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8 [2025自贡]PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，点C在$\odot O$上，不与点A，B重合.若$∠ P=80°$，则$∠ ACB$的度数为（
A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
D
）A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
答案
8. D
9 如图，AB是$\odot O$的直径，BC交$\odot O$于点D，$DE⊥ AC$于点E. 若要使DE是$\odot O$的切线，还需补充一个条件，则下列补充的条件不正确的是（
A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC// OD$
A
）A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC// OD$
答案
9. A
10 如图，AB，AC是$\odot O$的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D.若$∠ BAD=35°$，则$∠ C=$
35°
.答案
10. 35°
11 如图,在平面直角坐标系中,点 C 的坐标为(3,4),以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,点 A,B 在 x 轴上,且 OA=OB,P 为$\odot C$上的动点,$∠ APB=90°$,则 AB 长的最大值为
16
.答案
11. 16
12 [2025 山东]如图,在$△ OAB$中,点A在$\odot O$上,边OB交$\odot O$于点C,$AD ⊥ OB$于点D.
AC是$∠ BAD$的平分线.
(1) 求证:AB为$\odot O$的切线;
(2) 若$\odot O$的半径为$2,∠ AOB=45°$,求CB的长.
AC是$∠ BAD$的平分线.
(1) 求证:AB为$\odot O$的切线;
(2) 若$\odot O$的半径为$2,∠ AOB=45°$,求CB的长.
答案
12. (1)
∵ AD⊥OB,
∴ ∠ADB=90°.
∵ AC 是∠BAD 的平分线,
∴ ∠DAC=∠BAC.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ ∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA=∠B+∠BAC,
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC.
∴ ∠OAD=∠B.
∴ ∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,即 AB⊥OA.
∵ OA 是⊙O 的半径,且 AB⊥OA,
∴ AB 为⊙O 的切线
(2)
∵ ∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴ ∠B=∠AOB=45°.
∴ AB=OA.
∵ ⊙O 的半径为 2,
∴ AB=OA=OC=2.
∴ OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=2\sqrt{2}$.
∴ CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.
∴ CB 的长是$2\sqrt{2}-2$
∵ AD⊥OB,
∴ ∠ADB=90°.
∵ AC 是∠BAD 的平分线,
∴ ∠DAC=∠BAC.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ ∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA=∠B+∠BAC,
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC.
∴ ∠OAD=∠B.
∴ ∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,即 AB⊥OA.
∵ OA 是⊙O 的半径,且 AB⊥OA,
∴ AB 为⊙O 的切线
(2)
∵ ∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴ ∠B=∠AOB=45°.
∴ AB=OA.
∵ ⊙O 的半径为 2,
∴ AB=OA=OC=2.
∴ OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=2\sqrt{2}$.
∴ CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.
∴ CB 的长是$2\sqrt{2}-2$
13 [2025 德阳改编]如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$交于点$E$,$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,连接$AD$,过点$B$作$\odot O$的切线,与$AD$的延长线相交于点$F$,$CD$的延长线与$BF$的延长线相交于点$G$.
(1) 若$∠ AFB=70°$,求$∠ G$的度数;
(2) 连接$CO$,$AC$,再连接$DO$并延长,交$AC$于点$M$,求证:$DM⊥ AC$.
(1) 若$∠ AFB=70°$,求$∠ G$的度数;
(2) 连接$CO$,$AC$,再连接$DO$并延长,交$AC$于点$M$,求证:$DM⊥ AC$.
答案
13. (1)
∵ AB 是⊙O 的直径,BG 是⊙O 的切线,
∴ ∠ABF=90°.
∵ ∠AFB=70°,
∴ ∠BAF=20°.
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠ADC=2∠BAF=40°.
∴ ∠GDF=∠ADC=40°.
∴ ∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°
(2)
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠ADC=2∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ADO.
∴ ∠ADC=2∠ADO.
∴ ∠ODC=∠ODA.
∵ OC=OD,
∴ ∠OCD=∠ODC.
∴ ∠OCD=∠OAD. 又
∵ OC=OA,
∴ ∠OCA=∠OAC.
∴ ∠CAD=∠ACD.
∵ ∠CDM=∠ADM,∠DCM=∠DAM,MD=MD,
∴ △CMD≌△AMD.
∴ ∠CMD=∠AMD=$\frac{180°}{2}=90°$.
∴ DM⊥AC
∵ AB 是⊙O 的直径,BG 是⊙O 的切线,
∴ ∠ABF=90°.
∵ ∠AFB=70°,
∴ ∠BAF=20°.
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠ADC=2∠BAF=40°.
∴ ∠GDF=∠ADC=40°.
∴ ∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°
(2)
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠ADC=2∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ADO.
∴ ∠ADC=2∠ADO.
∴ ∠ODC=∠ODA.
∵ OC=OD,
∴ ∠OCD=∠ODC.
∴ ∠OCD=∠OAD. 又
∵ OC=OA,
∴ ∠OCA=∠OAC.
∴ ∠CAD=∠ACD.
∵ ∠CDM=∠ADM,∠DCM=∠DAM,MD=MD,
∴ △CMD≌△AMD.
∴ ∠CMD=∠AMD=$\frac{180°}{2}=90°$.
∴ DM⊥AC
