9 数形结合思想 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆.若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交,则b的取值范围是（）

A.$0≤ b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}≤ b≤ 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$

D

【分析】
解题时首先明确直线与圆相交的判定条件：圆心到直线的距离小于圆的半径。我们可以先找直线与圆相切的临界情况，计算出此时b的取值，再结合相交的条件推导b的范围即可。具体步骤为：第一步确定圆心坐标和圆的半径；第二步利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离；第三步结合相切时距离等于半径求出临界b值；第四步根据相交时距离小于半径，得到b的最终取值范围。
【解析】
已知圆O的圆心为坐标原点(0,0)，半径r=2。
将直线$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
根据点到直线的距离公式，圆心O到直线的距离$d=\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$。
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$d=r$：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=2$，解得$|b|=2\sqrt{2}$，即$b=2\sqrt{2}$或$b=-2\sqrt{2}$。
若直线与圆相交，则需满足$d＜r$，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}＜2$，化简得$|b|＜2\sqrt{2}$，因此b的取值范围是$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆位置关系、点到直线的距离计算、绝对值不等式求解
【点评】
本题考查数形结合思想在直线与圆位置关系问题中的应用，解题关键是抓住相切的临界状态求出边界值，注意相交时圆心到直线的距离严格小于半径，因此边界值取不到，避免错选带等号的选项。
【难度系数】
0.7

10 分类讨论思想 如图，$∠ ABC=80°$，$O$为射线$BC$上一点，以点$O$为圆心、$\frac{1}{2}OB$长为半径作$\odot O$.若要使射线$BA$与$\odot O$相切，则应将射线$BA$绕点$B$按顺时针方向旋转（）

A.$40°$或$80°$
B.$50°$或$100°$
C.$50°$或$110°$
D.$60°$或$120°$

C

【分析】
解题时先明确直线与圆相切的核心性质：圆心到直线的距离等于半径。本题中$\odot O$半径为$\frac{1}{2}OB$，当旋转后的射线BA与$\odot O$相切时，过点O作射线的垂线，垂线段长度等于半径，即等于OB的一半，据此可在直角三角形中求出旋转后射线与BC的夹角，再分旋转后射线在BC上方、下方两种情况计算旋转角度即可。
【解析】
设射线BA绕点B顺时针旋转后得到射线$BA'$，当$BA'$与$\odot O$相切时，设切点为D，连接OD，由切线的性质可得$OD⊥ BA'$，且$OD=\frac{1}{2}OB$。
在$Rt△ OBD$中，$OD=\frac{1}{2}OB$，因此$∠ OBA'=30°$，分两种情况讨论：
1. 当$BA'$在BC上方时，已知$∠ ABC=80°$，则旋转角度$∠ ABA'=∠ ABC-∠ OBA'=80°-30°=50°$；
2. 当$BA'$在BC下方时，旋转角度$∠ ABA'=∠ ABC+∠ OBA'=80°+30°=110°$。
综上，旋转角度为$50°$或$110°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，直角三角形性质，分类讨论
【点评】
本题容易漏解，解题时要考虑到切线存在BC上下方两种位置，关键是利用切线性质构造直角三角形，结合直角三角形边的对应关系求出角的度数。
【难度系数】
0.6

11（易错题）如图，直线$a ⊥ b$，垂足为$H$，点$P$在直线$b$上，$PH=4$，$O$为直线$b$上一动点。若以1为半径的$\odot O$与直线$a$相切，则$OP$的长为。

3或5

【分析】
解题时先依据直线与圆相切的性质：圆心到切线的距离等于半径，得出圆心O到直线a的距离为1，结合a⊥b的条件，可知O到垂足H的距离OH=1。接下来需要考虑点O的位置：O既可以在H的左侧，也可以在H的右侧，分两种情况结合PH=4的条件计算OP的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵⊙O与直线a相切，⊙O的半径为1，
∴圆心O到直线a的距离等于半径长1，
又
∵直线a⊥b，垂足为H，点O在直线b上，
∴O到直线a的距离即为OH的长，故OH=1，
分两种情况讨论：
①当点O在点H的左侧时：
OP = PH - OH = 4 - 1 = 3；
②当点O在点H的右侧时：
OP = PH + OH = 4 + 1 = 5；
综上，OP的长为3或5。
【答案】
3或5
【知识点】
切线的性质；分类讨论思想；线段和差计算
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是不要忽略圆心O的位置有两种情况，需结合图形分情况计算，避免因漏解导致答案不全。
【难度系数】
0.7

12 如图，$∠ AOB=30°$，P是OA上的一点，$OP=24\ \mathrm{cm}$，以点P为圆心、$r\ \mathrm{cm}$为半径作$\odot P$.
(1) 若$r=12$，试判断$\odot P$与OB的位置关系；
(2) 若$\odot P$与OB相离，试直接写出r需满足的条件.

过点 $P$ 作 $PC ⊥ OB$,垂足为 $C$,则$∠ OCP=90°.$ $\because ∠ AOB=30°$,$\therefore PC=\frac{1}{2}OP=12\ \mathrm{cm}.$ (1) 当 $r=12$ 时,$\odot P$ 与 $OB$ 相切 (2) $0＜r＜12$

【分析】
判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$与半径$r$的大小：$d=r$时相切，$d＞r$时相离，$d＜r$时相交。因此首先要过点$P$作$OB$的垂线段，利用含30°角的直角三角形的性质求出垂线段长度（即圆心$P$到$OB$的距离$d$），再分别结合两问的条件比较$d$和$r$的大小，即可得出结论。
【解析】
过点$P$作$PC ⊥ OB$，垂足为$C$，则$∠ OCP=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ OCP$中，$∠ AOB=30°$，$OP=24\ \mathrm{cm}$，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$PC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，即圆心$P$到$OB$的距离为$12\ \mathrm{cm}$。
(1) 当$r=12$时，$PC=r$，因此$\odot P$与$OB$相切。
(2) 若$\odot P$与$OB$相离，则圆心到直线的距离大于半径，即$r＜PC$，同时圆的半径必须大于0，因此$r$需满足$0＜r＜12$。
【答案】
(1) $\odot P$与$OB$相切；(2) $0＜r＜12$
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定；2. 含30°角的直角三角形性质；3. 点到直线的距离
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题的关键是先求出圆心到直线的距离，再结合位置关系对应的数量关系求解，熟练掌握特殊直角三角形的性质可快速简化计算。
【难度系数】
0.75

13 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,O为AB上一点(不与点A,B重合),AB=4,$BO=m$,$\odot O$的半径为$\frac{1}{2}$.
(1) 当直线BC与$\odot O$相切时,求m的值;
(2) 当直线BC与$\odot O$相离、相交时,分别直接写出m的取值范围.

(1) 过点 $O$ 作 $OP ⊥ BC$ 于点 $P.$ $\therefore ∠ OPB=90°=∠ ACB.$ $\therefore OP// AC.$ $\therefore ∠ BOP=∠ A=30°.$ $\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△OBP$ 中,$BP=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}m$,则 $OP=\sqrt{BO^2-BP^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}m.$ 当直线 $BC$ 与$\odot O$ 相切时,$\frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{1}{2}$,解得 $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (2) 当直线 $BC$ 与$\odot O$ 相离时,$m$ 的取值范围是$\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜4$;当直线 $BC$ 与$\odot O$ 相交时,$m$ 的取值范围是 $0＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}$

【分析】
解决本题的核心是明确直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d、圆半径r的大小对应关系：相切时d=r，相离时d＞r，相交时d＜r。首先构造圆心O到直线BC的垂线段OP，OP的长度就是圆心到直线的距离d；结合已知∠C=90°可推出OP与AC平行，得到∠BOP=∠A=30°，利用直角三角形的性质用m表示出OP的长度。第一问根据相切时d=r列方程求解m；第二问分别根据相离、相交时d和r的大小关系列不等式，再结合O在AB上不与A、B重合的限制条件确定m的取值范围。
【解析】
(1) 过点 $O$ 作 $OP ⊥ BC$ 于点 $P.$
$\therefore ∠ OPB=90°=∠ ACB$，
$\therefore OP// AC$，
$\therefore ∠ BOP=∠ A=30°.$
在 $\mathrm{Rt}△OBP$ 中，$BP=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}m$，
由勾股定理得 $OP=\sqrt{BO^2-BP^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}m.$
当直线 $BC$ 与$\odot O$ 相切时，圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{\sqrt{3}}{2}m = \frac{1}{2}$，
解得 $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2) 当直线BC与$\odot O$相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$\frac{\sqrt{3}}{2}m＞\frac{1}{2}$，解得$m＞\frac{\sqrt{3}}{3}$，又O不与B重合，故$m＜4$，即$\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜4$；
当直线BC与$\odot O$相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$\frac{\sqrt{3}}{2}m＜\frac{1}{2}$，解得$m＜\frac{\sqrt{3}}{3}$，又O不与A重合，故$m＞0$，即$0＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $m=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
(2) 相离时$\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜4$，相交时$0＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；30°直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础典型题，解题关键是正确求出圆心到直线的距离，结合距离与半径的大小关系建立方程或不等式求解，解题时要注意题目给出的点的位置限制，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.7

14 分类讨论思想 如图，P为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$图象上的一个动点，$\odot P$的半径为3，设点P的坐标为$(x,y)$。
（1）求$\odot P$与直线$x=2$相切时点P的坐标；
（2）当$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时，分别直接写出$x$的取值范围。

(1) 过点 $P$ 作直线 $x=2$ 的垂线,垂足为 $A.$ 当点 $P$ 在直线 $x=2$ 的右侧时,$AP=x-2=3$,解得 $x=5.$ $\therefore P(5,\frac{15}{2}).$ 当点 $P$ 在直线 $x=2$ 的左侧时,$PA=2-x=3$,解得 $x=-1.$ $\therefore P(-1,-\frac{3}{2}).$ 综上所述,当$\odot P$ 与直线 $x=2$ 相切时,点 $P$ 的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$ (2) 当$\odot P$ 与直线 $x=2$ 相交时,$x$ 的取值范围是$-1＜x＜5$;当$\odot P$ 与直线 $x=2$ 相离时,$x$ 的取值范围是 $x＜-1$ 或 $x＞5$

【分析】
解决本题首先要明确直线与圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离$d$与半径$r$比较，$d=r$时相切，$d＜r$时相交，$d＞r$时相离。本题中圆心$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$上，直线$x=2$是垂直于$x$轴的竖线，因此点$P$到直线$x=2$的距离为两点横坐标差的绝对值，即$d=|x-2|$，已知$r=3$。第一问相切时根据$d=r$，分$P$在直线$x=2$左侧、右侧两种情况去掉绝对值求解$x$，再代入正比例函数求纵坐标即可；第二问根据相交、相离对应的$d$与$r$的大小关系列不等式，求解得到$x$的取值范围。
【解析】
（1）过点$P$作直线$x=2$的垂线，垂足为$A$，则圆心$P$到直线$x=2$的距离为$PA$的长度。
已知$\odot P$半径$r=3$，当$\odot P$与直线$x=2$相切时，$PA=r=3$。
当点$P$在直线$x=2$右侧时，$x＞2$，$PA=x-2$，因此$x-2=3$，解得$x=5$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$，此时$P(5,\frac{15}{2})$；
当点$P$在直线$x=2$左侧时，$x＜2$，$PA=2-x$，因此$2-x=3$，解得$x=-1$，代入$y=\frac{3}{2}x$得$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$，此时$P(-1,-\frac{3}{2})$。
（2）当$\odot P$与直线$x=2$相交时，$PA＜3$，即$|x-2|＜3$，解得$-1＜x＜5$；
当$\odot P$与直线$x=2$相离时，$PA＞3$，即$|x-2|＞3$，解得$x＜-1$或$x＞5$。
【答案】
(1) $(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$
(2) 相交时：$-1＜x＜5$；相离时：$x＜-1$或$x＞5$
【知识点】
直线与圆的位置关系，正比例函数性质，绝对值不等式
【点评】
本题结合动点坐标特征考查直线与圆的位置关系判定，解题核心是准确表示圆心到竖直线的距离，注意分类讨论思想的应用，避免因漏考虑点在直线两侧的情况出现错解。
【难度系数】
0.75