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1.【新素材】作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者的关注，联赛采用单循环赛制，每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，已知本次联赛共进行了120场激烈对决，则参赛的队伍有多少支？设参赛的队伍有x支，则可列方程为（
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=120$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=120$
C.$x(x-1)=120$
D.$x(x+1)=120$
A
）A.$\frac{1}{2}x(x-1)=120$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=120$
C.$x(x-1)=120$
D.$x(x+1)=120$
答案
1.A
解析
【分析】
这是单循环赛制的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确单循环赛的规则是每两支队伍之间仅比赛1场。第一步先推导单场计数逻辑：若有x支队伍，每支队伍要和除自身外的(x-1)支队伍各赛1场，若直接用x乘(x-1)计算总场次，会发现每场比赛被两支队伍各统计了1次，也就是总场次被重复计算了2倍，因此需要除以2消去重复计数，最后结合已知总场次120即可列出对应方程。
【解析】
解：设参赛的队伍有x支。
单循环赛制下，每支队伍需与其余$(x-1)$支队伍各比赛1场，由于每场比赛由2支队伍共同参与，直接计算$x(x-1)$会将每场比赛重复统计1次，因此实际总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知联赛总场次为120场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=120$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；单循环比赛问题
【点评】
本题结合体育热点素材出题，核心考查单循环问题的等量关系推导，解题的关键是注意避免重复计算比赛场次，不要漏乘$\frac{1}{2}$，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.8
这是单循环赛制的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确单循环赛的规则是每两支队伍之间仅比赛1场。第一步先推导单场计数逻辑：若有x支队伍，每支队伍要和除自身外的(x-1)支队伍各赛1场，若直接用x乘(x-1)计算总场次，会发现每场比赛被两支队伍各统计了1次，也就是总场次被重复计算了2倍，因此需要除以2消去重复计数，最后结合已知总场次120即可列出对应方程。
【解析】
解：设参赛的队伍有x支。
单循环赛制下，每支队伍需与其余$(x-1)$支队伍各比赛1场，由于每场比赛由2支队伍共同参与，直接计算$x(x-1)$会将每场比赛重复统计1次，因此实际总比赛场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知联赛总场次为120场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=120$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程实际应用；单循环比赛问题
【点评】
本题结合体育热点素材出题，核心考查单循环问题的等量关系推导，解题的关键是注意避免重复计算比赛场次，不要漏乘$\frac{1}{2}$，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.8
2.某篮球联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），总场数为380场，求有多少只队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，可列方程为
x(x-1)=380
。答案
2.$x(x-1)=380$
解析
【分析】
解题时首先要明确双循环赛制的计数规则：每两队之间都要进行2场比赛。我们可以先从计数逻辑入手，x支队伍中每支队伍要和除自己之外的(x-1)支队伍对阵，双循环下每两队对阵2场，计算时要注意避免重复计数，结合题目给出的总场数380，即可列出对应方程。
【解析】
解：设参赛队伍有x支。
1. 每支队伍需要和除自身外的$(x-1)$支队伍各进行2场比赛，若直接统计所有队伍的比赛场次总和为$2x(x-1)$，但每场比赛会被对阵的两支队伍各统计1次，存在重复计数，因此实际总场次为$\frac{2x(x-1)}{2}=x(x-1)$。
2. 已知比赛总场数为380场，因此可列方程：$x(x-1)=380$。
【答案】
$x(x-1)=380$
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 循环问题计数
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的经典题型，解题核心是区分单循环、双循环赛制的计数差异，避免出现重复计数或漏算的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确双循环赛制的计数规则：每两队之间都要进行2场比赛。我们可以先从计数逻辑入手，x支队伍中每支队伍要和除自己之外的(x-1)支队伍对阵，双循环下每两队对阵2场，计算时要注意避免重复计数，结合题目给出的总场数380，即可列出对应方程。
【解析】
解：设参赛队伍有x支。
1. 每支队伍需要和除自身外的$(x-1)$支队伍各进行2场比赛，若直接统计所有队伍的比赛场次总和为$2x(x-1)$，但每场比赛会被对阵的两支队伍各统计1次，存在重复计数，因此实际总场次为$\frac{2x(x-1)}{2}=x(x-1)$。
2. 已知比赛总场数为380场，因此可列方程：$x(x-1)=380$。
【答案】
$x(x-1)=380$
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 循环问题计数
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的经典题型，解题核心是区分单循环、双循环赛制的计数差异，避免出现重复计数或漏算的错误。
【难度系数】
0.7
3.某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有
10
个商家参加了交易会。答案
3.10
解析
【分析】
这是一道一元二次方程应用中的单循环类问题，解题思路如下：1. 明确问题类型：两个商家仅签订1份合同，属于不重复计数的单循环问题，和握手问题逻辑一致；2. 设商家数量为未知数，推导总合同数的表达式：若有x个商家，每个商家需和其余(x-1)个商家签合同，每两份合同会被重复计算1次，因此总合同数为$\frac{x(x-1)}{2}$；3. 结合已知总合同数列方程，求解后根据实际意义取舍根即可得到结果。
【解析】
解：设共有$x$个商家参加了交易会。
根据单循环的计数规律，总合同数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合题意列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=45$
去分母整理得：$x^2 -x -90=0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
商家数量不能为负数，因此舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题关键是准确区分单/双循环类型，避免出现漏乘或重复计数的错误，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
这是一道一元二次方程应用中的单循环类问题，解题思路如下：1. 明确问题类型：两个商家仅签订1份合同，属于不重复计数的单循环问题，和握手问题逻辑一致；2. 设商家数量为未知数，推导总合同数的表达式：若有x个商家，每个商家需和其余(x-1)个商家签合同，每两份合同会被重复计算1次，因此总合同数为$\frac{x(x-1)}{2}$；3. 结合已知总合同数列方程，求解后根据实际意义取舍根即可得到结果。
【解析】
解：设共有$x$个商家参加了交易会。
根据单循环的计数规律，总合同数为$\frac{x(x-1)}{2}$，结合题意列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=45$
去分母整理得：$x^2 -x -90=0$
因式分解得：$(x-10)(x+9)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=-9$
商家数量不能为负数，因此舍去$x_2=-9$，即$x=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；单循环问题；一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题关键是准确区分单/双循环类型，避免出现漏乘或重复计数的错误，同时要注意结合实际场景对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.8
4.(教材P23练习T2变式)(1)n边形($n＞3$)过其中一个顶点的对角线有
(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由。
(n−3)
条；(2)一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由。
答案
4.解:(1)$(n-3)$ (2)设它是$n$边形,则$\frac{n(n-3)}{2}=14$,解得 $n_1=7,n_2=-4$(舍去). $\therefore$它是七边形. (3)不存在,理由如下:如果存在,设它是$m$边形,则$\frac{m(m-3)}{2}=21$,即$m^2-3m-42=0$,解得 $m=\frac{3\pm\sqrt{177}}{2}$. $\because m$不为正整数,$\therefore$不存在.
解析
【分析】
(1) 思考n边形过单个顶点连对角线的限制：该顶点自身、与它相邻的2个顶点均无法和它连对角线，总共有n个顶点，减去3个不能连线的顶点，即可得到对应对角线条数。
(2) 凸多边形对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，已知对角线总条数为14，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解，即可得到多边形边数。
(3) 同样代入对角线总条数公式列方程，求解后判断解是否为正整数，由于多边形边数必须是正整数，若解不是正整数则不存在对应多边形。
【解析】
(1) n边形（$n＞3$）中，单个顶点可连对角线的顶点数为总顶点数减去自身和2个相邻顶点，即$n-3$，故过其中一个顶点的对角线有$(n-3)$条。
(2) 设这个凸多边形是$n$边形，根据对角线总条数公式列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=14$
整理得$n^2-3n-28=0$，解得$n_1=7$，$n_2=-4$。
∵多边形边数为大于3的正整数，
∴$n=-4$不符合题意舍去。
∴它是七边形。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在有21条对角线的凸多边形，设它是$m$边形，列方程得：
$\frac{m(m-3)}{2}=21$
整理得$m^2-3m-42=0$，解得$m=\frac{3\pm\sqrt{177}}{2}$。
∵$m$需为正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{177}}{2}$均不是正整数，不符合实际意义，
∴不存在这样的凸多边形。
【答案】
(1) $(n-3)$；(2) 七边形；(3) 不存在，理由见解析
【知识点】
多边形对角线公式，一元二次方程求解，实际问题解的检验
【点评】
本题核心考察多边形对角线公式的应用，求解方程后要注意结合多边形边数为正整数的实际要求对解进行取舍，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 思考n边形过单个顶点连对角线的限制：该顶点自身、与它相邻的2个顶点均无法和它连对角线，总共有n个顶点，减去3个不能连线的顶点，即可得到对应对角线条数。
(2) 凸多边形对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，已知对角线总条数为14，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的负解，即可得到多边形边数。
(3) 同样代入对角线总条数公式列方程，求解后判断解是否为正整数，由于多边形边数必须是正整数，若解不是正整数则不存在对应多边形。
【解析】
(1) n边形（$n＞3$）中，单个顶点可连对角线的顶点数为总顶点数减去自身和2个相邻顶点，即$n-3$，故过其中一个顶点的对角线有$(n-3)$条。
(2) 设这个凸多边形是$n$边形，根据对角线总条数公式列方程：
$\frac{n(n-3)}{2}=14$
整理得$n^2-3n-28=0$，解得$n_1=7$，$n_2=-4$。
∵多边形边数为大于3的正整数，
∴$n=-4$不符合题意舍去。
∴它是七边形。
(3) 不存在，理由如下：
假设存在有21条对角线的凸多边形，设它是$m$边形，列方程得：
$\frac{m(m-3)}{2}=21$
整理得$m^2-3m-42=0$，解得$m=\frac{3\pm\sqrt{177}}{2}$。
∵$m$需为正整数，而$\frac{3\pm\sqrt{177}}{2}$均不是正整数，不符合实际意义，
∴不存在这样的凸多边形。
【答案】
(1) $(n-3)$；(2) 七边形；(3) 不存在，理由见解析
【知识点】
多边形对角线公式，一元二次方程求解，实际问题解的检验
【点评】
本题核心考察多边形对角线公式的应用，求解方程后要注意结合多边形边数为正整数的实际要求对解进行取舍，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
5.一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1 458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程为（
A.$[(9-x)+x][10x+(9-x)]=1\ 458$
B.$[(9-x)+x][x+(9-x)]=1\ 458$
C.$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1\ 458$
D.$[10(9-x)+x][x+(9-x]=1\ 458$
C
）A.$[(9-x)+x][10x+(9-x)]=1\ 458$
B.$[(9-x)+x][x+(9-x)]=1\ 458$
C.$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1\ 458$
D.$[10(9-x)+x][x+(9-x]=1\ 458$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。第一步，根据两个数字之和为9，设个位数字为x，可推出十位数字为9-x；第二步，分别表示出原两位数和个位十位互换后的新两位数；第三步，根据两个数的乘积为1458的等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
设原两位数的个位数字为x，由两个数字的和为9可得，原两位数的十位数字为$9-x$。
根据两位数的表示规则，原两位数为：$10(9-x) + x$；
将个位与十位数字互换后，新两位数的十位数字为$x$，个位数字为$9-x$，因此新两位数为：$10x + (9-x)$；
已知两数的积为1458，因此可列方程：$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程；数字问题
【点评】
本题是典型的数字类列方程问题，解题的关键是掌握两位数的数位表示规则，理清数位互换前后两个数的组成，结合给出的等量关系即可顺利列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。第一步，根据两个数字之和为9，设个位数字为x，可推出十位数字为9-x；第二步，分别表示出原两位数和个位十位互换后的新两位数；第三步，根据两个数的乘积为1458的等量关系列出方程，再匹配选项即可。
【解析】
设原两位数的个位数字为x，由两个数字的和为9可得，原两位数的十位数字为$9-x$。
根据两位数的表示规则，原两位数为：$10(9-x) + x$；
将个位与十位数字互换后，新两位数的十位数字为$x$，个位数字为$9-x$，因此新两位数为：$10x + (9-x)$；
已知两数的积为1458，因此可列方程：$[10(9-x)+x][10x+(9-x)]=1458$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程；数字问题
【点评】
本题是典型的数字类列方程问题，解题的关键是掌握两位数的数位表示规则，理清数位互换前后两个数的组成，结合给出的等量关系即可顺利列出方程。
【难度系数】
0.8
6.(周口川汇区期末)图1为2025年1月份的日历表，如图2，某同学任意框出了其中的四个数字，如果框出的4个数中，最大数x与最小数的积为588，那么根据题意可列方程为（
A.$x(x-6)=588$
B.$x(x-7)=588$
C.$x(x-8)=588$
D.$x(x-5)=588$
B
）A.$x(x-6)=588$
B.$x(x-7)=588$
C.$x(x-8)=588$
D.$x(x-5)=588$
答案
6.B
解析
【分析】
首先回忆日历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，上下相邻的同一列数中，下方的数比上方的数大7。接下来观察图2的框形，明确4个数字的位置关系，设最大数为x，推导最小数与x的差，最后根据“最大数与最小数的积为588”的等量关系列出方程即可。
【解析】
1. 明确日历数字规律：同一行相邻数相差1，上下相邻的同列数相差7（下方数比上方数大7）。
2. 分析框中数字关系：观察框的形状，最大数x位于框的下排右侧，结合位置关系可判断最小数比最大数小7，即最小数可表示为$x-7$。
3. 根据等量关系列方程：已知最大数和最小数的乘积为588，因此可列方程为$x(x-7)=588$。
【答案】
B
【知识点】
日历数字规律，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合日历场景考查数字规律和方程列写，解题核心是找准框中最大数和最小数的差值，只要熟练掌握日历的数字排列特点，就能快速得到正确方程，是典型的数字应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先回忆日历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，上下相邻的同一列数中，下方的数比上方的数大7。接下来观察图2的框形，明确4个数字的位置关系，设最大数为x，推导最小数与x的差，最后根据“最大数与最小数的积为588”的等量关系列出方程即可。
【解析】
1. 明确日历数字规律：同一行相邻数相差1，上下相邻的同列数相差7（下方数比上方数大7）。
2. 分析框中数字关系：观察框的形状，最大数x位于框的下排右侧，结合位置关系可判断最小数比最大数小7，即最小数可表示为$x-7$。
3. 根据等量关系列方程：已知最大数和最小数的乘积为588，因此可列方程为$x(x-7)=588$。
【答案】
B
【知识点】
日历数字规律，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合日历场景考查数字规律和方程列写，解题核心是找准框中最大数和最小数的差值，只要熟练掌握日历的数字排列特点，就能快速得到正确方程，是典型的数字应用类题目。
【难度系数】
0.7
7.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,它们的和等于20,它们的积等于96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛义德得到的钱数为
12
.答案
7.12
解析
【分析】
本题是已知两个数的和与积，求较大数的实际应用问题。解题时先抓住两个等量关系：两数之和为20，两数之积为96。我们可以设较大的钱数为未知数，用含未知数的式子表示出较小的钱数，再根据积的等量关系列出一元二次方程，求解后结合“较大数”的条件筛选出符合要求的根即可。
【解析】
设赛义德得到的多的一笔钱数为$ x $，则少的一笔钱数为$ 20 - x $。
根据两笔钱的积等于96，列方程得：
$ x(20 - x) = 96 $
整理方程：
$ x^2 - 20x + 96 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 12)(x - 8) = 0 $
解得：$ x_1 = 12 $，$ x_2 = 8 $
因为$ x $是较多的一笔钱，所以$ x ＞ 20 - x $，即$ x ＞ 10 $，故舍去$ x = 8 $，取$ x = 12 $。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列方程解应用题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准等量关系正确设未知数列方程，求解方程后要注意结合题目的限制条件筛选符合实际意义的根。
【难度系数】
0.85
本题是已知两个数的和与积，求较大数的实际应用问题。解题时先抓住两个等量关系：两数之和为20，两数之积为96。我们可以设较大的钱数为未知数，用含未知数的式子表示出较小的钱数，再根据积的等量关系列出一元二次方程，求解后结合“较大数”的条件筛选出符合要求的根即可。
【解析】
设赛义德得到的多的一笔钱数为$ x $，则少的一笔钱数为$ 20 - x $。
根据两笔钱的积等于96，列方程得：
$ x(20 - x) = 96 $
整理方程：
$ x^2 - 20x + 96 = 0 $
因式分解得：
$ (x - 12)(x - 8) = 0 $
解得：$ x_1 = 12 $，$ x_2 = 8 $
因为$ x $是较多的一笔钱，所以$ x ＞ 20 - x $，即$ x ＞ 10 $，故舍去$ x = 8 $，取$ x = 12 $。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列方程解应用题
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是找准等量关系正确设未知数列方程，求解方程后要注意结合题目的限制条件筛选符合实际意义的根。
【难度系数】
0.85
8.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数.
答案
8.解:设这五个连续整数为 $n,n+1,n+2,n+3,n+4$. 根据题意,得 $n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2$,解得 $n_1=10,n_2=-2$. 当 $n=10$ 时,这五个整数为 $10,11,12,13,14$;当 $n=-2$ 时,这五个整数为 $-2,-1,0,1,2$. $\therefore$这五个整数为 $10,11,12,13,14$ 或 $-2,-1,0,1,2$.
解析
【分析】
解决本题首先要掌握连续整数的表示方法，我们可以设五个连续整数中最小的数为n，其余四个数可依次表示为n+1、n+2、n+3、n+4；再根据题干给出的“前三个数的平方和等于后两个数的平方和”这一等量关系，列出关于n的一元二次方程，解方程得到n的取值后，分别代入即可求出对应的五个整数，注意不要遗漏负整数解。
【解析】
解：设这五个连续整数为$n,n+1,n+2,n+3,n+4$。
根据题意列方程得：
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2$
分别展开等号左右两边的式子：
左边：$n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)=3n^2+6n+5$
右边：$(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)=2n^2+14n+25$
移项、合并同类项得：
$n^2-8n-20=0$
因式分解得：
$(n-10)(n+2)=0$
解得$n_1=10,n_2=-2$。
当$n=10$时，这五个整数为$10,11,12,13,14$；
当$n=-2$时，这五个整数为$-2,-1,0,1,2$。
【答案】
$10,11,12,13,14$或$-2,-1,0,1,2$
【知识点】
连续整数的表示、一元二次方程的应用、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于数字类方程应用题，解题的核心是正确用含同一个未知数的式子表示连续整数，准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意检验所有整数解是否都符合题意，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握连续整数的表示方法，我们可以设五个连续整数中最小的数为n，其余四个数可依次表示为n+1、n+2、n+3、n+4；再根据题干给出的“前三个数的平方和等于后两个数的平方和”这一等量关系，列出关于n的一元二次方程，解方程得到n的取值后，分别代入即可求出对应的五个整数，注意不要遗漏负整数解。
【解析】
解：设这五个连续整数为$n,n+1,n+2,n+3,n+4$。
根据题意列方程得：
$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=(n+3)^2+(n+4)^2$
分别展开等号左右两边的式子：
左边：$n^2+(n^2+2n+1)+(n^2+4n+4)=3n^2+6n+5$
右边：$(n^2+6n+9)+(n^2+8n+16)=2n^2+14n+25$
移项、合并同类项得：
$n^2-8n-20=0$
因式分解得：
$(n-10)(n+2)=0$
解得$n_1=10,n_2=-2$。
当$n=10$时，这五个整数为$10,11,12,13,14$；
当$n=-2$时，这五个整数为$-2,-1,0,1,2$。
【答案】
$10,11,12,13,14$或$-2,-1,0,1,2$
【知识点】
连续整数的表示、一元二次方程的应用、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于数字类方程应用题，解题的核心是正确用含同一个未知数的式子表示连续整数，准确提取题干中的等量关系列方程，求解后要注意检验所有整数解是否都符合题意，避免漏解。
【难度系数】
0.7
