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1.某中学准备建一个面积为$375\ \mathrm{m}^2$的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m.设游泳池的长为$x$ m，则可列方程为
x(x-10)=375
.答案
1.$x(x-10)=375$
解析
【分析】
这是一道利用方程解决几何面积的基础题，解题思路如下：首先明确题目已经设游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，接下来根据“宽比长短10\ \mathrm{m}$”的条件，用含$x$的代数式表示出宽；再回忆矩形的面积计算公式，找到“长×宽=矩形面积”的等量关系，最后将对应量代入等量关系即可列出方程。【解析】1. 表示游泳池的宽：已知游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，且宽比长短10\ \mathrm{m}$，因此宽为$(x-10)\ \mathrm{m}$。
2. 结合矩形面积公式列方程：
矩形的面积公式为$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，题目已知游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，将长、宽和面积代入公式，可得方程：
$x(x-10)=375$
【答案】
$x(x-10)=375$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的关键是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的代数式表示出未知边的长度，再代入对应公式即可求解。
【难度系数】
0.9
这是一道利用方程解决几何面积的基础题，解题思路如下：首先明确题目已经设游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，接下来根据“宽比长短10\ \mathrm{m}$”的条件，用含$x$的代数式表示出宽；再回忆矩形的面积计算公式，找到“长×宽=矩形面积”的等量关系，最后将对应量代入等量关系即可列出方程。【解析】1. 表示游泳池的宽：已知游泳池的长为$x\ \mathrm{m}$，且宽比长短10\ \mathrm{m}$，因此宽为$(x-10)\ \mathrm{m}$。
2. 结合矩形面积公式列方程：
矩形的面积公式为$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，题目已知游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，将长、宽和面积代入公式，可得方程：
$x(x-10)=375$
【答案】
$x(x-10)=375$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的关键是找准题目中的等量关系，正确用含未知数的代数式表示出未知边的长度，再代入对应公式即可求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，圆柱的高为15 cm，表面积为$200π \ \mathrm{cm}^2$，则圆柱底面半径为
5
cm.答案
2. 5
解析
【分析】
解题时先明确圆柱表面积的构成：圆柱表面积等于2个底面圆的面积加上侧面积。我们可以设圆柱底面半径为r cm，分别用含r的式子表示出底面积总和与侧面积，再结合已知的表面积数值列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到底面半径。
【解析】
设圆柱的底面半径为$ r $ cm。
圆柱2个底面的总面积为$ 2π r^2 $，圆柱的侧面积为底面周长×高，即$ 2π r × 15 = 30π r $。
根据圆柱表面积为$ 200π \ \mathrm{cm}^2 $，可列方程：
$ 2π r^2 + 30π r = 200π $
两边同时除以$ π $，得：
$ 2r^2 + 30r = 200 $
化简为：
$ r^2 +15r -100 = 0 $
因式分解得：
$ (r+20)(r-5)=0 $
解得$ r_1=5 $，$ r_2=-20 $，因为半径为正数，故舍去$ r=-20 $，即底面半径为5cm。
【答案】
5
【知识点】
圆柱表面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是牢记圆柱表面积的组成，列方程求解后要注意结合实际问题的意义舍去不符合要求的根，整体考查基础公式的掌握和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆柱表面积的构成：圆柱表面积等于2个底面圆的面积加上侧面积。我们可以设圆柱底面半径为r cm，分别用含r的式子表示出底面积总和与侧面积，再结合已知的表面积数值列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到底面半径。
【解析】
设圆柱的底面半径为$ r $ cm。
圆柱2个底面的总面积为$ 2π r^2 $，圆柱的侧面积为底面周长×高，即$ 2π r × 15 = 30π r $。
根据圆柱表面积为$ 200π \ \mathrm{cm}^2 $，可列方程：
$ 2π r^2 + 30π r = 200π $
两边同时除以$ π $，得：
$ 2r^2 + 30r = 200 $
化简为：
$ r^2 +15r -100 = 0 $
因式分解得：
$ (r+20)(r-5)=0 $
解得$ r_1=5 $，$ r_2=-20 $，因为半径为正数，故舍去$ r=-20 $，即底面半径为5cm。
【答案】
5
【知识点】
圆柱表面积计算，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是牢记圆柱表面积的组成，列方程求解后要注意结合实际问题的意义舍去不符合要求的根，整体考查基础公式的掌握和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
3. 将一条长为28 cm的铁丝剪成两段并把每一段铁丝做成一个正方形.若这两个正方形的面积之和等于25 cm²,则其中较大正方形的边长是
4
cm.答案
3. 4
解析
【分析】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的应用，解题思路可按以下步骤梳理：1. 设其中一个正方形的边长为未知数，结合正方形周长公式，用该未知数表示出这个正方形的周长；2. 用铁丝总长度减去已用周长得到另一个正方形的周长，再结合正方形周长公式推导出第二个正方形的边长；3. 根据“两个正方形的面积之和等于25cm²”的等量关系列方程，求解后对比两个根的大小，取较大值即为答案。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则该正方形的周长为$4x\ \mathrm{cm}$，
剩余铁丝长度为$(28-4x)\ \mathrm{cm}$，即另一个正方形的周长为$(28-4x)\ \mathrm{cm}$，
因此另一个正方形的边长为$\frac{28-4x}{4}=(7-x)\ \mathrm{cm}$。
根据两个正方形面积之和为$25\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x^2 + (7-x)^2 = 25$
展开整理得：$x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25$
合并同类项并化简得：$x^2 - 7x + 12 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=4$。
当$x=3$时，另一个正方形边长为$7-3=4\ \mathrm{cm}$；当$x=4$时，另一个正方形边长为$7-4=3\ \mathrm{cm}$。
因此两个正方形的边长分别为$3\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$，较大正方形的边长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程应用、正方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础的方程与几何结合的应用题，解题的关键是利用周长的数量关系正确表示两个正方形的边长，再结合面积等量关系列方程求解，得出方程的根后要注意结合题意筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在几何图形问题中的应用，解题思路可按以下步骤梳理：1. 设其中一个正方形的边长为未知数，结合正方形周长公式，用该未知数表示出这个正方形的周长；2. 用铁丝总长度减去已用周长得到另一个正方形的周长，再结合正方形周长公式推导出第二个正方形的边长；3. 根据“两个正方形的面积之和等于25cm²”的等量关系列方程，求解后对比两个根的大小，取较大值即为答案。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则该正方形的周长为$4x\ \mathrm{cm}$，
剩余铁丝长度为$(28-4x)\ \mathrm{cm}$，即另一个正方形的周长为$(28-4x)\ \mathrm{cm}$，
因此另一个正方形的边长为$\frac{28-4x}{4}=(7-x)\ \mathrm{cm}$。
根据两个正方形面积之和为$25\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$x^2 + (7-x)^2 = 25$
展开整理得：$x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25$
合并同类项并化简得：$x^2 - 7x + 12 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x-4)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=4$。
当$x=3$时，另一个正方形边长为$7-3=4\ \mathrm{cm}$；当$x=4$时，另一个正方形边长为$7-4=3\ \mathrm{cm}$。
因此两个正方形的边长分别为$3\ \mathrm{cm}$和$4\ \mathrm{cm}$，较大正方形的边长为$4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程应用、正方形周长计算、正方形面积计算
【点评】
本题属于基础的方程与几何结合的应用题，解题的关键是利用周长的数量关系正确表示两个正方形的边长，再结合面积等量关系列方程求解，得出方程的根后要注意结合题意筛选符合要求的结果。
【难度系数】
0.7
4.(广元中考)如图,在长为12 m,宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积为总面积的$\frac{2}{5}$,那么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m,则可列方程为 (
A.$(12-x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
B.$(12-2x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
C.$(12-x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
D.$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
D
)A.$(12-x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
B.$(12-2x)(10-x)=12×10×\frac{2}{5}$
C.$(12-x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
D.$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先明确核心等量关系：草坪面积=矩形地面总面积的$\frac{2}{5}$。第一步先计算矩形总面积，第二步重点分析中间草坪的长和宽：由于花卉带在矩形四周、宽度均为x，因此草坪的长需要减去左右两侧各x的宽度，宽需要减去上下两侧各x的宽度，最后用草坪长×宽表示草坪面积，代入等量关系即可列出方程，对应选出正确选项。
【解析】
1. 计算矩形地面的总面积：$S_{总}=12×10\ \mathrm{m}^2$；
2. 根据题意，草坪面积为总面积的$\frac{2}{5}$，因此$S_{草坪}=12×10×\frac{2}{5}$；
3. 分析草坪的长宽：花卉带宽度为x m，四周均有分布，因此草坪的长为$(12-2x)\ \mathrm{m}$（减去左右各x的宽度），宽为$(10-2x)\ \mathrm{m}$（减去上下各x的宽度），因此草坪面积还可表示为$S_{草坪}=(12-2x)(10-2x)$；
4. 联立两个草坪面积的表达式，可得方程：$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，易错点是容易忽略花卉带分布在矩形四周，误将草坪的长或宽只减去1倍的花卉带宽度，解题时结合图形分析各边长度的表达式即可避免错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确核心等量关系：草坪面积=矩形地面总面积的$\frac{2}{5}$。第一步先计算矩形总面积，第二步重点分析中间草坪的长和宽：由于花卉带在矩形四周、宽度均为x，因此草坪的长需要减去左右两侧各x的宽度，宽需要减去上下两侧各x的宽度，最后用草坪长×宽表示草坪面积，代入等量关系即可列出方程，对应选出正确选项。
【解析】
1. 计算矩形地面的总面积：$S_{总}=12×10\ \mathrm{m}^2$；
2. 根据题意，草坪面积为总面积的$\frac{2}{5}$，因此$S_{草坪}=12×10×\frac{2}{5}$；
3. 分析草坪的长宽：花卉带宽度为x m，四周均有分布，因此草坪的长为$(12-2x)\ \mathrm{m}$（减去左右各x的宽度），宽为$(10-2x)\ \mathrm{m}$（减去上下各x的宽度），因此草坪面积还可表示为$S_{草坪}=(12-2x)(10-2x)$；
4. 联立两个草坪面积的表达式，可得方程：$(12-2x)(10-2x)=12×10×\frac{2}{5}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是典型的几何面积类方程应用题，易错点是容易忽略花卉带分布在矩形四周，误将草坪的长或宽只减去1倍的花卉带宽度，解题时结合图形分析各边长度的表达式即可避免错误。
【难度系数】
0.7
5.(威海中考)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
答案
5. 解:设小路的宽度为$x$ m,则9块矩形地块可合成长为$(20-4x)$m,宽为$(14-4x)$m的矩形,根据题意,得$(20-4x)(14-4x)=24×9$,解得$x_1=\frac{1}{2}$,$x_2=8$(不符合题意,舍去).答:小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题核心思路是通过平移拼接分散的种植地块，简化面积计算。首先设小路宽度为x m，观察图形可知：水平方向共有4条纵向小路，因此拼接后种植区域的总长度为原长20m减去4条小路的总宽度4x，即(20-4x)m；竖直方向共有4条横向小路，拼接后种植区域的总宽度为原宽14m减去4条小路的总宽度4x，即(14-4x)m。拼接后的大矩形面积等于9个小地块的面积和，据此列方程求解即可，最后要结合实际情况舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
由题意得，9块矩形地块拼接后的大矩形长为$(20-4x)$m，宽为$(14-4x)$m，其面积等于9个地块的总面积，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理方程得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
检验：当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际意义，舍去；当$x=\frac{1}{2}$时，长和宽均为正数，符合题意。
答：小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m（或0.5 m）
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，通过平移合并分散的区域可以大幅降低计算难度，解题时要特别注意根据实际场景对求出的根进行取舍，避免得到不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程在几何面积问题中的应用题，解题核心思路是通过平移拼接分散的种植地块，简化面积计算。首先设小路宽度为x m，观察图形可知：水平方向共有4条纵向小路，因此拼接后种植区域的总长度为原长20m减去4条小路的总宽度4x，即(20-4x)m；竖直方向共有4条横向小路，拼接后种植区域的总宽度为原宽14m减去4条小路的总宽度4x，即(14-4x)m。拼接后的大矩形面积等于9个小地块的面积和，据此列方程求解即可，最后要结合实际情况舍去不符合题意的根。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
由题意得，9块矩形地块拼接后的大矩形长为$(20-4x)$m，宽为$(14-4x)$m，其面积等于9个地块的总面积，列方程：
$(20-4x)(14-4x)=24×9$
整理方程得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-8)=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$。
检验：当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，$14-4x=14-32=-18＜0$，不符合实际意义，舍去；当$x=\frac{1}{2}$时，长和宽均为正数，符合题意。
答：小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m（或0.5 m）
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题是典型的面积类方程应用题，通过平移合并分散的区域可以大幅降低计算难度，解题时要特别注意根据实际场景对求出的根进行取舍，避免得到不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
6.(新疆中考)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m²的矩形场地.设矩形的宽为x m,根据题意可列方程为(
A.$ x(24 - 2x) = 40 $
B.$ x(24 - x) = 40 $
C.$ 2x(24 - 2x) = 40 $
D.$ 2x(24 - x) = 40 $
A
)A.$ x(24 - 2x) = 40 $
B.$ x(24 - x) = 40 $
C.$ 2x(24 - 2x) = 40 $
D.$ 2x(24 - x) = 40 $
答案
6. A
解析
【分析】
首先明确围栏的组成：因为利用一面墙围矩形，墙足够长，所以围栏仅需要围矩形的三条边（2条垂直于墙的宽、1条平行于墙的长）。题目中设矩形的宽（即垂直于墙的边长）为x m，首先可以算出2条宽的总长度为2x m，那么剩余的围栏长度就是平行于墙的长，即(24 - 2x)m。再根据矩形面积=长×宽，已知面积为40 m²，将长和宽代入公式即可列出对应方程。
【解析】
解：设矩形垂直于墙的宽为x m，
由于总围栏长24 m，靠墙的一侧不需要围栏，因此平行于墙的矩形长为(24 - 2x)m。
根据矩形面积公式$S=长×宽$，已知面积为40 m²，代入得：
$x(24 - 2x) = 40$
因此符合题意的方程为A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，列代数式
【点评】
本题是几何图形类的方程实际应用题，解题核心是准确分析出围栏对应的是矩形的三条边，避免误将长算为(24 - x)，只要正确表示出矩形的长和宽，结合面积公式就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
首先明确围栏的组成：因为利用一面墙围矩形，墙足够长，所以围栏仅需要围矩形的三条边（2条垂直于墙的宽、1条平行于墙的长）。题目中设矩形的宽（即垂直于墙的边长）为x m，首先可以算出2条宽的总长度为2x m，那么剩余的围栏长度就是平行于墙的长，即(24 - 2x)m。再根据矩形面积=长×宽，已知面积为40 m²，将长和宽代入公式即可列出对应方程。
【解析】
解：设矩形垂直于墙的宽为x m，
由于总围栏长24 m，靠墙的一侧不需要围栏，因此平行于墙的矩形长为(24 - 2x)m。
根据矩形面积公式$S=长×宽$，已知面积为40 m²，代入得：
$x(24 - 2x) = 40$
因此符合题意的方程为A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，列代数式
【点评】
本题是几何图形类的方程实际应用题，解题核心是准确分析出围栏对应的是矩形的三条边，避免误将长算为(24 - x)，只要正确表示出矩形的长和宽，结合面积公式就能快速列出方程。
【难度系数】
0.8
7.如图,某工地在直角墙角处,用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地.中间用同样的材料分隔为两间,问AB为多长时,所围成的矩形的面积是450平方米?
答案
7. 解:设$AB$长$x$米,则$EF$长$x$米,$BC$长$(60-2x)$米,依题意,得$x(60-2x)=450$,解得$x=15$(负值舍去).答:$AB$为15米时,所围成的矩形面积是450平方米.
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先观察图形，堆物场地两面靠墙，AB侧、AD侧无需修建围墙，需要修建的是垂直于左侧墙的CD、EF，以及平行于上方墙的BC，总围墙长度为60米。第一步设AB的长度为x米，由于矩形对边相等，可得EF=CD=AB=x米，那么BC的长度就等于总围墙长度减去两条垂直边的长度，即(60-2x)米；第二步根据矩形面积=长×宽，结合面积为450平方米的条件列方程；第三步解方程后检验根是否符合实际意义，舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设AB的长度为x米，
由矩形对边相等可得EF=CD=x米，因此BC的长度为$(60-2x)$米。
根据矩形面积公式，结合题意列方程：
$x(60-2x)=450$
整理方程得：$x^2-30x+225=0$
因式分解得：$(x-15)^2=0$
解得：$x_1=x_2=15$
经检验，x=15符合实际长度要求。
【答案】
AB为15米时，所围成的矩形面积是450平方米。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题重点考查学生结合图形梳理数量关系的能力，解题的关键是准确表示出矩形两条邻边的长度，再根据面积公式列方程求解，注意求出的根必须符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先观察图形，堆物场地两面靠墙，AB侧、AD侧无需修建围墙，需要修建的是垂直于左侧墙的CD、EF，以及平行于上方墙的BC，总围墙长度为60米。第一步设AB的长度为x米，由于矩形对边相等，可得EF=CD=AB=x米，那么BC的长度就等于总围墙长度减去两条垂直边的长度，即(60-2x)米；第二步根据矩形面积=长×宽，结合面积为450平方米的条件列方程；第三步解方程后检验根是否符合实际意义，舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设AB的长度为x米，
由矩形对边相等可得EF=CD=x米，因此BC的长度为$(60-2x)$米。
根据矩形面积公式，结合题意列方程：
$x(60-2x)=450$
整理方程得：$x^2-30x+225=0$
因式分解得：$(x-15)^2=0$
解得：$x_1=x_2=15$
经检验，x=15符合实际长度要求。
【答案】
AB为15米时，所围成的矩形面积是450平方米。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 矩形面积计算
3. 实际问题根的检验
【点评】
本题重点考查学生结合图形梳理数量关系的能力，解题的关键是准确表示出矩形两条邻边的长度，再根据面积公式列方程求解，注意求出的根必须符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
