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12 将抛物线 $ y = x^2 - 1 $ 向下平移8个单位长度后，与x轴的两个交点之间的距离为
6
。答案
12.6
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，求出抛物线向下平移8个单位后的解析式；第二步，求平移后抛物线与x轴的交点，令y=0解一元二次方程，得到两个交点的横坐标；第三步，计算两个横坐标差的绝对值，即为两个交点之间的距离。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y = x^2 -1$，向下平移8个单位长度，根据平移“上加下减”的规则，平移后解析式为：
$y = x^2 -1 -8 = x^2 -9$
2. 求平移后抛物线与x轴的交点：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，得方程：
$x^2 -9 = 0$
因式分解得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$
即两个交点坐标为$(3,0)$、$(-3,0)$
3. 计算两交点距离：
两交点在x轴上，距离为$|3 - (-3)| = 6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数与x轴交点；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数平移规则和函数与坐标轴交点的计算方法，熟练掌握基础概念和运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，求出抛物线向下平移8个单位后的解析式；第二步，求平移后抛物线与x轴的交点，令y=0解一元二次方程，得到两个交点的横坐标；第三步，计算两个横坐标差的绝对值，即为两个交点之间的距离。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y = x^2 -1$，向下平移8个单位长度，根据平移“上加下减”的规则，平移后解析式为：
$y = x^2 -1 -8 = x^2 -9$
2. 求平移后抛物线与x轴的交点：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，得方程：
$x^2 -9 = 0$
因式分解得$(x+3)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$
即两个交点坐标为$(3,0)$、$(-3,0)$
3. 计算两交点距离：
两交点在x轴上，距离为$|3 - (-3)| = 6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数与x轴交点；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数平移规则和函数与坐标轴交点的计算方法，熟练掌握基础概念和运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
13（1）若抛物线$y=ax^2 +k$的顶点在直线$y=-2$上，且当$x=1$时，$y=-3$，则$a=$
（2）如果将（1）中的抛物线关于$x$轴作对称变换，那么得到的抛物线对应的函数解析式为
-1
，$k=$-2
；（2）如果将（1）中的抛物线关于$x$轴作对称变换，那么得到的抛物线对应的函数解析式为
$y=x^2+2$
。答案
13. (1) -1 -2 (2) $y=x^2+2$
解析
【分析】
（1）首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标特征，它的顶点为$(0,k)$，已知顶点在直线$y=-2$上，可直接求出$k$的值；再将$x=1、y=-3$代入含$k$的解析式，通过解方程即可求出$a$的值。（2）关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此将原抛物线解析式中的$y$替换为$-y$，整理后就能得到对称后的抛物线解析式。
【解析】
（1）抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，
∵顶点在直线$y=-2$上，
∴$k=-2$，即抛物线解析式为$y=ax^2-2$，
将$x=1、y=-3$代入解析式得：
$-3=a×1^2 - 2$，
解得$a=-1$。
（2）由（1）得原抛物线解析式为$y=-x^2-2$，
抛物线关于x轴对称时，对应点横坐标不变、纵坐标互为相反数，将原解析式中的$y$替换为$-y$可得：
$-y=-x^2-2$，
整理得$y=x^2+2$。
【答案】
(1) $-1$，$-2$；(2) $y=x^2+2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 待定系数法求解析式；3. 二次函数对称变换
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考察二次函数顶点坐标特征、待定系数法的应用以及函数轴对称变换的规律，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标特征，它的顶点为$(0,k)$，已知顶点在直线$y=-2$上，可直接求出$k$的值；再将$x=1、y=-3$代入含$k$的解析式，通过解方程即可求出$a$的值。（2）关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变、纵坐标互为相反数，因此将原抛物线解析式中的$y$替换为$-y$，整理后就能得到对称后的抛物线解析式。
【解析】
（1）抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，
∵顶点在直线$y=-2$上，
∴$k=-2$，即抛物线解析式为$y=ax^2-2$，
将$x=1、y=-3$代入解析式得：
$-3=a×1^2 - 2$，
解得$a=-1$。
（2）由（1）得原抛物线解析式为$y=-x^2-2$，
抛物线关于x轴对称时，对应点横坐标不变、纵坐标互为相反数，将原解析式中的$y$替换为$-y$可得：
$-y=-x^2-2$，
整理得$y=x^2+2$。
【答案】
(1) $-1$，$-2$；(2) $y=x^2+2$
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 待定系数法求解析式；3. 二次函数对称变换
【点评】
本题属于二次函数基础题，重点考察二次函数顶点坐标特征、待定系数法的应用以及函数轴对称变换的规律，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
14 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + 4 $ 与 y 轴交于点 A,过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 于点 B,C,则 BC 的长为 
8
。答案
14.8
解析
【分析】
解题思路如下：首先求点A的坐标，抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入第一个抛物线解析式即可求出A点纵坐标；过点A且平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都等于A点的纵坐标，据此得到直线BC的解析式；再将直线BC的解析式与抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$联立，求出B、C两点的横坐标，因为两点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，即可求得BC的长度。
【解析】
第一步：求点A的坐标
对于抛物线$y=ax^2+4$，当$x=0$时，$y=4$，因此点A的坐标为$(0,4)$。
第二步：确定直线BC的解析式
过点A且与x轴平行的直线上所有点的纵坐标均为4，因此直线BC的解析式为$y=4$。
第三步：求B、C两点的横坐标
将$y=4$代入抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$中，可得：
$4=\frac{1}{4}x^2$
解得$x^2=16$，即$x_1=4$，$x_2=-4$。
因此点B坐标为$(-4,4)$，点C坐标为$(4,4)$。
第四步：计算BC的长度
因为B、C两点纵坐标相同，所以$BC=|4 - (-4)|=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 平行于x轴的直线的坐标特征
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题的关键是明确平行于x轴的直线的纵坐标相等，通过联立方程求出交点坐标后即可计算线段长度，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先求点A的坐标，抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入第一个抛物线解析式即可求出A点纵坐标；过点A且平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都等于A点的纵坐标，据此得到直线BC的解析式；再将直线BC的解析式与抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$联立，求出B、C两点的横坐标，因为两点纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，即可求得BC的长度。
【解析】
第一步：求点A的坐标
对于抛物线$y=ax^2+4$，当$x=0$时，$y=4$，因此点A的坐标为$(0,4)$。
第二步：确定直线BC的解析式
过点A且与x轴平行的直线上所有点的纵坐标均为4，因此直线BC的解析式为$y=4$。
第三步：求B、C两点的横坐标
将$y=4$代入抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$中，可得：
$4=\frac{1}{4}x^2$
解得$x^2=16$，即$x_1=4$，$x_2=-4$。
因此点B坐标为$(-4,4)$，点C坐标为$(4,4)$。
第四步：计算BC的长度
因为B、C两点纵坐标相同，所以$BC=|4 - (-4)|=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 平行于x轴的直线的坐标特征
3. 两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，解题的关键是明确平行于x轴的直线的纵坐标相等，通过联立方程求出交点坐标后即可计算线段长度，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
15 已知抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的顶点坐标是(0，-2)，且过点(1,1)。
(1) 求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴；
(2) 若 $ M(x_1,y_1) $，$ N(x_2,y_2) $ 是该抛物线上的两点，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系如何？
(1) 求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴；
(2) 若 $ M(x_1,y_1) $，$ N(x_2,y_2) $ 是该抛物线上的两点，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系如何？
答案
15. (1) 由题意,得$\begin{cases}k=-2,\\a+k=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\k=-2.\end{cases}$
∴ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=3x^2-2$,抛物线开口向上,对称轴为 y 轴 (2) 当$x＜0$时,y 随 x 的增大而减小.
∵ $x_1＜x_2＜0$,
∴ $y_1＞y_2$
∴ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=3x^2-2$,抛物线开口向上,对称轴为 y 轴 (2) 当$x＜0$时,y 随 x 的增大而减小.
∵ $x_1＜x_2＜0$,
∴ $y_1＞y_2$
解析
【分析】
(1) 二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，结合题目给出的顶点坐标$(0,-2)$可直接得到$k$的值；再将抛物线上已知点$(1,1)$代入解析式，即可求出$a$的值，得到完整函数解析式；最后根据$a$的正负判断开口方向，$y=ax^2+k$的固定对称轴为y轴。
(2) 先根据抛物线的开口方向和对称轴，判断$x＜0$区间内函数的增减性，再结合$x_1＜x_2＜0$的大小关系，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 由题意，抛物线$y=ax^2+k$顶点为$(0,-2)$，可得$k=-2$，
将点$(1,1)$代入$y=ax^2-2$，得：
$\begin{cases}k=-2\\a + k = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3\\k=-2\end{cases}$
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=3x^2-2$，
∵$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴。
(2) 对于抛物线$y=3x^2-2$，开口向上，对称轴为y轴，
∴当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=3x^2-2$，开口向上，对称轴为y轴；
(2) $y_1＞y_2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题，重点考查$y=ax^2+k$类二次函数的解析式求解和增减性应用，熟练掌握该类函数的基本特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 二次函数$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，结合题目给出的顶点坐标$(0,-2)$可直接得到$k$的值；再将抛物线上已知点$(1,1)$代入解析式，即可求出$a$的值，得到完整函数解析式；最后根据$a$的正负判断开口方向，$y=ax^2+k$的固定对称轴为y轴。
(2) 先根据抛物线的开口方向和对称轴，判断$x＜0$区间内函数的增减性，再结合$x_1＜x_2＜0$的大小关系，即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 由题意，抛物线$y=ax^2+k$顶点为$(0,-2)$，可得$k=-2$，
将点$(1,1)$代入$y=ax^2-2$，得：
$\begin{cases}k=-2\\a + k = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=3\\k=-2\end{cases}$
∴此抛物线对应的函数解析式为$y=3x^2-2$，
∵$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴。
(2) 对于抛物线$y=3x^2-2$，开口向上，对称轴为y轴，
∴当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
∵$x_1＜x_2＜0$，
∴$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=3x^2-2$，开口向上，对称轴为y轴；
(2) $y_1＞y_2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题，重点考查$y=ax^2+k$类二次函数的解析式求解和增减性应用，熟练掌握该类函数的基本特征即可快速解答。
【难度系数】
0.8
16 如图,正比例函数 $ y=2x $ 的图象与抛物线 $ y=ax^2+3 $ 相交于点 $ A(1,b) $.
(1) 求 $ a $ 与 $ b $ 的值;
(2) 若点 $ B(m,4) $ 在函数 $ y=2x $ 的图象上,抛物线 $ y=ax^2+3 $ 的顶点是 $ C $,求 $ △ ABC $ 的面积;
(3) 在(2)的条件下,若 $ P $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,求当 $ PA+PC $ 最小时点 $ P $ 的坐标.
(1) 求 $ a $ 与 $ b $ 的值;
(2) 若点 $ B(m,4) $ 在函数 $ y=2x $ 的图象上,抛物线 $ y=ax^2+3 $ 的顶点是 $ C $,求 $ △ ABC $ 的面积;
(3) 在(2)的条件下,若 $ P $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,求当 $ PA+PC $ 最小时点 $ P $ 的坐标.
答案
16. (1) 把A(1,b)代入$y=2x$,得$b=2$.
∴ $A(1,2)$. 把$A(1,2)$代入$y=ax^2+3$,得$a=-1$ (2) 把$B(m,4)$代入$y=2x$,得$m=2$.
∴ $B(2,4)$.
∵ 易得抛物线$y=-x^2+3$的顶点 C 的坐标是$(0,3)$,
∴ $OC=3$.
∴ $S_{△ABC}=S_{△OBC}-S_{△OAC}=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$ (3) 设点 C 关于 x 轴的对称点为$C'$,则点$C'$的坐标为$(0,-3)$,连接$AC'$交 x 轴于点 P,此时$PA+PC$最小. 设直线$AC'$对应的函数解析式为$y=kx+n$. 把$C'(0,-3)$,$A(1,2)$代入,得$\begin{cases}n=-3,\\k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\n=-3.\end{cases}$
∴ $y=5x-3$. 当$y=0$时,$5x-3=0$,
∴ $x=\dfrac{3}{5}$.
∴ 点 P 的坐标是$(\dfrac{3}{5},0)$
∴ $A(1,2)$. 把$A(1,2)$代入$y=ax^2+3$,得$a=-1$ (2) 把$B(m,4)$代入$y=2x$,得$m=2$.
∴ $B(2,4)$.
∵ 易得抛物线$y=-x^2+3$的顶点 C 的坐标是$(0,3)$,
∴ $OC=3$.
∴ $S_{△ABC}=S_{△OBC}-S_{△OAC}=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$ (3) 设点 C 关于 x 轴的对称点为$C'$,则点$C'$的坐标为$(0,-3)$,连接$AC'$交 x 轴于点 P,此时$PA+PC$最小. 设直线$AC'$对应的函数解析式为$y=kx+n$. 把$C'(0,-3)$,$A(1,2)$代入,得$\begin{cases}n=-3,\\k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\n=-3.\end{cases}$
∴ $y=5x-3$. 当$y=0$时,$5x-3=0$,
∴ $x=\dfrac{3}{5}$.
∴ 点 P 的坐标是$(\dfrac{3}{5},0)$
解析
【分析】
(1) 点A是正比例函数和抛物线的交点，先将A(1,b)代入正比例函数解析式即可求出b的值，得到A点完整坐标后，再代入抛物线解析式就能求出a的值；
(2) 先将点B(m,4)代入正比例函数求出m的值得到B点坐标，抛物线$y=ax^2+3$的顶点在y轴上，可直接得出顶点C的坐标，求△ABC的面积可采用割补法，利用△OBC和△OAC的面积差计算，两个三角形共底OC，高分别为点B、点A的横坐标，计算更简便；
(3) 这是典型的“将军饮马”最短路径问题，要使x轴上的点P到A、C的距离和最小，先作点C关于x轴的对称点C'，根据轴对称性质可知$PC=PC'$，则$PA+PC=PA+PC'$，当A、P、C'三点共线时距离和最小，求出直线AC'的解析式，令y=0即可求出P点的横坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(1,b)$代入$y=2x$，得：$b=2×1=2$，$\therefore A$点坐标为$(1,2)$；
将$A(1,2)$代入$y=ax^2+3$，得：$a×1^2+3=2$，解得$a=-1$。
(2) 将点$B(m,4)$代入$y=2x$，得：$2m=4$，解得$m=2$，$\therefore B$点坐标为$(2,4)$；
抛物线解析式为$y=-x^2+3$，其顶点$C$的坐标为$(0,3)$，$OC=3$；
利用割补法计算面积：
$S_{△ ABC} = S_{△ OBC} - S_{△ OAC} = \dfrac{1}{2}× OC× |x_B| - \dfrac{1}{2}× OC× |x_A| = \dfrac{1}{2}×3×2 - \dfrac{1}{2}×3×1 = \dfrac{3}{2}$。
(3) 作点$C$关于x轴的对称点$C'$，则$C'$的坐标为$(0,-3)$，连接$AC'$，与x轴的交点即为所求点$P$，此时$PA+PC$最小。
设直线$AC'$的解析式为$y=kx+n$，将$C'(0,-3)$、$A(1,2)$代入得：
$\begin{cases}n=-3\\k+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\n=-3\end{cases}$，
$\therefore$直线$AC'$的解析式为$y=5x-3$，
令$y=0$，得$5x-3=0$，解得$x=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{5},0)$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=2$；
(2) $S_{△ ABC}=\dfrac{3}{2}$；
(3) 点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{5},0)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的应用，轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、割补法求图形面积、“将军饮马”最短路径模型的应用，注重基础知识的综合运用，解题时可结合图象性质选择更简便的计算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 点A是正比例函数和抛物线的交点，先将A(1,b)代入正比例函数解析式即可求出b的值，得到A点完整坐标后，再代入抛物线解析式就能求出a的值；
(2) 先将点B(m,4)代入正比例函数求出m的值得到B点坐标，抛物线$y=ax^2+3$的顶点在y轴上，可直接得出顶点C的坐标，求△ABC的面积可采用割补法，利用△OBC和△OAC的面积差计算，两个三角形共底OC，高分别为点B、点A的横坐标，计算更简便；
(3) 这是典型的“将军饮马”最短路径问题，要使x轴上的点P到A、C的距离和最小，先作点C关于x轴的对称点C'，根据轴对称性质可知$PC=PC'$，则$PA+PC=PA+PC'$，当A、P、C'三点共线时距离和最小，求出直线AC'的解析式，令y=0即可求出P点的横坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(1,b)$代入$y=2x$，得：$b=2×1=2$，$\therefore A$点坐标为$(1,2)$；
将$A(1,2)$代入$y=ax^2+3$，得：$a×1^2+3=2$，解得$a=-1$。
(2) 将点$B(m,4)$代入$y=2x$，得：$2m=4$，解得$m=2$，$\therefore B$点坐标为$(2,4)$；
抛物线解析式为$y=-x^2+3$，其顶点$C$的坐标为$(0,3)$，$OC=3$；
利用割补法计算面积：
$S_{△ ABC} = S_{△ OBC} - S_{△ OAC} = \dfrac{1}{2}× OC× |x_B| - \dfrac{1}{2}× OC× |x_A| = \dfrac{1}{2}×3×2 - \dfrac{1}{2}×3×1 = \dfrac{3}{2}$。
(3) 作点$C$关于x轴的对称点$C'$，则$C'$的坐标为$(0,-3)$，连接$AC'$，与x轴的交点即为所求点$P$，此时$PA+PC$最小。
设直线$AC'$的解析式为$y=kx+n$，将$C'(0,-3)$、$A(1,2)$代入得：
$\begin{cases}n=-3\\k+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\n=-3\end{cases}$，
$\therefore$直线$AC'$的解析式为$y=5x-3$，
令$y=0$，得$5x-3=0$，解得$x=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{5},0)$。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=2$；
(2) $S_{△ ABC}=\dfrac{3}{2}$；
(3) 点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{5},0)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，一次函数的应用，轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了函数图象上点的坐标特征、割补法求图形面积、“将军饮马”最短路径模型的应用，注重基础知识的综合运用，解题时可结合图象性质选择更简便的计算方法。
【难度系数】
0.7
