8 [2025自贡]PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，点C在$\odot O$上，不与点A，B重合.若$∠ P=80°$，则$∠ ACB$的度数为（）

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$

8. D

【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此优先连接OA、OB构造直角，得到∠OAP和∠OBP均为90°；再利用四边形内角和为360°，计算出圆心角∠AOB的度数；最后注意点C在圆上的位置不唯一，分点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况，结合圆周角定理分别计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴$OA⊥PA$，$OB⊥PB$，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
①若点C在优弧AB上，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②若点C在劣弧AB上，此时∠ACB所对的弧为优弧AB，优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，则$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种情况，导致漏解。解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，遇到未明确点的位置的圆相关问题时，要注意分类讨论所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

9 如图，AB是$\odot O$的直径，BC交$\odot O$于点D，$DE⊥ AC$于点E. 若要使DE是$\odot O$的切线，还需补充一个条件，则下列补充的条件不正确的是（）

A.$DE=DO$
B.$AB=AC$
C.$CD=DB$
D.$AC// OD$

9. A

【分析】
要判定DE是$\odot O$的切线，根据切线判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知点D在$\odot O$上，因此只需证明$DE⊥ OD$即可。题中已有$DE⊥ AC$，因此只需推导得出$OD// AC$，就可得到$DE⊥ OD$，进而证明DE是切线。我们逐一验证各选项的条件能否推出上述结论，即可选出不正确的选项。
【解析】
已知DE要成为$\odot O$的切线，D在$\odot O$上，故只需证$OD⊥ DE$，结合$DE⊥ AC$，即证$OD// AC$：
1. 对选项B：若$AB=AC$，则$∠ B=∠ C$，又$\because OD=OB$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$，$\therefore ∠ ODB=∠ C$，可得$OD// AC$，$\because DE⊥ AC$，$\therefore DE⊥ OD$，故DE是$\odot O$的切线，B不符合题意。
2. 对选项C：若$CD=DB$，O是AB的中点，$\therefore OD$是$△ ABC$的中位线，$\therefore OD// AC$，同理可得$DE⊥ OD$，故DE是$\odot O$的切线，C不符合题意。
3. 对选项D：若$AC// OD$，$\because DE⊥ AC$，$\therefore DE⊥ OD$，故DE是$\odot O$的切线，D不符合题意。
4. 对选项A：若$DE=DO$，仅能说明两条线段长度相等，无法推出$∠ ODE=90°$，故不能证明DE是$\odot O$的切线，A符合题意。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题围绕切线判定展开，结合了平行线性质、等腰三角形性质、中位线定理等多个基础知识点，解题的核心是将切线判定的要求转化为证明$OD// AC$，再逐一验证选项，解题时需注意题目要求选出不正确的条件，避免审题失误。
【难度系数】
0.7

10 如图，AB，AC是$\odot O$的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D.若$∠ BAD=35°$，则$∠ C=$.

10. 35°

【分析】
解题时先从已知的切线条件入手，回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可连接OA构造直角，先求出∠OAB的度数；再结合半径相等得到△OAB为等腰三角形，求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠C的度数。也可直接利用弦切角定理，弦切角等于其所夹弧对应的圆周角，快速得到∠C与∠BAD的等量关系。
【解析】
解：连接OA、OB
∵ DA是⊙O的切线，A为切点
∴ OA⊥AD，即$∠ OAD=90°$
∵ $∠ BAD=35°$
∴ $∠ OAB=∠ OAD-∠ BAD=90°-35°=55°$
∵ OA、OB都是⊙O的半径
∴ $OA=OB$，△OAB为等腰三角形
∴ $∠ OBA=∠ OAB=55°$
∴ 在△OAB中，$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-55°-55°=70°$
∵ $∠ C$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角
∴ $∠ C=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×70°=35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，也可通过弦切角定理简化计算，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8

11 如图,在平面直角坐标系中,点 C 的坐标为(3,4),以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切,点 A,B 在 x 轴上,且 OA=OB,P 为$\odot C$上的动点,$∠ APB=90°$,则 AB 长的最大值为.

11. 16

【分析】
遇到∠APB=90°且OA=OB的条件时，可利用直角三角形斜边中线的性质，得到AB与OP的数量关系：AB=2OP，因此求AB的最大值可转化为求OP的最大值。已知⊙C与y轴相切，结合C点坐标可先求出⊙C的半径；再根据圆外一点到圆上动点的最大距离等于该点到圆心的距离加半径，即可求出OP的最大值，进而得到AB的最大值。
【解析】
1. 连接OP，在Rt△APB中，O为AB中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OP=\frac{1}{2}AB$，即$AB=2OP$，因此AB的最大值由OP的最大值决定。
2. 因为⊙C与y轴相切，圆心C的坐标为(3,4)，所以⊙C的半径$r$等于圆心C到y轴的距离，即$r=3$。
3. 由勾股定理计算点O到圆心C的距离：$OC=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
4. 点O在⊙C外，⊙C上的动点P到O的最大距离为$OC+r=5+3=8$，即OP的最大值为8。
5. 代入$AB=2OP$，得AB的最大值为$2×8=16$。
【答案】
16
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，切线的性质，点与圆的位置关系
【点评】
本题综合考查了直角三角形和圆的相关性质，解题的核心是将求AB的最大值转化为求OP的最大值，很好地体现了转化思想在几何最值问题中的应用。
【难度系数】
0.65

12 [2025 山东]如图,在$△ OAB$中,点A在$\odot O$上,边OB交$\odot O$于点C,$AD ⊥ OB$于点D.
AC是$∠ BAD$的平分线.
(1) 求证:AB为$\odot O$的切线;
(2) 若$\odot O$的半径为$2,∠ AOB=45°$,求CB的长.

12. (1)
∵ AD⊥OB,
∴ ∠ADB=90°.
∵ AC 是∠BAD 的平分线,
∴ ∠DAC=∠BAC.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ ∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC,∠OCA=∠B+∠BAC,
∴ ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC.
∴ ∠OAD=∠B.
∴ ∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=90°,即 AB⊥OA.
∵ OA 是⊙O 的半径,且 AB⊥OA,
∴ AB 为⊙O 的切线
(2)
∵ ∠OAB=90°,∠AOB=45°,
∴ ∠B=∠AOB=45°.
∴ AB=OA.
∵ ⊙O 的半径为 2,
∴ AB=OA=OC=2.
∴ OB=$\sqrt{AB^2+OA^2}=2\sqrt{2}$.
∴ CB=OB-OC=$2\sqrt{2}-2$.
∴ CB 的长是$2\sqrt{2}-2$

【分析】
(1) 要证明AB为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，只需证明AB垂直于$\odot O$的半径OA即可。首先由$AD⊥OB$得到直角，结合角平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质，以及三角形外角的性质推导角的等量关系，最终得出$∠OAB=90°$即可完成证明。
(2) 求CB的长，观察图形可得$CB=OB-OC$，已知OC为半径长度为2，因此只需先求OB的长度。结合(1)的结论$∠OAB=90°$和已知$∠AOB=45°$，可判断$△ OAB$为等腰直角三角形，利用勾股定理求出OB的长度，减去OC的长度即可得到CB的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because AD⊥OB$，
$\therefore ∠ADB=90°$，
$\because AC$是$∠BAD$的平分线，
$\therefore ∠DAC=∠BAC$，
$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠OAC=∠OCA$，
$\because ∠OAC=∠OAD+∠DAC=∠OAD+∠BAC$，$∠OCA$是$△ ABC$的外角，$\therefore ∠OCA=∠B+∠BAC$，
$\therefore ∠OAD + ∠BAC = ∠B + ∠BAC$，
化简得$∠OAD=∠B$，
$\therefore ∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠B+∠BAD=180°-∠ADB=90°$，即$AB⊥OA$，
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AB$为$\odot O$的切线。
(2) 解：
由(1)知$∠OAB=90°$，
$\because ∠AOB=45°$，
$\therefore ∠B=90°-∠AOB=45°$，
$\therefore ∠AOB=∠B$，
$\therefore AB=OA$，
$\because \odot O$的半径为2，
$\therefore AB=OA=OC=2$，
在$Rt△ OAB$中，由勾股定理得：$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$\therefore CB=OB-OC=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2\sqrt{2}-2$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础常考题，重点考查切线的判定方法和线段长度的计算，解题时需要灵活结合角平分线、等腰三角形、勾股定理的相关性质，熟练掌握切线的判定思路是解题的核心。
【难度系数】
0.7

13 [2025 德阳改编]如图,在$\odot O$中,直径$AB$与弦$CD$交于点$E$,$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,连接$AD$,过点$B$作$\odot O$的切线,与$AD$的延长线相交于点$F$,$CD$的延长线与$BF$的延长线相交于点$G$.
(1) 若$∠ AFB=70°$,求$∠ G$的度数;
(2) 连接$CO$,$AC$,再连接$DO$并延长,交$AC$于点$M$,求证:$DM⊥ AC$.

13. (1)
∵ AB 是⊙O 的直径,BG 是⊙O 的切线,
∴ ∠ABF=90°.
∵ ∠AFB=70°,
∴ ∠BAF=20°.
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠ADC=2∠BAF=40°.
∴ ∠GDF=∠ADC=40°.
∴ ∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°
(2)
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$,
∴ ∠ADC=2∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠OAD=∠ADO.
∴ ∠ADC=2∠ADO.
∴ ∠ODC=∠ODA.
∵ OC=OD,
∴ ∠OCD=∠ODC.
∴ ∠OCD=∠OAD. 又
∵ OC=OA,
∴ ∠OCA=∠OAC.
∴ ∠CAD=∠ACD.
∵ ∠CDM=∠ADM,∠DCM=∠DAM,MD=MD,
∴ △CMD≌△AMD.
∴ ∠CMD=∠AMD=$\frac{180°}{2}=90°$.
∴ DM⊥AC

【分析】
(1) 解题思路：首先利用切线的性质得到∠ABF为直角，结合已知∠AFB的度数求出∠BAF的度数；再根据同圆中弧的度数和对应圆周角的关系，由$\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$推导出∠ADC和∠BAF的倍数关系，得到∠ADC的度数，即其对顶角∠GDF的度数；最后利用三角形外角的性质即可求出∠G的度数。
(2) 解题思路：要证DM⊥AC，可证明∠AMD=90°。首先由弧的关系得到∠ADC=2∠BAD，结合OA=OD的等腰三角形性质推出∠ADO=∠ODC；再通过OC=OD、OC=OA的等腰三角形性质推导得到∠ACD=∠CAD，结合公共边MD证明△CMD≌△AMD，即可得到∠CMD=∠AMD=90°，证得垂直。
【解析】
(1)
∵ AB 是⊙O 的直径，BG 是⊙O 的切线，
∴ ∠ABF=90°。
∵ ∠AFB=70°，
∴ ∠BAF=90°-70°=20°。
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$，
∴ ∠ADC=2∠BAF=40°。
∴ ∠GDF=∠ADC=40°。
∵ ∠AFB是△DFG的外角，
∴ ∠AFB=∠G+∠GDF，
∴ ∠G=∠AFB-∠GDF=70°-40°=30°。
(2) 证明：
∵ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{BD}$，
∴ ∠ADC=2∠BAD。
∵ OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ADO，
∴ ∠ADC=2∠ADO，即∠ADO=∠ODC。
∵ OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
∴ ∠OCD=∠OAD。
又
∵ OC=OA，
∴ ∠OCA=∠OAC，
∴ ∠OCA+∠OCD=∠OAC+∠OAD，即∠ACD=∠CAD。
在△CMD和△AMD中：
$\{\begin{array}{l}∠DCM=∠DAM \\∠CDM=∠ADM \\MD=MD\end{array} $
∴ △CMD≌△AMD（AAS），
∴ ∠CMD=∠AMD=$\frac{1}{2}×180°=90°$，
∴ DM⊥AC。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠G=30°}$；
(2) 证明成立，$DM⊥AC$。
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，结合了圆的性质与三角形相关知识考查，解题核心是灵活运用弧和圆周角的对应关系、切线性质及全等三角形的判定方法，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65