登录
8.【易错题】(凉山州中考)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860吨,若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是 (
A.$560(1+x)^2=1\ 860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1\ 860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
D.$560+560(1+2x)^2=1\ 860$
C
)A.$560(1+x)^2=1\ 860$
B.$560+560(1+x)+560(1+2x)=1\ 860$
C.$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1\ 860$
D.$560+560(1+2x)^2=1\ 860$
答案
8.C
解析
【分析】
这道题考查平均增长率的实际应用，解题核心是明确第一季度总产量是一月、二月、三月三个月的产量之和，而非单月产量。我们可以根据月平均增长率x依次推导二月、三月的产量，再结合三个月产量总和为1860吨的条件列方程。解题时要注意区分平均增长率和固定增量的区别，避免漏加前两个月产量，或错把三月产量表示为线性增长的形式。
【解析】
解：已知一月份钢铁产量为560吨，月平均增长率为x：
1. 二月份产量：在一月份产量基础上增长x，可得产量为$560(1+x)$吨；
2. 三月份产量：在二月份产量基础上增长x，可得产量为$560(1+x) × (1+x)=560(1+x)^2$吨；
3. 第一季度总产量为三个月产量之和，结合已知第一季度总产量为1860吨，可列方程：
$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的典型易错题，常见错误有两类：一是误将第一季度总产量等同于三月份产量，错选A；二是混淆平均增长率与固定增量，错将三月产量写为$560(1+2x)$，错选B，解题时要结合题意明确数量关系。
【难度系数】
0.6
这道题考查平均增长率的实际应用，解题核心是明确第一季度总产量是一月、二月、三月三个月的产量之和，而非单月产量。我们可以根据月平均增长率x依次推导二月、三月的产量，再结合三个月产量总和为1860吨的条件列方程。解题时要注意区分平均增长率和固定增量的区别，避免漏加前两个月产量，或错把三月产量表示为线性增长的形式。
【解析】
解：已知一月份钢铁产量为560吨，月平均增长率为x：
1. 二月份产量：在一月份产量基础上增长x，可得产量为$560(1+x)$吨；
2. 三月份产量：在二月份产量基础上增长x，可得产量为$560(1+x) × (1+x)=560(1+x)^2$吨；
3. 第一季度总产量为三个月产量之和，结合已知第一季度总产量为1860吨，可列方程：
$560+560(1+x)+560(1+x)^2=1860$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的典型易错题，常见错误有两类：一是误将第一季度总产量等同于三月份产量，错选A；二是混淆平均增长率与固定增量，错将三月产量写为$560(1+2x)$，错选B，解题时要结合题意明确数量关系。
【难度系数】
0.6
9.【跨学科·生物学】(郑州期末)某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培植后,总和达24 000个,其中每个有益菌每一次分裂成若干个相同数目的有益菌后母体就不复存在,设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成$x$个相同数目的有益菌,根据题意,下面所列方程正确的是(
A.$60(1+x)^2=24\ 000$
B.$60(1-x)^2=24\ 000$
C.$60(1+2x)=24\ 000$
D.$60x^2=24\ 000$
D
)A.$60(1+x)^2=24\ 000$
B.$60(1-x)^2=24\ 000$
C.$60(1+2x)=24\ 000$
D.$60x^2=24\ 000$
答案
9.D
解析
【分析】
本题是结合生物分裂场景的一元二次方程列写问题，解题核心是准确理解分裂规则：题目明确说明每个有益菌分裂为x个后母体不复存在，即1个菌经过1次分裂后变为x个，而非x+1个，要注意和“分裂后母体保留”的增长率类问题做好区分。我们只需逐步推导两轮分裂后的总数量，再和已知的最终数量24000对应，即可列出正确方程。
【解析】
我们按分裂轮次逐步推导总数量：
1. 初始有益菌的数量为60个；
2. 第一轮分裂：每个菌分裂为x个，母体消失，因此第一轮分裂结束后的总数量为 $60× x=60x$ 个；
3. 第二轮分裂：以第一轮结束后的60x个菌作为分裂基础，每个同样分裂为x个，母体消失，因此第二轮结束后的总数量为 $60x× x=60x^2$ 个；
4. 已知两轮培植后总数量为24000个，因此可列方程：$60x^2=24000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用，分裂问题数量关系
【点评】
本题结合生物学科的分裂场景命题，解题的关键是仔细审题，明确分裂后母体是否存在的规则，不要混淆分裂问题和增长率问题的数量关系。
【难度系数】
0.6
本题是结合生物分裂场景的一元二次方程列写问题，解题核心是准确理解分裂规则：题目明确说明每个有益菌分裂为x个后母体不复存在，即1个菌经过1次分裂后变为x个，而非x+1个，要注意和“分裂后母体保留”的增长率类问题做好区分。我们只需逐步推导两轮分裂后的总数量，再和已知的最终数量24000对应，即可列出正确方程。
【解析】
我们按分裂轮次逐步推导总数量：
1. 初始有益菌的数量为60个；
2. 第一轮分裂：每个菌分裂为x个，母体消失，因此第一轮分裂结束后的总数量为 $60× x=60x$ 个；
3. 第二轮分裂：以第一轮结束后的60x个菌作为分裂基础，每个同样分裂为x个，母体消失，因此第二轮结束后的总数量为 $60x× x=60x^2$ 个；
4. 已知两轮培植后总数量为24000个，因此可列方程：$60x^2=24000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用，分裂问题数量关系
【点评】
本题结合生物学科的分裂场景命题，解题的关键是仔细审题，明确分裂后母体是否存在的规则，不要混淆分裂问题和增长率问题的数量关系。
【难度系数】
0.6
10.（郑州二七区期中）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$）（
A.$20.3\%$
B.$25.2\%$
C.$29.3\%$
D.$50\%$
C
）A.$20.3\%$
B.$25.2\%$
C.$29.3\%$
D.$50\%$
答案
10.C
解析
【分析】
这是一道平均降低率的实际应用题，解题思路如下：首先将初始的知识记忆量看作单位“1”，设每天遗忘的百分比为x，那么每天剩余的记忆量就是前一天的(1-x)；根据“两天不练丢一半”可知，两天后剩余的记忆量是初始量的$\frac{1}{2}$，据此列出关于x的一元二次方程；再结合x的实际意义（0＜x＜1）求解方程，最后代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
解：设每天“遗忘”的百分比为$x$，将初始记忆量看作单位1。
由“两天不练丢一半”可知，两天后剩余记忆量为初始量的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
开平方得：$1-x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ 遗忘百分比$x$满足$0＜x＜1$，即$1-x＞0$
∴ 舍去负根，得$1-x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入$\sqrt{2}\approx1.414$，得：
$x=1-\frac{1.414}{2}=1-0.707=0.293=29.3\%$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程应用
【点评】
本题结合日常俗语考查平均变化率的实际应用，解题关键是找准变化后量与初始量的等量关系，求解方程时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
这是一道平均降低率的实际应用题，解题思路如下：首先将初始的知识记忆量看作单位“1”，设每天遗忘的百分比为x，那么每天剩余的记忆量就是前一天的(1-x)；根据“两天不练丢一半”可知，两天后剩余的记忆量是初始量的$\frac{1}{2}$，据此列出关于x的一元二次方程；再结合x的实际意义（0＜x＜1）求解方程，最后代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
解：设每天“遗忘”的百分比为$x$，将初始记忆量看作单位1。
由“两天不练丢一半”可知，两天后剩余记忆量为初始量的$\frac{1}{2}$，可列方程：
$(1-x)^2=\frac{1}{2}$
开平方得：$1-x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ 遗忘百分比$x$满足$0＜x＜1$，即$1-x＞0$
∴ 舍去负根，得$1-x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
代入$\sqrt{2}\approx1.414$，得：
$x=1-\frac{1.414}{2}=1-0.707=0.293=29.3\%$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程应用
【点评】
本题结合日常俗语考查平均变化率的实际应用，解题关键是找准变化后量与初始量的等量关系，求解方程时要注意结合实际意义舍去不符合要求的根。
【难度系数】
0.7
11.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达50％，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？
答案
11.解:设每轮传播中平均一人传播了x人,根据题意,得$3+3x+(3+3x)x=864×50\%$,解得$x=11$或$x=-13$(舍去).答:每轮传播中平均一人传播了11人.
解析
【分析】
本题属于传播类的一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮传播后知晓喜讯的总人数的变化规律：①初始有3人知晓；②第一轮传播时，每个知晓的人传播x人，第一轮新增3x个知晓者，第一轮结束后总共有(3+3x)人知晓；③第二轮传播时，第一轮结束后的所有知晓者每人再传播x人，第二轮新增(3+3x)x个知晓者；④两轮传播后总知晓人数等于小区总人数的50%，据此等量关系列方程求解即可，最后要根据传播人数为正的实际意义舍去负根。
【解析】
解：设每轮传播中平均一人传播了x人。
先计算两轮传播后总知晓人数：$864 × 50\% = 432$（人）
根据传播的数量关系列方程：
$3 + 3x + (3 + 3x)x = 432$
化简方程：
$3(1+x) + 3(1+x)x = 432$
$3(1+x)^2 = 432$
两边同时除以3得：$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = \pm 12$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -13$
由于传播人数不能为负数，因此舍去$x=-13$。
【答案】
每轮传播中平均一人传播了11人。
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题；方程验根
【点评】
本题是传播问题的典型考法，解题的关键是准确梳理两轮传播后总知晓人数的表达式，找准等量关系列方程，同时要注意结合实际情况对解得的根进行取舍，排除不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
本题属于传播类的一元二次方程应用题，解题核心是理清每轮传播后知晓喜讯的总人数的变化规律：①初始有3人知晓；②第一轮传播时，每个知晓的人传播x人，第一轮新增3x个知晓者，第一轮结束后总共有(3+3x)人知晓；③第二轮传播时，第一轮结束后的所有知晓者每人再传播x人，第二轮新增(3+3x)x个知晓者；④两轮传播后总知晓人数等于小区总人数的50%，据此等量关系列方程求解即可，最后要根据传播人数为正的实际意义舍去负根。
【解析】
解：设每轮传播中平均一人传播了x人。
先计算两轮传播后总知晓人数：$864 × 50\% = 432$（人）
根据传播的数量关系列方程：
$3 + 3x + (3 + 3x)x = 432$
化简方程：
$3(1+x) + 3(1+x)x = 432$
$3(1+x)^2 = 432$
两边同时除以3得：$(1+x)^2 = 144$
开平方得：$1+x = \pm 12$
解得：$x_1 = 11$，$x_2 = -13$
由于传播人数不能为负数，因此舍去$x=-13$。
【答案】
每轮传播中平均一人传播了11人。
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题；方程验根
【点评】
本题是传播问题的典型考法，解题的关键是准确梳理两轮传播后总知晓人数的表达式，找准等量关系列方程，同时要注意结合实际情况对解得的根进行取舍，排除不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
12.【新素材】(成都武侯区期末)“2025成都进口嘉年华”系列活动于2025年8月至11月举行，让市民深度感受“在成都·购全球”的便利.某商家以每千克20元购进一批进口榴莲，在销售初期，按每千克40元销售.为吸引更多顾客，该商家连续两次降价，且两次降价的百分率相同，最终售价为每千克32.4元.
(1)求每次降价的百分率；
(2)由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现:当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克;售价每降低1元，平均每天可多售出25千克.商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？
(1)求每次降价的百分率；
(2)由于畅销，榴莲很快售完，该商家以同样的单价又购进一批，经过市场调研发现:当榴莲售价为每千克32元时，平均每天可售出300千克;售价每降低1元，平均每天可多售出25千克.商家要使该批榴莲的销售利润平均每天达到3500元，榴莲的售价应为每千克多少元？
答案
12.解:(1)设每次降价的百分率为x,由题意,得$40(1-x)^2=32.4$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=1.9$(不符合题意,舍去).答:每次降价的百分率为10%.
(2)设榴莲的售价应为每千克m元,由题意,得$(m-20)[300+(32-m)×25]=3500$,解得$m_1=30$,$m_2=34$(不符合题意,舍去).答:榴莲的售价应为每千克30元.
(2)设榴莲的售价应为每千克m元,由题意,得$(m-20)[300+(32-m)×25]=3500$,解得$m_1=30$,$m_2=34$(不符合题意,舍去).答:榴莲的售价应为每千克30元.
解析
【分析】
（1）第一问属于平均降价率问题，先设每次降价的百分率为x，根据“初始售价×(1-降价率)²=两次降价后的最终售价”的等量关系列方程求解，注意降价率不能大于1，需舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问属于销售利润问题，核心等量关系为“总日利润=每千克利润×日销售量”。设售价为每千克m元，每千克利润为(m-20)元；售价每降1元多售25千克，当售价为m元时，相比32元降低了(32-m)元，因此日销售量为[300+25(32-m)]千克，代入等量关系列方程求解，注意售价低于32元才符合促销提量的逻辑，舍去不符合题意的根。
【解析】
(1) 设每次降价的百分率为x，由题意得：
$40(1-x)^2=32.4$
化简得$(1-x)^2=0.81$，开方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价百分率不能超过1，故$x_2=1.9$不符合题意，舍去。
(2) 设榴莲的售价应为每千克m元，由题意得：
$(m-20)[300+(32-m)×25]=3500$
整理得$(m-20)(1100-25m)=3500$，化简为$m^2-64m+1020=0$
因式分解得$(m-30)(m-34)=0$
解得$m_1=30$，$m_2=34$
由于售价高于32元时无法提升销量达到目标利润，故$m_2=34$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 每次降价的百分率为10%；
(2) 榴莲的售价应为每千克30元。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合实际消费场景命题，考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际意义对根进行取舍，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于平均降价率问题，先设每次降价的百分率为x，根据“初始售价×(1-降价率)²=两次降价后的最终售价”的等量关系列方程求解，注意降价率不能大于1，需舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问属于销售利润问题，核心等量关系为“总日利润=每千克利润×日销售量”。设售价为每千克m元，每千克利润为(m-20)元；售价每降1元多售25千克，当售价为m元时，相比32元降低了(32-m)元，因此日销售量为[300+25(32-m)]千克，代入等量关系列方程求解，注意售价低于32元才符合促销提量的逻辑，舍去不符合题意的根。
【解析】
(1) 设每次降价的百分率为x，由题意得：
$40(1-x)^2=32.4$
化简得$(1-x)^2=0.81$，开方得$1-x=\pm0.9$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=1.9$
由于降价百分率不能超过1，故$x_2=1.9$不符合题意，舍去。
(2) 设榴莲的售价应为每千克m元，由题意得：
$(m-20)[300+(32-m)×25]=3500$
整理得$(m-20)(1100-25m)=3500$，化简为$m^2-64m+1020=0$
因式分解得$(m-30)(m-34)=0$
解得$m_1=30$，$m_2=34$
由于售价高于32元时无法提升销量达到目标利润，故$m_2=34$不符合题意，舍去。
【答案】
(1) 每次降价的百分率为10%；
(2) 榴莲的售价应为每千克30元。
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题，销售利润问题
【点评】
本题结合实际消费场景命题，考查一元二次方程的实际应用，解题关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际意义对根进行取舍，避免多解错误。
【难度系数】
0.7
