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1 [2025 福建]如图，PA与$\odot O$相切于点A，PO的延长线交$\odot O$于点C，$AB// PC$，且交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$，则$∠ BCP$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
1. C
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，优先连接过切点的半径，本题先连接OA，根据切线的性质可得OA⊥PA。先在Rt△PAO中利用直角三角形两锐角互余求出∠AOP的度数；再结合AB//PC得到内错角相等，推出∠OAB的度数，结合OA=OB可判定△OAB是等边三角形，得到∠AOB的度数，进而求出∠BOC的度数；最后根据OB=OC即可求出∠BCP的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$，
在$Rt△ OAP$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90°-∠ P=60°$，
∵$AB// PC$，
∴$∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵$OA=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$，
∵P、O、C三点共线，
∴$∠ BOC=180°-∠ AOP-∠ AOB=180°-60°-60°=60°$，
又
∵$OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线，结合平行线、等边三角形的性质逐步推导角度即可求解。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，优先连接过切点的半径，本题先连接OA，根据切线的性质可得OA⊥PA。先在Rt△PAO中利用直角三角形两锐角互余求出∠AOP的度数；再结合AB//PC得到内错角相等，推出∠OAB的度数，结合OA=OB可判定△OAB是等边三角形，得到∠AOB的度数，进而求出∠BOC的度数；最后根据OB=OC即可求出∠BCP的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵PA与$\odot O$相切于点A，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$，
在$Rt△ OAP$中，$∠ P=30°$，
∴$∠ AOP=90°-∠ P=60°$，
∵$AB// PC$，
∴$∠ OAB=∠ AOP=60°$，
又
∵$OA=OB$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OAB$是等边三角形，
∴$∠ AOB=60°$，
∵P、O、C三点共线，
∴$∠ BOC=180°-∠ AOP-∠ AOB=180°-60°-60°=60°$，
又
∵$OB=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OBC$是等边三角形，
∴$∠ BCP=60°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线，结合平行线、等边三角形的性质逐步推导角度即可求解。
【难度系数】
0.7
2 教材变式题 如图，AB是$\odot O$的直径，弦AD平分$∠ BAC$，过点D的切线交AC于点E，$∠ EAD=25°$，则下列结论错误的是（
A.$AE⊥ DE$
B.$AE// OD$
C.$DE=OD$
D.$∠ BOD=50°$
C
）A.$AE⊥ DE$
B.$AE// OD$
C.$DE=OD$
D.$∠ BOD=50°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先利用角平分线的定义得到∠BAD的度数，再结合圆周角定理判断选项D；接着利用半径相等得到等腰三角形，推导角相等进而判断OD与AE的位置关系，验证选项B；再结合切线的性质得到OD⊥DE，由平行线的性质推导AE与DE的位置关系，验证选项A；最后结合角平分线的性质和直角三角形的三边关系判断选项C即可。
【解析】
解：
1. 验证选项D：
∵AD平分∠BAC，∠EAD=25°，
∴∠BAD=∠EAD=25°，
∵∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠BAD是弧BD对应的圆周角，
∴∠BOD=2∠BAD=50°，故D选项结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵OA=OD（都是⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA=25°，
∴∠ODA=∠EAD=25°，
∴$OD// AE$（内错角相等，两直线平行），故B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证选项A：
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴$OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$，
∵$OD// AE$，
∴$∠ AED+∠ ODE=180°$，
∴$∠ AED=90°$，即$AE⊥ DE$，故A选项结论正确，不符合题意。
4. 验证选项C：
过点D作$DF⊥ AB$于点F，
∵AD平分∠BAC，$DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在$Rt△ ODF$中，DF是直角边，OD是斜边，故$DF＜OD$，
∴$DE=DF＜OD$，即$DE=OD$不成立，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；角平分线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，需要结合角平分线、平行线、直角三角形的相关性质逐个推导选项，解题时优先验证容易判断的选项，用排除法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先利用角平分线的定义得到∠BAD的度数，再结合圆周角定理判断选项D；接着利用半径相等得到等腰三角形，推导角相等进而判断OD与AE的位置关系，验证选项B；再结合切线的性质得到OD⊥DE，由平行线的性质推导AE与DE的位置关系，验证选项A；最后结合角平分线的性质和直角三角形的三边关系判断选项C即可。
【解析】
解：
1. 验证选项D：
∵AD平分∠BAC，∠EAD=25°，
∴∠BAD=∠EAD=25°，
∵∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠BAD是弧BD对应的圆周角，
∴∠BOD=2∠BAD=50°，故D选项结论正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
∵OA=OD（都是⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA=25°，
∴∠ODA=∠EAD=25°，
∴$OD// AE$（内错角相等，两直线平行），故B选项结论正确，不符合题意。
3. 验证选项A：
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴$OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$，
∵$OD// AE$，
∴$∠ AED+∠ ODE=180°$，
∴$∠ AED=90°$，即$AE⊥ DE$，故A选项结论正确，不符合题意。
4. 验证选项C：
过点D作$DF⊥ AB$于点F，
∵AD平分∠BAC，$DE⊥ AC$，$DF⊥ AB$，
∴$DE=DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在$Rt△ ODF$中，DF是直角边，OD是斜边，故$DF＜OD$，
∴$DE=DF＜OD$，即$DE=OD$不成立，故C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；角平分线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，需要结合角平分线、平行线、直角三角形的相关性质逐个推导选项，解题时优先验证容易判断的选项，用排除法可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
3 [2025 安徽]如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上。若$∠ P=50°$，则$∠ PAB$的度数为
20
°。答案
3. 20
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，优先连接圆心与切点，利用切线性质构造直角三角形。本题先连接OB，由切线垂直于过切点的半径得到直角，结合已知∠P的度数算出∠POB的度数，再根据同圆半径相等得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质可得OB⊥PB，
∴∠PBO=90°。
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵OB=OA（同圆的半径相等），
∴∠OAB=∠OBA。
又
∵∠POB是△OAB的外角，
∴∠POB=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，
∴∠OAB=∠POB÷2=40°÷2=20°，即∠PAB=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，解题的关键是掌握切线的性质，正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合三角形的相关性质求解即可。
【难度系数】
0.8
遇到圆的切线问题，优先连接圆心与切点，利用切线性质构造直角三角形。本题先连接OB，由切线垂直于过切点的半径得到直角，结合已知∠P的度数算出∠POB的度数，再根据同圆半径相等得到等腰△OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
【解析】
解：连接OB。
∵PB与⊙O相切于点B，根据切线的性质可得OB⊥PB，
∴∠PBO=90°。
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°。
∵OB=OA（同圆的半径相等），
∴∠OAB=∠OBA。
又
∵∠POB是△OAB的外角，
∴∠POB=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，
∴∠OAB=∠POB÷2=40°÷2=20°，即∠PAB=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，解题的关键是掌握切线的性质，正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合三角形的相关性质求解即可。
【难度系数】
0.8
4 如图，AB是$\odot O$的直径，BC与$\odot O$相切于点B，CO交$\odot O$于点D，且$BC=8$，$CD=4$，则$\odot O$的半径是
6
。答案
4. 6
解析
【分析】
首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得到△OBC是直角三角形。设圆的半径为r，分别用含r的式子表示出Rt△OBC的三条边长，再利用勾股定理列方程求解，即可得到半径的长度。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$，因此$OC=OD+CD=r+4$。
∵$BC$与$\odot O$相切于点$B$，根据切线的性质可知$OB⊥ BC$，即$∠ OBC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$OB^2 + BC^2 = OC^2$
代入数值可得：
$r^2 + 8^2 = (r+4)^2$
展开并整理方程：
$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
消去$r^2$后得：
$8r = 48$
解得$r=6$。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的计算类基础题，解题核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，是圆与直角三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.8
首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，可得到△OBC是直角三角形。设圆的半径为r，分别用含r的式子表示出Rt△OBC的三条边长，再利用勾股定理列方程求解，即可得到半径的长度。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OD=r$，因此$OC=OD+CD=r+4$。
∵$BC$与$\odot O$相切于点$B$，根据切线的性质可知$OB⊥ BC$，即$∠ OBC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，由勾股定理得：
$OB^2 + BC^2 = OC^2$
代入数值可得：
$r^2 + 8^2 = (r+4)^2$
展开并整理方程：
$r^2 + 64 = r^2 + 8r + 16$
消去$r^2$后得：
$8r = 48$
解得$r=6$。
【答案】
6
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的计算类基础题，解题核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，是圆与直角三角形结合的典型考法。
【难度系数】
0.8
5 [2025广东]如图，O是Rt△ABC斜边AC上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证:AD平分∠BAC. 
(第5题)
(第5题)答案
5. 如图,连接OD.
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D,
∴ OD⊥BC.
∵ ∠ABC=90°,
∴ OD//AB.
∴ ∠ODA=∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD.
∴ ∠BAD=∠OAD.
∴ AD平分∠BAC
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，本质是要证∠BAD=∠OAD。首先结合已知条件：BC是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此优先连接OD得到OD⊥BC；再结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD和AB都垂直于BC，进而得到OD//AB，由平行线的内错角相等可得∠ODA=∠BAD；最后根据同圆半径相等，OA=OD，由等边对等角得∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到∠BAD=∠OAD，从而证得结论。
【解析】
证明：如图，连接OD。
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ ∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA=∠BAD。
∵ OA和OD都是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠BAD=∠OAD，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
如图,连接OD.
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D,
∴ OD⊥BC.
∵ ∠ABC=90°,
∴ OD//AB.
∴ ∠ODA=∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD.
∴ ∠BAD=∠OAD.
∴ AD平分∠BAC
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心，再结合相关几何性质推导角的等量关系，是圆类几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明AD平分∠BAC，本质是要证∠BAD=∠OAD。首先结合已知条件：BC是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此优先连接OD得到OD⊥BC；再结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD和AB都垂直于BC，进而得到OD//AB，由平行线的内错角相等可得∠ODA=∠BAD；最后根据同圆半径相等，OA=OD，由等边对等角得∠ODA=∠OAD，通过等量代换即可得到∠BAD=∠OAD，从而证得结论。
【解析】
证明：如图，连接OD。
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴ OD⊥BC。
∵ ∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴ OD//AB，
∴ ∠ODA=∠BAD。
∵ OA和OD都是⊙O的半径，
∴ OA=OD，
∴ ∠ODA=∠OAD，
∴ ∠BAD=∠OAD，
∴ AD平分∠BAC。
【答案】
如图,连接OD.
∵ 以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D,
∴ OD⊥BC.
∵ ∠ABC=90°,
∴ OD//AB.
∴ ∠ODA=∠BAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD.
∴ ∠BAD=∠OAD.
∴ AD平分∠BAC
【知识点】
切线的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题关键是掌握切线类问题的常用辅助线作法：连接切点与圆心，再结合相关几何性质推导角的等量关系，是圆类几何证明的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
6（易错题）下列说法中，错误的是（
A.过半径一端的直线是圆的切线
B.圆的切线垂直于过切点的半径
C.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
A
）A.过半径一端的直线是圆的切线
B.圆的切线垂直于过切点的半径
C.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
答案
6. A
易错分析
6. 本题易误以为 A 正确而错选 D.
易错分析
6. 本题易误以为 A 正确而错选 D.
解析
【分析】
本题考查圆的切线的性质与判定相关知识，解题时先回忆切线的判定方法和性质定理，再对四个选项逐一辨析：首先明确切线判定的核心要求，用判定定理判断时需要同时满足“过半径外端”“垂直于这条半径”两个条件，缺一不可；用距离法判断时看圆心到直线的距离是否等于半径；切线性质可直接判断对应选项是否正确，最终找出错误的说法即可。本题易错点是容易漏记判定定理的两个条件，误认A选项正确，或对距离法判定切线不熟悉错选D。
【解析】
我们结合切线的性质与判定逐一分析选项：
1. 选项B：根据切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径，因此B说法正确。
2. 选项C：根据切线的判定定理，过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件同时满足，因此C说法正确。
3. 选项A：仅说明直线过半径的一端，既没有明确是半径的外端（而非圆心端），也没有说明直线垂直于这条半径，不满足切线的判定条件，因此A说法错误。
4. 选项D：根据切线的判定方法，若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线，因此D说法正确。
综上，错误的说法是A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；切线的判定
【点评】
本题侧重对基础概念的理解考查，需要准确掌握切线判定的几个要求，避免遗漏判定条件导致判断失误。
【难度系数】
0.65
本题考查圆的切线的性质与判定相关知识，解题时先回忆切线的判定方法和性质定理，再对四个选项逐一辨析：首先明确切线判定的核心要求，用判定定理判断时需要同时满足“过半径外端”“垂直于这条半径”两个条件，缺一不可；用距离法判断时看圆心到直线的距离是否等于半径；切线性质可直接判断对应选项是否正确，最终找出错误的说法即可。本题易错点是容易漏记判定定理的两个条件，误认A选项正确，或对距离法判定切线不熟悉错选D。
【解析】
我们结合切线的性质与判定逐一分析选项：
1. 选项B：根据切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径，因此B说法正确。
2. 选项C：根据切线的判定定理，过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，两个条件同时满足，因此C说法正确。
3. 选项A：仅说明直线过半径的一端，既没有明确是半径的外端（而非圆心端），也没有说明直线垂直于这条半径，不满足切线的判定条件，因此A说法错误。
4. 选项D：根据切线的判定方法，若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线，因此D说法正确。
综上，错误的说法是A。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；切线的判定
【点评】
本题侧重对基础概念的理解考查，需要准确掌握切线判定的几个要求，避免遗漏判定条件导致判断失误。
【难度系数】
0.65
7 如图，D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D作DE⊥OB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D。求证：OA是⊙D的切线。
答案
7. 过点D作DF⊥OA于点F.
∵ D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB,
∴ DF=DE,即 DF 为⊙D 的半径.
∴ OA是⊙D 的切线
∵ D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB,
∴ DF=DE,即 DF 为⊙D 的半径.
∴ OA是⊙D 的切线
解析
【分析】
要证明OA是⊙D的切线，需结合切线的判定方法分析：当未明确直线与圆的公共点时，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。本题已知D在∠AOB的角平分线OC上，DE⊥OB且DE是⊙D的半径，因此可过D作OA的垂线段，利用角平分线的性质证明该垂线段长度等于半径DE，即可完成证明。
【解析】
证明：过点D作DF⊥OA于点F.
∵ D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴ 由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DE，即DF为⊙D的半径.
又
∵ DF⊥OA，
∴ OA是⊙D的切线.
【答案】
过点D作DF⊥OA于点F.
∵ D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB,
∴ DF=DE,即 DF 为⊙D 的半径.
∴ OA是⊙D 的切线
【知识点】
角平分线的性质；切线的判定
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，解题核心是根据已知条件选择匹配的切线判定思路，结合角平分线的性质推导圆心到待证直线的距离等于半径，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明OA是⊙D的切线，需结合切线的判定方法分析：当未明确直线与圆的公共点时，可过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于圆的半径。本题已知D在∠AOB的角平分线OC上，DE⊥OB且DE是⊙D的半径，因此可过D作OA的垂线段，利用角平分线的性质证明该垂线段长度等于半径DE，即可完成证明。
【解析】
证明：过点D作DF⊥OA于点F.
∵ D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，
∴ 由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DF=DE，即DF为⊙D的半径.
又
∵ DF⊥OA，
∴ OA是⊙D的切线.
【答案】
过点D作DF⊥OA于点F.
∵ D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB,
∴ DF=DE,即 DF 为⊙D 的半径.
∴ OA是⊙D 的切线
【知识点】
角平分线的性质；切线的判定
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，解题核心是根据已知条件选择匹配的切线判定思路，结合角平分线的性质推导圆心到待证直线的距离等于半径，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
