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1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染.设每轮感染中平均每台电脑会感染x台其他电脑，根据题意可列方程为 （
A.$1+2x=100$
B.$x(1+x)=100$
C.$(1+x)^2=100$
D.$1+x+x^2=100$
C
）A.$1+2x=100$
B.$x(1+x)=100$
C.$(1+x)^2=100$
D.$1+x+x^2=100$
答案
1.C
解析
【分析】
解决传播类列方程问题，首先要明确每轮传播的传染源数量：初始有1台感染的电脑，每轮每台感染x台，第一轮传播时，1台传染源共感染x台，第一轮结束后总共有(1+x)台被感染的电脑，这就是第二轮的传染源。第二轮传播时，每台传染源又感染x台，因此第二轮结束后总感染数就是第一轮后的总数量乘(1+x)，结合两轮后共100台被感染的条件，即可列出对应方程。
【解析】
解：设每轮感染中平均每台电脑感染x台其他电脑。
1. 第一轮感染后，被感染的电脑总数为：初始1台 + 新感染的x台 = $1+x$ 台；
2. 第二轮感染时，传染源为第一轮后的$1+x$台电脑，每台感染x台，因此第二轮结束后总感染数为：$(1+x) × (1+x) = (1+x)^2$ 台；
3. 根据题意，两轮感染后共有100台电脑被感染，因此列方程为 $(1+x)^2=100$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题建模
【点评】
本题是传播问题的典型基础题，解题的核心是理清每轮传播的传染源数量，避免出现仅计算新增感染数、漏算原有感染设备的错误。
【难度系数】
0.8
解决传播类列方程问题，首先要明确每轮传播的传染源数量：初始有1台感染的电脑，每轮每台感染x台，第一轮传播时，1台传染源共感染x台，第一轮结束后总共有(1+x)台被感染的电脑，这就是第二轮的传染源。第二轮传播时，每台传染源又感染x台，因此第二轮结束后总感染数就是第一轮后的总数量乘(1+x)，结合两轮后共100台被感染的条件，即可列出对应方程。
【解析】
解：设每轮感染中平均每台电脑感染x台其他电脑。
1. 第一轮感染后，被感染的电脑总数为：初始1台 + 新感染的x台 = $1+x$ 台；
2. 第二轮感染时，传染源为第一轮后的$1+x$台电脑，每台感染x台，因此第二轮结束后总感染数为：$(1+x) × (1+x) = (1+x)^2$ 台；
3. 根据题意，两轮感染后共有100台电脑被感染，因此列方程为 $(1+x)^2=100$。
故选：C。
【答案】C
【知识点】
一元二次方程应用；传播问题建模
【点评】
本题是传播问题的典型基础题，解题的核心是理清每轮传播的传染源数量，避免出现仅计算新增感染数、漏算原有感染设备的错误。
【难度系数】
0.8
2.(南阳宛城区月考)有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动.小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”$x$人，则可列出的方程为（
A.$x^2=91$
B.$1+x^2=91$
C.$1+x+x(1+x)=91$
D.$1+x+x^2=91$
D
）A.$x^2=91$
B.$1+x^2=91$
C.$1+x+x(1+x)=91$
D.$1+x+x^2=91$
答案
2.D
解析
【分析】
这是一道典型的一元二次方程传播类应用题，解题时需分阶段梳理每一轮的参与人数：首先明确初始参与人数，再分别计算每一轮新增的参与人数，最后根据总人数的等量关系列方程。注意要区分本题的传播规则和“全员持续传播”类规则的差异，避免错列方程。
第一步：确定初始人数，从小明开始算，初始参与活动的只有小明1人；
第二步：计算第一轮传播的新增人数：小明按规定@x人，因此第一轮新增x名参与者；
第三步：计算第二轮传播的新增人数：第一轮被邀请的x人每人再@x人，因此第二轮新增$x· x=x^2$名参与者；
第四步：两轮后总参与人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，等于题目给出的91人，据此列方程即可。
【解析】
解：由传播规则可知：
1. 初始阶段：参与活动的人数为1（即小明）；
2. 第一轮转发：小明邀请x人，新增x名参与者，此时累计参与人数为$1+x$；
3. 第二轮转发：第一轮新增的x名参与者每人邀请x人，新增$x × x = x^2$名参与者；
两轮后总参与人数为91，因此可列方程：
$1 + x + x^2 = 91$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模
【点评】
本题是传播类方程应用的基础题型，解题核心是准确理解传播规则，分阶段梳理各轮次的新增人数，注意区分不同传播逻辑对应的数量关系，避免混淆不同模型的方程形式。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的一元二次方程传播类应用题，解题时需分阶段梳理每一轮的参与人数：首先明确初始参与人数，再分别计算每一轮新增的参与人数，最后根据总人数的等量关系列方程。注意要区分本题的传播规则和“全员持续传播”类规则的差异，避免错列方程。
第一步：确定初始人数，从小明开始算，初始参与活动的只有小明1人；
第二步：计算第一轮传播的新增人数：小明按规定@x人，因此第一轮新增x名参与者；
第三步：计算第二轮传播的新增人数：第一轮被邀请的x人每人再@x人，因此第二轮新增$x· x=x^2$名参与者；
第四步：两轮后总参与人数为初始人数+第一轮新增人数+第二轮新增人数，等于题目给出的91人，据此列方程即可。
【解析】
解：由传播规则可知：
1. 初始阶段：参与活动的人数为1（即小明）；
2. 第一轮转发：小明邀请x人，新增x名参与者，此时累计参与人数为$1+x$；
3. 第二轮转发：第一轮新增的x名参与者每人邀请x人，新增$x × x = x^2$名参与者；
两轮后总参与人数为91，因此可列方程：
$1 + x + x^2 = 91$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；传播问题建模
【点评】
本题是传播类方程应用的基础题型，解题核心是准确理解传播规则，分阶段梳理各轮次的新增人数，注意区分不同传播逻辑对应的数量关系，避免混淆不同模型的方程形式。
【难度系数】
0.7
3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是
7
。答案
3.7
解析
【分析】
这是一道典型的分支类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确各部分数量关系：植物的主干仅有1个；设每个支干长出x个小分支，因此支干的总数量等于x个；每个支干又长出x个小分支，因此小分支的总数量为$ x × x $即$ x^2 $个。第二步根据三类结构的总数为57列方程，第三步解一元二次方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的负根即可得到结果。
【解析】
设这种植物每个支干长出的小分支个数是$ x $。
由题意可知：主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三类总和为57，可列方程：
$ 1 + x + x^2 = 57 $
整理得：$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：$ (x + 8)(x - 7) = 0 $
解得：$ x_1 = 7 $，$ x_2 = -8 $
∵ 小分支的个数不能为负数，故舍去$ x = -8 $
∴ $ x = 7 $
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题验根
【点评】
本题解题核心是准确梳理主干、支干、小分支的数量关系，正确列出一元二次方程，需要注意求解后要结合实际问题的意义对根进行取舍，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的分支类一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步先明确各部分数量关系：植物的主干仅有1个；设每个支干长出x个小分支，因此支干的总数量等于x个；每个支干又长出x个小分支，因此小分支的总数量为$ x × x $即$ x^2 $个。第二步根据三类结构的总数为57列方程，第三步解一元二次方程，最后结合实际意义舍去不符合要求的负根即可得到结果。
【解析】
设这种植物每个支干长出的小分支个数是$ x $。
由题意可知：主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三类总和为57，可列方程：
$ 1 + x + x^2 = 57 $
整理得：$ x^2 + x - 56 = 0 $
因式分解得：$ (x + 8)(x - 7) = 0 $
解得：$ x_1 = 7 $，$ x_2 = -8 $
∵ 小分支的个数不能为负数，故舍去$ x = -8 $
∴ $ x = 7 $
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题验根
【点评】
本题解题核心是准确梳理主干、支干、小分支的数量关系，正确列出一元二次方程，需要注意求解后要结合实际问题的意义对根进行取舍，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
4.(教材P21探究1变式)某学校在校师生及工作人员共600人,其中一个学生患一种传染病,经过两轮传染后共有64人患了该病.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮传染后学校还有
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮传染后学校还有
88
人未被传染(第三轮传染后仍未有治愈者).答案
4.解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人,由题意,得$1+x+(1+x)x=64$,解得$x_1=7$,$x_2=-9$(不合题意,舍去),答:每轮传染中平均一个人传染了7人.
(2)88
(2)88
解析
【分析】
本题属于一元二次方程应用中的传播问题，解题思路如下：
(1) 先明确传播规律：初始有1个患者，每轮中1个人传染x人，第一轮传染后共有$(1+x)$个患者；第二轮中这$(1+x)$个患者每人再传染x人，第二轮新增$x(1+x)$个患者，两轮后总患者数等于64，据此列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
(2) 第三轮传染以第二轮结束的64个患者为传染源，每人传染7人，先算出第三轮结束后的总患病人数，再用全校总人数减去总患病人数，即可得到未被传染的人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得：
$1+x+(1+x)x=64$
整理得：$(1+x)^2=64$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$
传染人数不能为负数，因此$x_2=-9$不合题意，舍去。
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人。
(2) 第三轮传染后总患病人数为：$64 + 64×7 = 512$（人）
未被传染的人数为：$600 - 512 = 88$（人）
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7个人；(2) 88
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题模型
3. 方程根的检验
【点评】
本题是传播类实际应用的基础题型，重点考查对传播数量增长规律的理解，列方程时要准确梳理每轮传染源数量和新增患者数量的关系，求解后注意结合实际场景对根进行取舍，第二问直接沿用传播规律计算即可，整体难度不高，是对一元二次方程实际应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程应用中的传播问题，解题思路如下：
(1) 先明确传播规律：初始有1个患者，每轮中1个人传染x人，第一轮传染后共有$(1+x)$个患者；第二轮中这$(1+x)$个患者每人再传染x人，第二轮新增$x(1+x)$个患者，两轮后总患者数等于64，据此列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的负根。
(2) 第三轮传染以第二轮结束的64个患者为传染源，每人传染7人，先算出第三轮结束后的总患病人数，再用全校总人数减去总患病人数，即可得到未被传染的人数。
【解析】
(1) 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得：
$1+x+(1+x)x=64$
整理得：$(1+x)^2=64$
解得$x_1=7$，$x_2=-9$
传染人数不能为负数，因此$x_2=-9$不合题意，舍去。
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人。
(2) 第三轮传染后总患病人数为：$64 + 64×7 = 512$（人）
未被传染的人数为：$600 - 512 = 88$（人）
【答案】
(1) 每轮传染中平均一个人传染了7个人；(2) 88
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 传播问题模型
3. 方程根的检验
【点评】
本题是传播类实际应用的基础题型，重点考查对传播数量增长规律的理解，列方程时要准确梳理每轮传染源数量和新增患者数量的关系，求解后注意结合实际场景对根进行取舍，第二问直接沿用传播规律计算即可，整体难度不高，是对一元二次方程实际应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.7
5.(广东中考)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
A
）A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查平均增长率相关的方程列法，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的核心逻辑：每次增长都是在上一期产值的基础上乘以(1+增长率)。先确定初始值为5月的2500万元，从5月到7月共经历2次月度增长，每次月均增长率为x，最终7月产值为9100万元，结合增长规律即可列出对应方程。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为x。
1. 计算6月产值：6月产值是5月产值增长x后的数值，即$2500(1+x)$万元；
2. 计算7月产值：7月产值是6月产值再次增长x后的数值，即$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
3. 结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2=9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率建模，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题的关键是理清增长的次数，正确套用增长模型，属于高频基础考点，掌握基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
本题考查平均增长率相关的方程列法，解题思路如下：首先明确平均增长率问题的核心逻辑：每次增长都是在上一期产值的基础上乘以(1+增长率)。先确定初始值为5月的2500万元，从5月到7月共经历2次月度增长，每次月均增长率为x，最终7月产值为9100万元，结合增长规律即可列出对应方程。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为x。
1. 计算6月产值：6月产值是5月产值增长x后的数值，即$2500(1+x)$万元；
2. 计算7月产值：7月产值是6月产值再次增长x后的数值，即$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
3. 结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2=9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率建模，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题的关键是理清增长的次数，正确套用增长模型，属于高频基础考点，掌握基础公式即可快速求解。
【难度系数】
0.85
6.潮绣婚纱晚礼服是以潮州市为产业核心的服饰品类，依托“中国婚纱晚礼服名城”产业定位形成集群化发展格局.某服装厂生产一批晚礼服，2023年该晚礼服的出厂价是300元/件，2024年、2025年连续两年改进技术降低成本，2025年该晚礼服的出厂价调整为243元/件.若这两年此类晚礼服的出厂价下降的百分率相同，则年平均下降率是
10%
.答案
6.10%
解析
【分析】
这是典型的平均变化率类应用题，解题思路如下：第一步，明确平均下降率的数量关系，若原价为a，年平均下降率为x，则经过1次降价后的价格是a(1-x)，经过2次连续降价后的价格是a(1-x)²；第二步，结合题目给出的2023年原价、2025年现价的已知条件，列一元二次方程；第三步，解方程后，结合下降率的实际意义（0＜x＜1）舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设该晚礼服出厂价的年平均下降率为$ x $。
根据题意，2023年出厂价为300元/件，连续两年降价后2025年出厂价为243元/件，可列方程：
$ 300(1-x)^2 = 243 $
方程两边同时除以300，得：
$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.9 $
当$ 1-x = 0.9 $时，解得$ x = 0.1 = 10\% $；
当$ 1-x = -0.9 $时，解得$ x = 1.9 $，因为下降率不能大于1，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
10%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，核心是掌握连续两次平均变化的等量关系，解题时要注意对求解得到的一元二次方程的根进行检验，舍去不符合实际情境的根。
【难度系数】
0.8
这是典型的平均变化率类应用题，解题思路如下：第一步，明确平均下降率的数量关系，若原价为a，年平均下降率为x，则经过1次降价后的价格是a(1-x)，经过2次连续降价后的价格是a(1-x)²；第二步，结合题目给出的2023年原价、2025年现价的已知条件，列一元二次方程；第三步，解方程后，结合下降率的实际意义（0＜x＜1）舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
设该晚礼服出厂价的年平均下降率为$ x $。
根据题意，2023年出厂价为300元/件，连续两年降价后2025年出厂价为243元/件，可列方程：
$ 300(1-x)^2 = 243 $
方程两边同时除以300，得：
$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方得：
$ 1-x = \pm 0.9 $
当$ 1-x = 0.9 $时，解得$ x = 0.1 = 10\% $；
当$ 1-x = -0.9 $时，解得$ x = 1.9 $，因为下降率不能大于1，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
10%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，核心是掌握连续两次平均变化的等量关系，解题时要注意对求解得到的一元二次方程的根进行检验，舍去不符合实际情境的根。
【难度系数】
0.8
7.据统计,某红色博物馆开馆的第一个月进馆75 000人次,由于红色文化深入人心,进馆人次逐月增加,第三个月进馆108 000人次.若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制,该红色博物馆月接纳能力不能超过120 000人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制,该红色博物馆月接纳能力不能超过120 000人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.
答案
7.解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,根据题意,得$75000(1+x)^2=108000$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去).答:进馆人次的月平均增长率为20%.
(2)在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次,理由如下:由题意,得第四个月的进馆人次数为$108000×(1+20\%)=129600$(人次).$\because 129600＞120000$,$\therefore$在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次.
(2)在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次,理由如下:由题意,得第四个月的进馆人次数为$108000×(1+20\%)=129600$(人次).$\because 129600＞120000$,$\therefore$在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次.
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路可分为两步：
（1）解决平均增长率问题首先要明确公式：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是第一个月的75000人次，到第三个月共经过2次增长，对应量为108000人次，因此设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）要判断博物馆能否接纳第四个月的人次，只需用第三个月的进馆人次乘以（1+增长率）得到第四个月的进馆人次，再与博物馆最大接纳量120000人次比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意得：
$75000(1+x)^2=108000$
方程两边同时除以75000，得$(1+x)^2=1.44$
开平方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，增长率不能为负，故$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
(2) 该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
已知月平均增长率为20%，第三个月进馆108000人次，则第四个月进馆人次为：
$108000×(1+20\%)=129600$（人次）
$\because 129600＞120000$
$\therefore$ 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月平均增长率为20%；
(2) 不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率计算
【点评】
本题是贴近实际生活的应用题型，核心考查平均增长率公式的掌握与运用，解题时需注意方程的解要符合实际场景的要求，是一元二次方程应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路可分为两步：
（1）解决平均增长率问题首先要明确公式：若初始量为a，平均增长率为x，经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是第一个月的75000人次，到第三个月共经过2次增长，对应量为108000人次，因此设月平均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）要判断博物馆能否接纳第四个月的人次，只需用第三个月的进馆人次乘以（1+增长率）得到第四个月的进馆人次，再与博物馆最大接纳量120000人次比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意得：
$75000(1+x)^2=108000$
方程两边同时除以75000，得$(1+x)^2=1.44$
开平方得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$，增长率不能为负，故$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
(2) 该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
已知月平均增长率为20%，第三个月进馆108000人次，则第四个月进馆人次为：
$108000×(1+20\%)=129600$（人次）
$\because 129600＞120000$
$\therefore$ 在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次。
【答案】
(1) 进馆人次的月平均增长率为20%；
(2) 不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率计算
【点评】
本题是贴近实际生活的应用题型，核心考查平均增长率公式的掌握与运用，解题时需注意方程的解要符合实际场景的要求，是一元二次方程应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
