 = 3$，解得$a=\frac{1}{2}$。
∴该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$。
（2）绘制图象步骤：①列表：取$x$为$-2$、$-1$、$0$、$1$、$2$，计算对应$y$值分别为$3$、$\frac{3}{2}$、$1$、$\frac{3}{2}$、$3$；②描点：在平面直角坐标系中描出上述坐标点；③连线：用平滑的曲线从左到右连接各点，即得该二次函数的图象。（图象略）
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$；(2) 图象略
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象画法；二次函数顶点式应用
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查根据顶点特征简化解析式的设定，再通过待定系数法求解参数，掌握$y=ax^2+k$类二次函数的结构特征和图象画法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5 下列函数中,当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而减小的是 （
A.$y=x^2+1$
B.$y=-x^2+1$
C.$y=x-1$
D.$y=x+1$
B
）A.$y=x^2+1$
B.$y=-x^2+1$
C.$y=x-1$
D.$y=x+1$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时需逐个判断各选项对应函数在x＞1范围内的增减性，步骤如下：第一步先区分函数类型，C、D为一次函数，A、B为二次函数；第二步分别回忆一次函数、二次函数y=ax²+k的增减性规律，结合给定的x＞1的范围逐一排查，排除不符合要求的选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项C、D：两个函数均为一次函数，形式为y=kx+b（k≠0），其中k=1＞0，根据一次函数性质，k＞0时，y随x的增大而增大，与x的取值范围无关，因此x＞1时两个函数的y都随x增大而增大，排除C、D；
2. 分析选项A：函数为二次函数y=ax²+k，其中a=1＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为x=0（y轴），根据二次函数性质，开口向上时，对称轴右侧（x＞0）y随x的增大而增大，x＞1属于x＞0的范围，因此x＞1时y随x增大而增大，不符合要求，排除A；
3. 分析选项B：函数为二次函数y=ax²+k，其中a=-1＜0，因此抛物线开口向下，对称轴为x=0（y轴），根据二次函数性质，开口向下时，对称轴右侧（x＞0）y随x的增大而减小，x＞1属于x＞0的范围，因此x＞1时y随x增大而减小，符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax²+k的图象与性质
【点评】
本题主要考查不同类型函数增减性的判断，解题的核心是熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，结合自变量的取值范围判断函数的变化趋势，属于基础题型，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时需逐个判断各选项对应函数在x＞1范围内的增减性，步骤如下：第一步先区分函数类型，C、D为一次函数，A、B为二次函数；第二步分别回忆一次函数、二次函数y=ax²+k的增减性规律，结合给定的x＞1的范围逐一排查，排除不符合要求的选项，最终选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项C、D：两个函数均为一次函数，形式为y=kx+b（k≠0），其中k=1＞0，根据一次函数性质，k＞0时，y随x的增大而增大，与x的取值范围无关，因此x＞1时两个函数的y都随x增大而增大，排除C、D；
2. 分析选项A：函数为二次函数y=ax²+k，其中a=1＞0，因此抛物线开口向上，对称轴为x=0（y轴），根据二次函数性质，开口向上时，对称轴右侧（x＞0）y随x的增大而增大，x＞1属于x＞0的范围，因此x＞1时y随x增大而增大，不符合要求，排除A；
3. 分析选项B：函数为二次函数y=ax²+k，其中a=-1＜0，因此抛物线开口向下，对称轴为x=0（y轴），根据二次函数性质，开口向下时，对称轴右侧（x＞0）y随x的增大而减小，x＞1属于x＞0的范围，因此x＞1时y随x增大而减小，符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax²+k的图象与性质
【点评】
本题主要考查不同类型函数增减性的判断，解题的核心是熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，结合自变量的取值范围判断函数的变化趋势，属于基础题型，熟记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6（易错题）对于二次函数$y=2x^2 -3$，当$-1≤x≤2$时，y的取值范围是 （
A.$-1≤y≤5$
B.$-5≤y≤5$
C.$-3≤y≤5$
D.$-2≤y≤5$
C
）A.$-1≤y≤5$
B.$-5≤y≤5$
C.$-3≤y≤5$
D.$-2≤y≤5$
答案
6.C
易忽视抛物线的顶点而致错。
易忽视抛物线的顶点而致错。
解析
【分析】
要确定二次函数在给定闭区间内y的取值范围，首先要明确该二次函数的基本性质：先判断开口方向，找到对称轴与顶点坐标，再判断顶点是否在给定区间内。由于开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，再比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可得到最大值，最终确定y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2 -3$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-3)$；
2. 顶点横坐标$0$在区间$-1≤x≤2$内，因此当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=-3$；
3. 分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=2-3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=8-3=5$；
4. 开口向上的抛物线，离对称轴越远函数值越大，$2$比$-1$到$x=0$的距离更远，因此$y$的最大值为$5$。
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数最值计算；区间函数值范围求解
【点评】
本题是易错题，易错点是忽略抛物线顶点在给定区间内，直接代入区间两个端点计算取值范围，导致误选A。解决此类问题的关键是先判断顶点是否落在给定区间内，再结合抛物线的开口方向确定最值位置。
【难度系数】
0.7
要确定二次函数在给定闭区间内y的取值范围，首先要明确该二次函数的基本性质：先判断开口方向，找到对称轴与顶点坐标，再判断顶点是否在给定区间内。由于开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，再比较区间两个端点到对称轴的距离，离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可得到最大值，最终确定y的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2 -3$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上，对称轴为$x=0$（即y轴），顶点坐标为$(0,-3)$；
2. 顶点横坐标$0$在区间$-1≤x≤2$内，因此当$x=0$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=-3$；
3. 分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=2-3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=8-3=5$；
4. 开口向上的抛物线，离对称轴越远函数值越大，$2$比$-1$到$x=0$的距离更远，因此$y$的最大值为$5$。
综上，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数y=ax²+k的性质；二次函数最值计算；区间函数值范围求解
【点评】
本题是易错题，易错点是忽略抛物线顶点在给定区间内，直接代入区间两个端点计算取值范围，导致误选A。解决此类问题的关键是先判断顶点是否落在给定区间内，再结合抛物线的开口方向确定最值位置。
【难度系数】
0.7
7 已知二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2 +1$，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是
$x＜0$
。答案
7.$x＜0$
解析
【分析】
要确定二次函数y随x增大而增大时x的取值范围，可按以下思路推导：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，再明确抛物线的对称轴，最后结合开口方向和对称轴的位置分析函数的增减性，即可得到对应的x取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2 +1$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定对称轴：该函数是$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 分析增减性：开口向下的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，因此当y随x的增大而增大时，x的取值范围是$x＜0$。
【答案】
$x＜0$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质 2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是基础类考题，主要考查二次函数增减性的判断，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数y随x增大而增大时x的取值范围，可按以下思路推导：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，再明确抛物线的对称轴，最后结合开口方向和对称轴的位置分析函数的增减性，即可得到对应的x取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=-\dfrac{1}{4}x^2 +1$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 确定对称轴：该函数是$y=ax^2+k$的形式，对称轴为直线$x=0$（即y轴）；
3. 分析增减性：开口向下的抛物线，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，因此当y随x的增大而增大时，x的取值范围是$x＜0$。
【答案】
$x＜0$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质 2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是基础类考题，主要考查二次函数增减性的判断，熟练掌握开口方向、对称轴与函数增减性的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
8 如果点$(-4,y_1),(-3,y_2)$在函数$y=x^2+1$的图象上，那么$y_1$
＞
$y_2$(填“＞”“＜”或“=”)答案
8. ＞
解析
【分析】
这道题可通过两种思路求解：思路一：代入计算法，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的横坐标分别代入解析式求出y₁、y₂的值，直接比较大小即可。思路二：利用二次函数增减性判断，先明确二次函数y=x²+1的开口方向、对称轴，再判断两个点所在的区间，结合对应区间的增减性比较y值大小，无需计算即可快速得出结论。
【解析】
方法1（代入求值法）：
将x=-4代入y=x²+1，得：
$y_1=(-4)^2+1=16+1=17$
将x=-3代入y=x²+1，得：
$y_2=(-3)^2+1=9+1=10$
∵17＞10
∴$y_1＞y_2$
方法2（利用函数性质法）：
在二次函数$y=x^2+1$中，$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线x=0），
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵$-4＜-3＜0$，
∴$y_1＞y_2$
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次函数y=ax²+k的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既可以通过代入求值的方法直接比较，也可以利用二次函数的增减性快速判断，两种方法都建议熟练掌握，能够提高解题效率。
【难度系数】
0.9
这道题可通过两种思路求解：思路一：代入计算法，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的横坐标分别代入解析式求出y₁、y₂的值，直接比较大小即可。思路二：利用二次函数增减性判断，先明确二次函数y=x²+1的开口方向、对称轴，再判断两个点所在的区间，结合对应区间的增减性比较y值大小，无需计算即可快速得出结论。
【解析】
方法1（代入求值法）：
将x=-4代入y=x²+1，得：
$y_1=(-4)^2+1=16+1=17$
将x=-3代入y=x²+1，得：
$y_2=(-3)^2+1=9+1=10$
∵17＞10
∴$y_1＞y_2$
方法2（利用函数性质法）：
在二次函数$y=x^2+1$中，$a=1＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线x=0），
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵$-4＜-3＜0$，
∴$y_1＞y_2$
【答案】
＞
【知识点】
1. 二次函数y=ax²+k的性质
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题型，既可以通过代入求值的方法直接比较，也可以利用二次函数的增减性快速判断，两种方法都建议熟练掌握，能够提高解题效率。
【难度系数】
0.9
9 顶点坐标为$(0,-5)$，且与抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为________，将该抛物线向上平移3个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为________。
答案
9. $y=\dfrac{1}{3}x^2 -5$ $y=\dfrac{1}{3}x^2 -2$
解析
【分析】
解决本题需分两步思考：第一步求原抛物线解析式，首先明确二次函数中a的作用：a决定抛物线的开口方向和形状，两条抛物线形状相同则|a|相等，开口方向相反则a的符号相反，由此可确定所求抛物线的a值；再结合顶点坐标为(0,-5)，对于y=ax²+k形式的二次函数，顶点坐标为(0,k)，即可确定k值，得到第一个解析式。第二步求平移后的解析式，根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，给原解析式的常数项加3即可得到结果。
【解析】
1. 求顶点为(0,-5)的抛物线解析式：
设所求抛物线解析式为$ y=ax^2+k $，
∵ 所求抛物线与$ y=-\dfrac{1}{3}x^2 $形状相同、开口方向相反，
∴ $ a = \dfrac{1}{3} $（形状相同则$|a|$相等，开口相反则a与原抛物线a符号相反），
又
∵ 抛物线顶点坐标为$(0,-5)$，对于$ y=ax^2+k $，顶点坐标为$(0,k)$，
∴ $ k=-5 $，
因此该抛物线解析式为$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -5 $。
2. 求向上平移3个单位后的解析式：
根据二次函数平移规律“上加下减（常数项）”，将抛物线向上平移3个单位，只需给常数项加3，
∴ 平移后解析式为$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -5 +3 = \dfrac{1}{3}x^2 -2 $。
【答案】
$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -5 $；$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -2 $
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数图象平移规律
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数中参数a的意义、y=ax²+k型二次函数的顶点特征以及图象平移规律，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题需分两步思考：第一步求原抛物线解析式，首先明确二次函数中a的作用：a决定抛物线的开口方向和形状，两条抛物线形状相同则|a|相等，开口方向相反则a的符号相反，由此可确定所求抛物线的a值；再结合顶点坐标为(0,-5)，对于y=ax²+k形式的二次函数，顶点坐标为(0,k)，即可确定k值，得到第一个解析式。第二步求平移后的解析式，根据二次函数平移“上加下减常数项”的规律，给原解析式的常数项加3即可得到结果。
【解析】
1. 求顶点为(0,-5)的抛物线解析式：
设所求抛物线解析式为$ y=ax^2+k $，
∵ 所求抛物线与$ y=-\dfrac{1}{3}x^2 $形状相同、开口方向相反，
∴ $ a = \dfrac{1}{3} $（形状相同则$|a|$相等，开口相反则a与原抛物线a符号相反），
又
∵ 抛物线顶点坐标为$(0,-5)$，对于$ y=ax^2+k $，顶点坐标为$(0,k)$，
∴ $ k=-5 $，
因此该抛物线解析式为$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -5 $。
2. 求向上平移3个单位后的解析式：
根据二次函数平移规律“上加下减（常数项）”，将抛物线向上平移3个单位，只需给常数项加3，
∴ 平移后解析式为$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -5 +3 = \dfrac{1}{3}x^2 -2 $。
【答案】
$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -5 $；$ y=\dfrac{1}{3}x^2 -2 $
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 二次函数图象平移规律
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数中参数a的意义、y=ax²+k型二次函数的顶点特征以及图象平移规律，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10 已知二次函数 $ y=ax^2 $ 与 $ y=-2x^2 + c $。
（1）随着 $ a $ 和 $ c $ 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，求 $ a $ 的值；
（3）若将抛物线 $ y=ax^2 $ 沿 $ y $ 轴向下平移2个单位长度就能与抛物线 $ y=-2x^2 + c $ 完全重合，求 $ c $ 的值。
（1）随着 $ a $ 和 $ c $ 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，求 $ a $ 的值；
（3）若将抛物线 $ y=ax^2 $ 沿 $ y $ 轴向下平移2个单位长度就能与抛物线 $ y=-2x^2 + c $ 完全重合，求 $ c $ 的值。
答案
10. (1) 二次函数$y=ax^2$的图象随着a的变化,开口大小和开口方向都会变化,但是对称轴、顶点坐标不会改变;二次函数$y=-2x^2+c$的图象随着c的变化,开口大小和开口方向都没有改变,对称轴也没有改变,但是顶点坐标会发生改变(合理即可) (2)
∵ 函数$y=ax^2$与函数$y=-2x^2+c$图象的形状相同,
∴$a=±2$ (3)
∵ 抛物线$y=ax^2$沿y轴向下平移2个单位长度得到抛物线$y=ax^2-2$,与抛物线$y=-2x^2+c$完全重合,
∴$c=-2$
∵ 函数$y=ax^2$与函数$y=-2x^2+c$图象的形状相同,
∴$a=±2$ (3)
∵ 抛物线$y=ax^2$沿y轴向下平移2个单位长度得到抛物线$y=ax^2-2$,与抛物线$y=-2x^2+c$完全重合,
∴$c=-2$
解析
【分析】
（1）解决第一问需结合二次函数$y=ax^2$、$y=ax^2+k$的图象性质分析：对于$y=ax^2$，二次项系数$a$决定开口方向和开口大小，其对称轴固定为y轴，顶点固定为原点，因此$a$变化时仅开口相关属性改变，对称轴、顶点不变；对于$y=-2x^2+c$，二次项系数固定为$-2$，因此开口方向、大小、对称轴都固定，$c$仅影响顶点纵坐标，因此$c$变化时仅顶点坐标改变。
（2）第二问需明确：二次函数图象的形状仅由二次项系数的绝对值决定，两个函数形状相同则二次项系数的绝对值相等，据此列等式求解$a$即可。
（3）第三问需用到函数平移“上加下减”的规律：沿y轴向下平移2个单位，函数表达式整体减2，得到平移后的解析式，再根据两抛物线完全重合则对应项系数完全相等，即可求出$c$的值。
【解析】
（1）二次函数$y=ax^2$的图象随着$a$的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数$y=-2x^2 + c$的图象随着$c$的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐标会发生改变（合理即可）。
（2）
∵ 函数$y=ax^2$与函数$y=-2x^2+c$图象的形状相同，
∴ $|a|=|-2|$，
解得$a=\pm 2$。
（3）
∵ 将抛物线$y=ax^2$沿$y$轴向下平移2个单位长度得到抛物线$y=ax^2-2$，与抛物线$y=-2x^2 + c$完全重合，
∴ 对应项系数相等，即$a=-2$，$-2=c$，
因此$c=-2$。
【答案】
(1) 二次函数$y=ax^2$的图象随着a的变化,开口大小和开口方向都会变化,但是对称轴、顶点坐标不会改变;二次函数$y=-2x^2+c$的图象随着c的变化,开口大小和开口方向都没有改变,对称轴也没有改变,但是顶点坐标会发生改变(合理即可)
(2) $a=\pm 2$
(3) $c=-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象的平移；二次函数与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察二次项系数对图象的影响、图象平移规律等基础知识点，掌握相关性质即可快速解题，是二次函数章节的必掌握题型。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问需结合二次函数$y=ax^2$、$y=ax^2+k$的图象性质分析：对于$y=ax^2$，二次项系数$a$决定开口方向和开口大小，其对称轴固定为y轴，顶点固定为原点，因此$a$变化时仅开口相关属性改变，对称轴、顶点不变；对于$y=-2x^2+c$，二次项系数固定为$-2$，因此开口方向、大小、对称轴都固定，$c$仅影响顶点纵坐标，因此$c$变化时仅顶点坐标改变。
（2）第二问需明确：二次函数图象的形状仅由二次项系数的绝对值决定，两个函数形状相同则二次项系数的绝对值相等，据此列等式求解$a$即可。
（3）第三问需用到函数平移“上加下减”的规律：沿y轴向下平移2个单位，函数表达式整体减2，得到平移后的解析式，再根据两抛物线完全重合则对应项系数完全相等，即可求出$c$的值。
【解析】
（1）二次函数$y=ax^2$的图象随着$a$的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数$y=-2x^2 + c$的图象随着$c$的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是顶点坐标会发生改变（合理即可）。
（2）
∵ 函数$y=ax^2$与函数$y=-2x^2+c$图象的形状相同，
∴ $|a|=|-2|$，
解得$a=\pm 2$。
（3）
∵ 将抛物线$y=ax^2$沿$y$轴向下平移2个单位长度得到抛物线$y=ax^2-2$，与抛物线$y=-2x^2 + c$完全重合，
∴ 对应项系数相等，即$a=-2$，$-2=c$，
因此$c=-2$。
【答案】
(1) 二次函数$y=ax^2$的图象随着a的变化,开口大小和开口方向都会变化,但是对称轴、顶点坐标不会改变;二次函数$y=-2x^2+c$的图象随着c的变化,开口大小和开口方向都没有改变,对称轴也没有改变,但是顶点坐标会发生改变(合理即可)
(2) $a=\pm 2$
(3) $c=-2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数图象的平移；二次函数与系数的关系
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考察二次项系数对图象的影响、图象平移规律等基础知识点，掌握相关性质即可快速解题，是二次函数章节的必掌握题型。
【难度系数】
0.8
11 已知$a＜-1$，点$(a-1,y_1),(a,y_2),(a+1,y_3)$都在函数$y=x^2+1$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
11.C
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，首先明确二次函数$y=x^2+1$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。接下来结合已知$a＜-1$，判断三个点的横坐标的范围：$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，即三个点都在对称轴左侧的递减区间，此时横坐标越大，对应的函数值越小，最后通过横坐标的大小关系即可推导函数值的大小关系。也可代入符合条件的特殊值快速计算验证。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
1. 二次函数$y=x^2+1$中，二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=0$；
2. 由性质得：在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$a＜-1$，因此$a+1 ＜ -1 +1 = 0$，即三个点的横坐标$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，都在对称轴左侧；
4. 因为左侧$y$随$x$增大而减小，横坐标越大函数值越小，所以$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
方法二：特殊值验证法
取符合$a＜-1$的特殊值，如令$a=-2$，则三个点的横坐标分别为：
$a-1=-3$，$a=-2$，$a+1=-1$
代入$y=x^2+1$计算得：
$y_1=(-3)^2+1=10$，$y_2=(-2)^2+1=5$，$y_3=(-1)^2+1=2$
因此$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确函数的开口方向、对称轴，再判断各点所在的区间，结合增减性比较函数值大小，也可通过代入特殊值的方法快速得到答案，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，首先明确二次函数$y=x^2+1$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。接下来结合已知$a＜-1$，判断三个点的横坐标的范围：$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，即三个点都在对称轴左侧的递减区间，此时横坐标越大，对应的函数值越小，最后通过横坐标的大小关系即可推导函数值的大小关系。也可代入符合条件的特殊值快速计算验证。
【解析】
方法一：利用二次函数增减性求解
1. 二次函数$y=x^2+1$中，二次项系数为$1＞0$，因此图象开口向上，对称轴为直线$x=0$；
2. 由性质得：在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；
3. 已知$a＜-1$，因此$a+1 ＜ -1 +1 = 0$，即三个点的横坐标$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，都在对称轴左侧；
4. 因为左侧$y$随$x$增大而减小，横坐标越大函数值越小，所以$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
方法二：特殊值验证法
取符合$a＜-1$的特殊值，如令$a=-2$，则三个点的横坐标分别为：
$a-1=-3$，$a=-2$，$a+1=-1$
代入$y=x^2+1$计算得：
$y_1=(-3)^2+1=10$，$y_2=(-2)^2+1=5$，$y_3=(-1)^2+1=2$
因此$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题核心是先明确函数的开口方向、对称轴，再判断各点所在的区间，结合增减性比较函数值大小，也可通过代入特殊值的方法快速得到答案，是二次函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
