登录
1 在平面直角坐标系中，二次函数$y=(x-1)^2$的图象可能是（
D
）答案
1. D
解析
【分析】
要判断二次函数$y=(x-1)^2$的图象，我们可以按以下思路逐步推导：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，先排除不符合的选项；再结合顶点式的特征确定顶点坐标，同时验证函数与y轴的交点特征，逐步筛选就能得到正确结果。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x-1)^2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，可直接排除。
2. 确定顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$，因此$y=(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$，即顶点落在x轴正半轴上：
选项A的顶点在第四象限，且图象过原点，将$x=0$代入函数得$y=(0-1)^2=1$，即函数与y轴交点应为$(0,1)$，不可能过原点，排除A；
选项C的顶点在y轴上（横坐标为0的位置），与顶点坐标$(1,0)$不符，排除C。
3. 选项D开口向上，顶点在x轴正半轴，与y轴交点在y轴正半轴，完全符合该二次函数的图象特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的图象
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题型，熟练掌握顶点式下二次函数开口方向、顶点坐标的判断规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85
要判断二次函数$y=(x-1)^2$的图象，我们可以按以下思路逐步推导：首先根据二次项系数的符号判断抛物线的开口方向，先排除不符合的选项；再结合顶点式的特征确定顶点坐标，同时验证函数与y轴的交点特征，逐步筛选就能得到正确结果。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=(x-1)^2$的二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，可直接排除。
2. 确定顶点坐标：对于顶点式$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$，因此$y=(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$，即顶点落在x轴正半轴上：
选项A的顶点在第四象限，且图象过原点，将$x=0$代入函数得$y=(0-1)^2=1$，即函数与y轴交点应为$(0,1)$，不可能过原点，排除A；
选项C的顶点在y轴上（横坐标为0的位置），与顶点坐标$(1,0)$不符，排除C。
3. 选项D开口向上，顶点在x轴正半轴，与y轴交点在y轴正半轴，完全符合该二次函数的图象特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的图象
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础题型，熟练掌握顶点式下二次函数开口方向、顶点坐标的判断规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85
2 若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是
（
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
（
D
）A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
答案
2. D
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路1：利用二次函数图象平移规律，先明确抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$如何平移得到的，再根据图象平移时点的坐标变化规律，推导对应点的坐标；思路2：先根据点P在原抛物线上得到n与m、a的关系，再将各选项的点坐标代入新抛物线解析式，验证等式是否成立。
【解析】
方法一（平移法）：
抛物线$y=a(x+1)^2$是由抛物线$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到的，图象平移时，图象上所有点的坐标变化规律为：横坐标减1，纵坐标不变。
已知点$P(m,n)$在$y=ax^2$上，因此平移后对应的点坐标为$(m-1,n)$，该点在$y=a(x+1)^2$上。
方法二（代入验证法）：
∵点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴代入得$n = am^2$。
将各选项依次代入$y=a(x+1)^2$验证：
A选项：$x=m$时，右边$=a(m+1)^2≠n+1$，不符合；
B选项：$x=m+1$时，右边$=a(m+1+1)^2=a(m+2)^2≠n$，不符合；
C选项：$x=m$时，右边$=a(m+1)^2≠n-1$，不符合；
D选项：$x=m-1$时，右边$=a(m-1+1)^2=am^2=n$，和左边$y=n$相等，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的图象性质，既可以通过平移规律快速推导对应点坐标，也可以通过代入法验证求解，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题可从两种思路入手：思路1：利用二次函数图象平移规律，先明确抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$如何平移得到的，再根据图象平移时点的坐标变化规律，推导对应点的坐标；思路2：先根据点P在原抛物线上得到n与m、a的关系，再将各选项的点坐标代入新抛物线解析式，验证等式是否成立。
【解析】
方法一（平移法）：
抛物线$y=a(x+1)^2$是由抛物线$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到的，图象平移时，图象上所有点的坐标变化规律为：横坐标减1，纵坐标不变。
已知点$P(m,n)$在$y=ax^2$上，因此平移后对应的点坐标为$(m-1,n)$，该点在$y=a(x+1)^2$上。
方法二（代入验证法）：
∵点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴代入得$n = am^2$。
将各选项依次代入$y=a(x+1)^2$验证：
A选项：$x=m$时，右边$=a(m+1)^2≠n+1$，不符合；
B选项：$x=m+1$时，右边$=a(m+1+1)^2=a(m+2)^2≠n$，不符合；
C选项：$x=m$时，右边$=a(m+1)^2≠n-1$，不符合；
D选项：$x=m-1$时，右边$=a(m-1+1)^2=am^2=n$，和左边$y=n$相等，符合要求。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的图象性质，既可以通过平移规律快速推导对应点坐标，也可以通过代入法验证求解，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律能提高解题效率。
【难度系数】
0.7
3 顶点坐标为$(-3,0)$，且与抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的形状、开口方向相同的抛物线对应的函数解析式为
$y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
。答案
3. $y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的性质：两条抛物线的形状、开口方向完全相同时，它们的二次项系数a相等，因此可以先确定所求抛物线的a值；题目已知顶点坐标，适合选用顶点式$y=a(x-h)^2$来求解，该式中顶点坐标为$(h,0)$，将已知顶点坐标代入即可求出解析式。
【解析】
解：
∵ 所求抛物线与抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的形状、开口方向相同，
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}$，
又
∵ 该抛物线的顶点坐标为$(-3,0)$，且二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，
∴ 此处$h=-3$，将$a=-\dfrac{1}{4}$、$h=-3$代入顶点式得：
$y=-\dfrac{1}{4}[x-(-3)]^2=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系；2. 二次函数顶点式的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式的灵活运用，解题的关键点是明确“形状、开口方向相同的抛物线二次项系数相等”，再结合顶点坐标代入顶点式即可快速求解，熟练掌握顶点式的结构特征能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数的性质：两条抛物线的形状、开口方向完全相同时，它们的二次项系数a相等，因此可以先确定所求抛物线的a值；题目已知顶点坐标，适合选用顶点式$y=a(x-h)^2$来求解，该式中顶点坐标为$(h,0)$，将已知顶点坐标代入即可求出解析式。
【解析】
解：
∵ 所求抛物线与抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2$的形状、开口方向相同，
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=-\dfrac{1}{4}$，
又
∵ 该抛物线的顶点坐标为$(-3,0)$，且二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点为$(h,0)$，
∴ 此处$h=-3$，将$a=-\dfrac{1}{4}$、$h=-3$代入顶点式得：
$y=-\dfrac{1}{4}[x-(-3)]^2=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{4}(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象与系数的关系；2. 二次函数顶点式的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式的灵活运用，解题的关键点是明确“形状、开口方向相同的抛物线二次项系数相等”，再结合顶点坐标代入顶点式即可快速求解，熟练掌握顶点式的结构特征能大幅提高这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
4 若$y=2(x-m)^2$是关于x的二次函数，且当$x＞3$时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（
A.$m=3$
B.$m＞3$
C.$m≤3$
D.$m≥3$
C
）A.$m=3$
B.$m＞3$
C.$m≤3$
D.$m≥3$
答案
4. C
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的图象性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴右侧（即$x≥ h$时），$y$随$x$的增大而增大。本题中先确定函数的开口方向和对称轴，再结合“$x＞3$时$y$随$x$的增大而增大”的条件，判断对称轴与$x=3$的位置关系，即可求出$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-m)^2$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线中，当$x≥ m$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞3$的区间需全部在增区间$x≥ m$内，因此可得$m≤3$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的增减性应用，解题关键是先根据$a$的正负判断开口方向，再结合对称轴确定函数的增减区间，注意判断端点值是否可取，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的图象性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴右侧（即$x≥ h$时），$y$随$x$的增大而增大。本题中先确定函数的开口方向和对称轴，再结合“$x＞3$时$y$随$x$的增大而增大”的条件，判断对称轴与$x=3$的位置关系，即可求出$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-m)^2$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=m$；
3. 开口向上的抛物线中，当$x≥ m$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞3$的区间需全部在增区间$x≥ m$内，因此可得$m≤3$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数的增减性应用，解题关键是先根据$a$的正负判断开口方向，再结合对称轴确定函数的增减区间，注意判断端点值是否可取，避免出现范围错误。
【难度系数】
0.7
5 若点$C(x_1,m),D(x_2,n)$在抛物线$y=-2(x-3)^2$上,且$x_1＞x_2＞3$,则$m$与$n$的大小关系为
$m<n$
.答案
5. $m＜n$
解析
【分析】
要比较抛物线上两点的函数值m和n的大小，首先需明确该抛物线的基本性质：第一步先由二次项系数a的符号判断开口方向，第二步确定抛物线的对称轴，第三步判断两点横坐标x₁、x₂所在区间对应的函数增减性，最后结合x₁与x₂的大小关系即可推导m、n的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-2(x-3)^2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=3$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞3$时），$y$随$x$的增大而减小；
已知$x_1＞x_2＞3$，两点均在对称轴右侧，且$x_1$更大，因此对应的函数值更小，即$m＜n$。
【答案】
$m＜n$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据自变量所在区间的增减性比较函数值大小，掌握二次函数基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上两点的函数值m和n的大小，首先需明确该抛物线的基本性质：第一步先由二次项系数a的符号判断开口方向，第二步确定抛物线的对称轴，第三步判断两点横坐标x₁、x₂所在区间对应的函数增减性，最后结合x₁与x₂的大小关系即可推导m、n的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-2(x-3)^2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=3$；
3. 开口向下的抛物线，在对称轴右侧（即$x＞3$时），$y$随$x$的增大而减小；
已知$x_1＞x_2＞3$，两点均在对称轴右侧，且$x_1$更大，因此对应的函数值更小，即$m＜n$。
【答案】
$m＜n$
【知识点】
1. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
2. 二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用类题目，解题核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据自变量所在区间的增减性比较函数值大小，掌握二次函数基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6 已知二次函数$y=2(x-3)^2$，若当$x$取$x_1,x_2$且$x_1≠x_2$时，函数值$y_1=y_2$，则当$x=x_1+x_2$时，$y$的值为
18
。答案
6. 18
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的性质，它的对称轴是直线$x=h$。当两个不同的自变量对应的函数值相等时，说明这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称，因此两个自变量的平均数等于对称轴对应的横坐标，由此可先求出$x_1+x_2$的值，再代入函数解析式计算对应的$y$值即可。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-3)^2$，其对称轴为直线$x=3$。
已知$x_1≠ x_2$时，对应的函数值$y_1=y_2$，说明点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$关于对称轴$x=3$对称，因此有：
$\frac{x_1+x_2}{2}=3$
解得$x_1+x_2=6$。
将$x=6$代入函数解析式得：
$y=2×(6-3)^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是掌握当二次函数两个不同自变量对应的函数值相等时，这两个自变量关于对称轴对称的特征，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的性质，它的对称轴是直线$x=h$。当两个不同的自变量对应的函数值相等时，说明这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称，因此两个自变量的平均数等于对称轴对应的横坐标，由此可先求出$x_1+x_2$的值，再代入函数解析式计算对应的$y$值即可。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-3)^2$，其对称轴为直线$x=3$。
已知$x_1≠ x_2$时，对应的函数值$y_1=y_2$，说明点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$关于对称轴$x=3$对称，因此有：
$\frac{x_1+x_2}{2}=3$
解得$x_1+x_2=6$。
将$x=6$代入函数解析式得：
$y=2×(6-3)^2=2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是掌握当二次函数两个不同自变量对应的函数值相等时，这两个自变量关于对称轴对称的特征，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
7 已知二次函数$y=a(x-h)^2$的图象的顶点坐标是$(-4,0)$，且过点$(0,-6)$。
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当$x$为何值时，函数值$y$随$x$的增大而增大？
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 当$x$为何值时，函数值$y$随$x$的增大而增大？
答案
(1) 由题意，得 $\begin{cases}a(-4-h)^2=0,\\ah^2=-6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}h=-4,\\a=-\dfrac{3}{8}.\end{cases}$ $\therefore$ 二次函数的解析式为 $y=-\dfrac{3}{8}(x+4)^2$
(2) 当 $x＜-4$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大
(2) 当 $x＜-4$ 时，函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大
解析
【分析】
第(1)问：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，已知题目给出顶点坐标是$(-4,0)$，可先确定参数$h$的值，再将函数图象经过的点$(0,-6)$代入解析式，即可求出系数$a$，得到完整的二次函数解析式。
第(2)问：先根据$a$的正负判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的对称轴$x=h$，利用二次函数的增减性规律，就能求出$y$随$x$增大而增大时$x$的取值范围。
【解析】
(1) 已知二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-4,0)$，可得$h=-4$，因此函数解析式可写为$y=a(x+4)^2$。
将点$(0,-6)$代入$y=a(x+4)^2$，得：
$a×(0+4)^2=-6$
计算得$16a=-6$，解得$a=-\dfrac{3}{8}$。
因此二次函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{8}(x+4)^2$。
(2) 由(1)可知$a=-\dfrac{3}{8}＜0$，所以抛物线开口向下，该抛物线的对称轴为直线$x=-4$。
根据二次函数的性质：开口向下的抛物线，对称轴左侧的函数值$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＜-4$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{8}(x+4)^2$
(2) $x＜-4$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式解析式的求解和函数增减性的判断，解题的核心是熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，能结合开口方向和对称轴分析函数的增减规律。
【难度系数】
0.8
第(1)问：二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，已知题目给出顶点坐标是$(-4,0)$，可先确定参数$h$的值，再将函数图象经过的点$(0,-6)$代入解析式，即可求出系数$a$，得到完整的二次函数解析式。
第(2)问：先根据$a$的正负判断抛物线的开口方向，再结合抛物线的对称轴$x=h$，利用二次函数的增减性规律，就能求出$y$随$x$增大而增大时$x$的取值范围。
【解析】
(1) 已知二次函数$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-4,0)$，可得$h=-4$，因此函数解析式可写为$y=a(x+4)^2$。
将点$(0,-6)$代入$y=a(x+4)^2$，得：
$a×(0+4)^2=-6$
计算得$16a=-6$，解得$a=-\dfrac{3}{8}$。
因此二次函数的解析式为$y=-\dfrac{3}{8}(x+4)^2$。
(2) 由(1)可知$a=-\dfrac{3}{8}＜0$，所以抛物线开口向下，该抛物线的对称轴为直线$x=-4$。
根据二次函数的性质：开口向下的抛物线，对称轴左侧的函数值$y$随$x$的增大而增大，因此当$x＜-4$时，函数值$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{8}(x+4)^2$
(2) $x＜-4$
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式解析式的求解和函数增减性的判断，解题的核心是熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，能结合开口方向和对称轴分析函数的增减规律。
【难度系数】
0.8
8 将抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=(x+1)^2$
D.$y=(x-1)^2$
D
）A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=(x+1)^2$
D.$y=(x-1)^2$
答案
8. D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确考察的是二次函数图象的平移规律，首先区分平移类型：本题是水平方向向右平移，回忆平移口诀“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x进行调整，而非对整个函数式调整，向右平移几个单位，就给x减去几，再代入原解析式即可得到平移后的函数式。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律：
1. 左右平移针对自变量x操作：向左平移m个单位，将x替换为$x+m$；向右平移m个单位，将x替换为$x-m$。
2. 上下平移针对整个函数式操作：向上平移n个单位，函数式末尾加n；向下平移n个单位，函数式末尾减n。
本题中原抛物线解析式为$y=x^2$，是向右平移1个单位长度，因此将原式中的x替换为$x-1$，可得平移后的抛物线解析式为$y=(x-1)^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；函数图象变换
【点评】
本题是函数平移类的基础题型，核心是准确理解平移口诀的适用对象，注意左右平移是对自变量x进行“左加右减”的变换，不要和上下平移的操作混淆，牢记口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要明确考察的是二次函数图象的平移规律，首先区分平移类型：本题是水平方向向右平移，回忆平移口诀“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量x进行调整，而非对整个函数式调整，向右平移几个单位，就给x减去几，再代入原解析式即可得到平移后的函数式。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律：
1. 左右平移针对自变量x操作：向左平移m个单位，将x替换为$x+m$；向右平移m个单位，将x替换为$x-m$。
2. 上下平移针对整个函数式操作：向上平移n个单位，函数式末尾加n；向下平移n个单位，函数式末尾减n。
本题中原抛物线解析式为$y=x^2$，是向右平移1个单位长度，因此将原式中的x替换为$x-1$，可得平移后的抛物线解析式为$y=(x-1)^2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移规律；函数图象变换
【点评】
本题是函数平移类的基础题型，核心是准确理解平移口诀的适用对象，注意左右平移是对自变量x进行“左加右减”的变换，不要和上下平移的操作混淆，牢记口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.85
9 抛物线$y=-2(x-3)^2$经过平移得到抛物线$y=-2x^2$，下列平移过程正确的是（
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
A
）A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
答案
9. A
解析
【分析】
解决这道题有两种常用思路：第一种是通过顶点坐标变化判断平移方向，二次函数平移时不改变二次项系数$a$，仅改变顶点位置，我们只需对比平移前后两个抛物线的顶点坐标变化，就能确定平移方式；第二种是直接套用平移规律“左加右减，上加下减”（左右平移针对自变量$x$，上下平移针对函数整体），看原函数如何变形得到目标函数，即可判断平移过程。
【解析】
步骤1：确定两个抛物线的顶点坐标
抛物线$y=-2(x-3)^2$是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，其中$h=3$，因此它的顶点坐标为$(3,0)$；
目标抛物线$y=-2x^2$可改写为$y=-2(x-0)^2$，对应的$h=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
步骤2：分析平移过程
顶点从$(3,0)$移动到$(0,0)$，横坐标减少3、纵坐标不变，说明是向左平移了3个单位长度。
也可通过平移规律验证：要将$y=-2(x-3)^2$变为$y=-2x^2$，需要把原式中的$x$替换为$x+3$，根据“左加右减”的规则，$x$加3对应向左平移3个单位长度。
因此平移过程为向左平移3个单位长度，选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，两种解题方法都非常常用，核心是掌握“针对自变量x左加右减”的平移规则，或者抓住顶点变化判断平移路径的思路。
【难度系数】
0.8
解决这道题有两种常用思路：第一种是通过顶点坐标变化判断平移方向，二次函数平移时不改变二次项系数$a$，仅改变顶点位置，我们只需对比平移前后两个抛物线的顶点坐标变化，就能确定平移方式；第二种是直接套用平移规律“左加右减，上加下减”（左右平移针对自变量$x$，上下平移针对函数整体），看原函数如何变形得到目标函数，即可判断平移过程。
【解析】
步骤1：确定两个抛物线的顶点坐标
抛物线$y=-2(x-3)^2$是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，其中$h=3$，因此它的顶点坐标为$(3,0)$；
目标抛物线$y=-2x^2$可改写为$y=-2(x-0)^2$，对应的$h=0$，顶点坐标为$(0,0)$。
步骤2：分析平移过程
顶点从$(3,0)$移动到$(0,0)$，横坐标减少3、纵坐标不变，说明是向左平移了3个单位长度。
也可通过平移规律验证：要将$y=-2(x-3)^2$变为$y=-2x^2$，需要把原式中的$x$替换为$x+3$，根据“左加右减”的规则，$x$加3对应向左平移3个单位长度。
因此平移过程为向左平移3个单位长度，选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，两种解题方法都非常常用，核心是掌握“针对自变量x左加右减”的平移规则，或者抓住顶点变化判断平移路径的思路。
【难度系数】
0.8
10 已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，且过点$(1,-3)$。
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）该抛物线是由抛物线$y=ax^2$经过怎样的平移得到的？
（1）求该抛物线对应的函数解析式；
（2）该抛物线是由抛物线$y=ax^2$经过怎样的平移得到的？
答案
(1) $\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的对称轴为直线 $x=-2$，$\therefore h=-2$. 将$(1,-3)$代入 $y=a(x+2)^2$，得 $a=-\dfrac{1}{3}$. $\therefore y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$
(2) 向左平移2个单位长度
(2) 向左平移2个单位长度
解析
【分析】
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此可先根据题目给出的对称轴$x=-2$直接求出$h$的值；再将已知点$(1,-3)$代入含$h$的解析式中，即可求出参数$a$的值，进而得到完整的函数解析式。
（2）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比平移前后两个解析式的差异，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的对称轴为直线 $x=-2$，
$\therefore h=-2$，即抛物线解析式可写为 $y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入 $y=a(x+2)^2$，得：
$-3=a×(1+2)^2$，即$-3=9a$，
解得 $a=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$。
（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减”，抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的自变量$x$替换为$x+2$即可得到$y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$，因此是向左平移2个单位长度得到。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$
(2) 向左平移2个单位长度
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数的几何意义和平移规律，牢记顶点式的对称轴公式和平移“左加右减”的口诀，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，因此可先根据题目给出的对称轴$x=-2$直接求出$h$的值；再将已知点$(1,-3)$代入含$h$的解析式中，即可求出参数$a$的值，进而得到完整的函数解析式。
（2）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比平移前后两个解析式的差异，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
（1）$\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^2$ 的对称轴为直线 $x=-2$，
$\therefore h=-2$，即抛物线解析式可写为 $y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入 $y=a(x+2)^2$，得：
$-3=a×(1+2)^2$，即$-3=9a$，
解得 $a=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$。
（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减”，抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的自变量$x$替换为$x+2$即可得到$y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$，因此是向左平移2个单位长度得到。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{3}(x+2)^2$
(2) 向左平移2个单位长度
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数的几何意义和平移规律，牢记顶点式的对称轴公式和平移“左加右减”的口诀，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
