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8.如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿AB向终点B以1 cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,设运动时间是t s.当t=
0或4
s时,PQ的长度为10 cm.答案
8. 0或4
解析
【分析】
这是一道矩形中的动点结合线段长度求解的问题，解题思路如下：1. 首先明确矩形的∠B为直角，因此△PBQ是直角三角形，可利用勾股定理建立等量关系；2. 用含运动时间t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；3. 根据PQ=10cm，代入勾股定理公式列出关于t的一元二次方程；4. 求解方程后，结合点Q的运动范围检验根是否符合实际，保留符合要求的解即可。
【解析】
解：由题意得，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$PB = AB - AP = (10 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$，
已知$PQ=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$(10 - t)^2 + (2t)^2 = 10^2$
展开得：$100 - 20t + t^2 + 4t^2 = 100$
整理得：$5t^2 - 20t = 0$
因式分解得：$5t(t - 4) = 0$
解得：$t_1 = 0$，$t_2 = 4$
∵点Q运动到C时停止运动，$BC=12\ \mathrm{cm}$，Q的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，
∴$t≤\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$，
两个解均满足$0≤ t≤6$，均符合题意。
【答案】
0或4
【知识点】
勾股定理；动点问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是将动点问题转化为静态的几何计算，通过用时间t表示相关线段长度，结合勾股定理建立方程求解，要注意解得的结果必须符合实际运动的限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
这是一道矩形中的动点结合线段长度求解的问题，解题思路如下：1. 首先明确矩形的∠B为直角，因此△PBQ是直角三角形，可利用勾股定理建立等量关系；2. 用含运动时间t的代数式分别表示出Rt△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；3. 根据PQ=10cm，代入勾股定理公式列出关于t的一元二次方程；4. 求解方程后，结合点Q的运动范围检验根是否符合实际，保留符合要求的解即可。
【解析】
解：由题意得，$AP = t\ \mathrm{cm}$，$BQ = 2t\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$PB = AB - AP = (10 - t)\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：$PB^2 + BQ^2 = PQ^2$，
已知$PQ=10\ \mathrm{cm}$，代入得：
$(10 - t)^2 + (2t)^2 = 10^2$
展开得：$100 - 20t + t^2 + 4t^2 = 100$
整理得：$5t^2 - 20t = 0$
因式分解得：$5t(t - 4) = 0$
解得：$t_1 = 0$，$t_2 = 4$
∵点Q运动到C时停止运动，$BC=12\ \mathrm{cm}$，Q的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，
∴$t≤\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$，
两个解均满足$0≤ t≤6$，均符合题意。
【答案】
0或4
【知识点】
勾股定理；动点问题；一元二次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是将动点问题转化为静态的几何计算，通过用时间t表示相关线段长度，结合勾股定理建立方程求解，要注意解得的结果必须符合实际运动的限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
9.小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为60 cm，宽为24 cm，在装裱后左、右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为1：5，若装裱后作品总面积为2 240 cm²，则右边宽为
2
cm.答案
9. 2
解析
【分析】
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题思路如下：第一步，根据题目给出的右边宽与天头长的比例关系设未知数；第二步，结合原作品的长宽，分别表示出装裱后整个矩形的长和宽；第三步，利用矩形面积公式列方程；第四步，解方程并根据实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设右边宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由右边宽与天头长的比为$1:5$，可得天头长为$ 5x \, \mathrm{cm} $。
∵ 天头长与地头长相等，左、右边宽相等
∴ 装裱后整体的竖直方向总长度为：$ 60 + 5x + 5x = 60 + 10x \, (\mathrm{cm}) $
装裱后整体的水平方向总宽度为：$ 24 + x + x = 24 + 2x \, (\mathrm{cm}) $
根据装裱后总面积为$ 2240 \, \mathrm{cm}^2 $，结合矩形面积公式列方程：
$(60 + 10x)(24 + 2x) = 2240$
整理方程：
$20x^2 + 360x + 1440 = 2240 \x^2 + 18x - 40 = 0$
因式分解得：
$(x + 20)(x - 2) = 0$
解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -20 $（长度不能为负，舍去）
所以右边宽为$ 2 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，比例的应用
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是根据比例关系合理设元，准确用含未知数的式子表示出装裱后图形的长宽，再结合面积等量关系列方程求解，注意求解后要舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题思路如下：第一步，根据题目给出的右边宽与天头长的比例关系设未知数；第二步，结合原作品的长宽，分别表示出装裱后整个矩形的长和宽；第三步，利用矩形面积公式列方程；第四步，解方程并根据实际意义舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设右边宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由右边宽与天头长的比为$1:5$，可得天头长为$ 5x \, \mathrm{cm} $。
∵ 天头长与地头长相等，左、右边宽相等
∴ 装裱后整体的竖直方向总长度为：$ 60 + 5x + 5x = 60 + 10x \, (\mathrm{cm}) $
装裱后整体的水平方向总宽度为：$ 24 + x + x = 24 + 2x \, (\mathrm{cm}) $
根据装裱后总面积为$ 2240 \, \mathrm{cm}^2 $，结合矩形面积公式列方程：
$(60 + 10x)(24 + 2x) = 2240$
整理方程：
$20x^2 + 360x + 1440 = 2240 \x^2 + 18x - 40 = 0$
因式分解得：
$(x + 20)(x - 2) = 0$
解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -20 $（长度不能为负，舍去）
所以右边宽为$ 2 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，比例的应用
【点评】
本题属于基础的方程实际应用题，解题核心是根据比例关系合理设元，准确用含未知数的式子表示出装裱后图形的长宽，再结合面积等量关系列方程求解，注意求解后要舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.7
10. 如图1是用总长为400 cm的木板制作的矩形置物架，抽象为图2中的矩形ABCD，该置物架上面部分是边长为x cm的正方形ABFE，中间部分为矩形EFHG，点M，N分别为线段HG，CD的中点，且DG=40 cm.
(1)置物架ABCD的高AD的长为
(2)当x=45时，EG的长为
(3)为了便于放置物品，要求EG的高度不小于18 cm，若矩形ABCD的面积为
4 000 cm²，求x的值.
(1)置物架ABCD的高AD的长为
(180-2x)
cm(用含x的代数式表示)；(2)当x=45时，EG的长为
5
cm；(3)为了便于放置物品，要求EG的高度不小于18 cm，若矩形ABCD的面积为
4 000 cm²，求x的值.
答案
10. 解:(1)$(180-2x)$ (2)5 (3)由题意可知,$AB=AE=x$ cm,由(1)可知,$AD=(180-2x)$cm,$EG=(140-3x)$cm. 由题意,得$x(180-2x)=4\ 000$,解得$x_1=40$,$x_2=50$. 当$x=40$时,则$EG=140-3×40=20(\mathrm{cm})＞18$ cm,符合题意;当$x=50$时,则$EG=140-3×50=-10(\mathrm{cm})$,不符合题意,舍去.答:$x$的值为40.
解析
【分析】
(1) 先梳理木板的组成：水平方向有AB、EF、GH、DC共4条长度为x的木板，竖直方向有AD、BC2条长度为AD的侧边木板，还有下方分隔格子的1条长40cm的竖板，总长度为400cm，据此列等式整理即可得到AD关于x的代数式；
(2) 先推导EG的表达式：EG=AD - AE - DG，其中AE为正方形边长x，DG已知为40cm，代入AD的表达式得到EG=140-3x，再将x=45代入计算即可；
(3) 根据矩形面积=长×宽列关于x的一元二次方程，求解后结合EG≥18的限制条件，舍去不符合实际的根即可得到x的值。
【解析】
(1) 由题意，水平方向4块木板长度均为x cm，竖直方向2块侧边木板长为AD，还有1块竖直分隔板长40 cm，总木板长400 cm，因此：
$4x + 2AD + 40 = 400$
整理得$2AD = 360 - 4x$，即$AD = 180 - 2x$（cm）。
(2) 由图可知$EG = AD - AE - DG$，其中AE是正方形ABFE的边长为x cm，$DG=40\ \mathrm{cm}$，代入$AD=180-2x$得：
$EG = (180 - 2x) - x - 40 = 140 - 3x$
当$x=45$时，$EG=140 - 3×45=5$（cm）。
(3) 矩形ABCD的长$AB=x\ \mathrm{cm}$，高$AD=(180-2x)\ \mathrm{cm}$，根据面积为$4000\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$x(180 - 2x) = 4000$
整理得$x^2 - 90x + 2000 = 0$，因式分解得$(x-40)(x-50)=0$，解得$x_1=40$，$x_2=50$。
结合$EG≥18\ \mathrm{cm}$的要求，即$140-3x≥18$：
当$x=40$时，$EG=140-3×40=20\ \mathrm{cm}＞18\ \mathrm{cm}$，符合题意；
当$x=50$时，$EG=140-3×50=-10\ \mathrm{cm}＜0$，不符合实际，舍去。
故x的值为40。
【答案】
(1) $\boxed{180-2x}$；(2) $\boxed{5}$；(3) $\boxed{40}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，实际根的取舍
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理清各线段的长度关系，注意求解后要结合实际限制条件对根进行检验，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 先梳理木板的组成：水平方向有AB、EF、GH、DC共4条长度为x的木板，竖直方向有AD、BC2条长度为AD的侧边木板，还有下方分隔格子的1条长40cm的竖板，总长度为400cm，据此列等式整理即可得到AD关于x的代数式；
(2) 先推导EG的表达式：EG=AD - AE - DG，其中AE为正方形边长x，DG已知为40cm，代入AD的表达式得到EG=140-3x，再将x=45代入计算即可；
(3) 根据矩形面积=长×宽列关于x的一元二次方程，求解后结合EG≥18的限制条件，舍去不符合实际的根即可得到x的值。
【解析】
(1) 由题意，水平方向4块木板长度均为x cm，竖直方向2块侧边木板长为AD，还有1块竖直分隔板长40 cm，总木板长400 cm，因此：
$4x + 2AD + 40 = 400$
整理得$2AD = 360 - 4x$，即$AD = 180 - 2x$（cm）。
(2) 由图可知$EG = AD - AE - DG$，其中AE是正方形ABFE的边长为x cm，$DG=40\ \mathrm{cm}$，代入$AD=180-2x$得：
$EG = (180 - 2x) - x - 40 = 140 - 3x$
当$x=45$时，$EG=140 - 3×45=5$（cm）。
(3) 矩形ABCD的长$AB=x\ \mathrm{cm}$，高$AD=(180-2x)\ \mathrm{cm}$，根据面积为$4000\ \mathrm{cm}^2$列方程：
$x(180 - 2x) = 4000$
整理得$x^2 - 90x + 2000 = 0$，因式分解得$(x-40)(x-50)=0$，解得$x_1=40$，$x_2=50$。
结合$EG≥18\ \mathrm{cm}$的要求，即$140-3x≥18$：
当$x=40$时，$EG=140-3×40=20\ \mathrm{cm}＞18\ \mathrm{cm}$，符合题意；
当$x=50$时，$EG=140-3×50=-10\ \mathrm{cm}＜0$，不符合实际，舍去。
故x的值为40。
【答案】
(1) $\boxed{180-2x}$；(2) $\boxed{5}$；(3) $\boxed{40}$
【知识点】
列代数式，一元二次方程应用，实际根的取舍
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理清各线段的长度关系，注意求解后要结合实际限制条件对根进行检验，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°,AB=5\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm}$.点$P$从点$A$出发沿$AB$边向点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动;点$Q$同时从点$B$沿$BC$边向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度匀速运动.当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发,那么几秒后,$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
(2)在(1)中,$△ PBQ$的面积能否为$7\ \mathrm{cm}^2$?请说明理由.
(1)如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发,那么几秒后,$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
(2)在(1)中,$△ PBQ$的面积能否为$7\ \mathrm{cm}^2$?请说明理由.
答案
11. 解:(1)设$x$ s后,$△ PBQ$的面积为4 cm²,此时,$AP=x$ cm,$BP=AB-AP=(5-x)$(cm),$BQ=2x$ cm. 由$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP·BQ$,得$\frac{1}{2}(5-x)·2x=4$. 整理,得$x^2-5x+4=0$.解方程,得$x_1=1$,$x_2=4$. 当$x=1$时,$2x=2＜7$,符合题意;当$x=4$时,$2x=8＞7$,不符合题意,舍去. 因此,1 s后$△ PBQ$的面积为4 cm². (2)不能.理由如下:设$t$ s后,$△ PBQ$的面积为7 cm². 由(1),得$\frac{1}{2}(5-t)·2t=7$. 整理,得$t^2-5t+7=0$.$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0$,此方程无实数根. 因此,$△ PBQ$的面积不能为7 cm².
解析
【分析】
这是一道结合动点的几何与一元二次方程结合的题型，解题思路如下：
(1) 先设运动时间为未知数，根据点的运动速度和时间，把△PBQ的两条直角边BP、BQ的长度用含未知数的代数式表示，再结合直角三角形面积公式列一元二次方程，解方程后要结合点的运动范围验证根是否符合实际：点Q最多运动到C点，BQ最大为7cm，因此运动时间最多为$7÷2=3.5\mathrm{s}$，超出这个范围的根要舍去。
(2) 判断面积能否为$7\mathrm{cm}^2$时，同样先按面积公式列方程，再通过计算一元二次方程的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明该情况不存在。
【解析】
(1) 设$x$ s后，$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=(5-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，根据直角三角形面积公式$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP· BQ$，代入得：
$\frac{1}{2}(5-x)· 2x=4$
整理得：$x^2-5x+4=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=4$
检验：当$x=1$时，$2x=2＜7$，符合题意；当$x=4$时，$2x=8＞7$，不符合运动范围，舍去。
(2) 不能，理由如下：
设$t$ s后，$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，同理列方程：
$\frac{1}{2}(5-t)· 2t=7$
整理得：$t^2-5t+7=0$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0$
因此该方程无实数根，不存在符合条件的运动时间。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，动点面积问题，根的判别式
【点评】
本题是动态几何与方程结合的基础题型，核心是将运动过程中的线段长度转化为代数式建立方程，需注意实际问题中解的合理性要结合运动范围判断，存在性问题可通过判别式分析方程根的情况解决，考察了建模思想和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
这是一道结合动点的几何与一元二次方程结合的题型，解题思路如下：
(1) 先设运动时间为未知数，根据点的运动速度和时间，把△PBQ的两条直角边BP、BQ的长度用含未知数的代数式表示，再结合直角三角形面积公式列一元二次方程，解方程后要结合点的运动范围验证根是否符合实际：点Q最多运动到C点，BQ最大为7cm，因此运动时间最多为$7÷2=3.5\mathrm{s}$，超出这个范围的根要舍去。
(2) 判断面积能否为$7\mathrm{cm}^2$时，同样先按面积公式列方程，再通过计算一元二次方程的判别式判断方程是否有实数根，若无实根则说明该情况不存在。
【解析】
(1) 设$x$ s后，$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$。
由题意得：$AP=x\ \mathrm{cm}$，因此$BP=AB-AP=(5-x)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2x\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ B=90°$，根据直角三角形面积公式$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2}BP· BQ$，代入得：
$\frac{1}{2}(5-x)· 2x=4$
整理得：$x^2-5x+4=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=4$
检验：当$x=1$时，$2x=2＜7$，符合题意；当$x=4$时，$2x=8＞7$，不符合运动范围，舍去。
(2) 不能，理由如下：
设$t$ s后，$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，同理列方程：
$\frac{1}{2}(5-t)· 2t=7$
整理得：$t^2-5t+7=0$
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=25-28=-3＜0$
因此该方程无实数根，不存在符合条件的运动时间。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，动点面积问题，根的判别式
【点评】
本题是动态几何与方程结合的基础题型，核心是将运动过程中的线段长度转化为代数式建立方程，需注意实际问题中解的合理性要结合运动范围判断，存在性问题可通过判别式分析方程根的情况解决，考察了建模思想和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
