12 将抛物线 $ y = x^2 - 1 $ 向下平移8个单位长度后，与x轴的两个交点之间的距离为。

12.6

13（1）若抛物线$y=ax^2 +k$的顶点在直线$y=-2$上，且当$x=1$时，$y=-3$，则$a=$，$k=$；
（2）如果将（1）中的抛物线关于$x$轴作对称变换，那么得到的抛物线对应的函数解析式为。

13. (1) -1 -2 (2) $y=x^2+2$

14 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + 4 $ 与 y 轴交于点 A,过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 于点 B,C,则 BC 的长为 。

14.8

15 已知抛物线 $ y = ax^2 + k $ 的顶点坐标是(0，-2)，且过点(1,1)。
(1) 求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴；
(2) 若 $ M(x_1,y_1) $，$ N(x_2,y_2) $ 是该抛物线上的两点，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 0 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系如何？

15. (1) 由题意,得$\begin{cases}k=-2,\\a+k=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\k=-2.\end{cases}$
∴ 此抛物线对应的函数解析式为 $y=3x^2-2$,抛物线开口向上,对称轴为 y 轴 (2) 当$x＜0$时,y 随 x 的增大而减小.
∵ $x_1＜x_2＜0$,
∴ $y_1＞y_2$

16 如图,正比例函数 $ y=2x $ 的图象与抛物线 $ y=ax^2+3 $ 相交于点 $ A(1,b) $.
(1) 求 $ a $ 与 $ b $ 的值;
(2) 若点 $ B(m,4) $ 在函数 $ y=2x $ 的图象上,抛物线 $ y=ax^2+3 $ 的顶点是 $ C $,求 $ △ ABC $ 的面积;
(3) 在(2)的条件下,若 $ P $ 是 $ x $ 轴上的一个动点,求当 $ PA+PC $ 最小时点 $ P $ 的坐标.

16. (1) 把A(1,b)代入$y=2x$,得$b=2$.
∴ $A(1,2)$. 把$A(1,2)$代入$y=ax^2+3$,得$a=-1$ (2) 把$B(m,4)$代入$y=2x$,得$m=2$.
∴ $B(2,4)$.
∵ 易得抛物线$y=-x^2+3$的顶点 C 的坐标是$(0,3)$,
∴ $OC=3$.
∴ $S_{△ABC}=S_{△OBC}-S_{△OAC}=\dfrac{1}{2}×3×2-\dfrac{1}{2}×3×1=\dfrac{3}{2}$ (3) 设点 C 关于 x 轴的对称点为$C'$,则点$C'$的坐标为$(0,-3)$,连接$AC'$交 x 轴于点 P,此时$PA+PC$最小. 设直线$AC'$对应的函数解析式为$y=kx+n$. 把$C'(0,-3)$,$A(1,2)$代入,得$\begin{cases}n=-3,\\k+n=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\n=-3.\end{cases}$
∴ $y=5x-3$. 当$y=0$时,$5x-3=0$,
∴ $x=\dfrac{3}{5}$.
∴ 点 P 的坐标是$(\dfrac{3}{5},0)$