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1 如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，切点分别是P，C，D.若$AB=10$，$AC=6$，则BD的长是（
A.3
B.6
C.5
D.4
D
）A.3
B.6
C.5
D.4
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先观察到点A向⊙O引了两条切线AC、AP，可得AC=AP；点B向⊙O引了两条切线BP、BD，可得BD=BP。再结合线段AB的长度是AP与BP的和，先求出BP的长度，即可得到BD的长。
【解析】
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，
∴根据切线长定理，得$AC=AP=6$。
∵BP、BD都是⊙O的切线，切点分别为P、D，
∴根据切线长定理，得$BD=BP$。
又
∵$AB=AP+BP$，$AB=10$，
∴$BP=AB-AP=10-6=4$，
∴$BD=BP=4$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是找准从同一圆外点引出的两条切线，利用切线长相等的性质完成已知线段和所求线段的转化，掌握切线长定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先观察到点A向⊙O引了两条切线AC、AP，可得AC=AP；点B向⊙O引了两条切线BP、BD，可得BD=BP。再结合线段AB的长度是AP与BP的和，先求出BP的长度，即可得到BD的长。
【解析】
∵AC、AP都是⊙O的切线，切点分别为C、P，
∴根据切线长定理，得$AC=AP=6$。
∵BP、BD都是⊙O的切线，切点分别为P、D，
∴根据切线长定理，得$BD=BP$。
又
∵$AB=AP+BP$，$AB=10$，
∴$BP=AB-AP=10-6=4$，
∴$BD=BP=4$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是找准从同一圆外点引出的两条切线，利用切线长相等的性质完成已知线段和所求线段的转化，掌握切线长定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
2（易错题）如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，A，B为切点，线段OP交$\odot O$于点M.给出下列说法：① $PA=PB$；② $OP ⊥ AB$；③ 四边形OAPB有外接圆；④ 点M是$△ AOP$外接圆的圆心.其中，正确的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. 在③④两个命题上纠结,极易错选D选项,即使选C,也会根据直觉认为③错④对.
解析
【分析】
我们需要逐个判断4个说法的正确性：①首先回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可直接判断①；②结合OA=OB、PA=PB，可证△OPA和△OPB全等，得到OP平分∠APB，再用等腰三角形三线合一的性质判断②；③判断四边形是否有外接圆，只需看四边形是否对角互补，结合切线性质得两个直角，可推对角互补，判断③；④直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，需判断M是否为OP中点，仅当OP=2OA时成立，题目无此条件，可判断④错误，最后统计正确个数即可。
【解析】
解：逐个分析结论：
①
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，A、B为切点，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$PA=PB$，故①正确；
②
∵$OA=OB$（都是$\odot O$的半径），$PA=PB$，OP为公共边，
∴$△ OAP≌△ OBP$（SSS），
∴$∠ APO=∠ BPO$，又
∵$PA=PB$，$△ PAB$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，可得$OP⊥AB$，故②正确；
③
∵PA、PB是切线，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∴$∠ OAP+∠ OBP=180°$，四边形内角和为360°，
∴$∠ AOB+∠ APB=180°$，即四边形OAPB对角互补，
∴四边形OAPB有外接圆，外接圆直径为OP，故③正确；
④ $△ AOP$是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边OP的中点，OM是$\odot O$的半径，仅当$OP=2OA$（即$∠ APO=30°$）时，M为OP中点，题目未给出该条件，
∴M不一定是$△ AOP$外接圆的圆心，故④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，四点共圆判定，直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是切线相关性质的综合应用题，需逐条验证结论，易错点是易默认M为OP中点，误判④正确，解题时要注意结论成立需满足的条件，不能仅凭直观判断。
【难度系数】
0.6
我们需要逐个判断4个说法的正确性：①首先回忆切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可直接判断①；②结合OA=OB、PA=PB，可证△OPA和△OPB全等，得到OP平分∠APB，再用等腰三角形三线合一的性质判断②；③判断四边形是否有外接圆，只需看四边形是否对角互补，结合切线性质得两个直角，可推对角互补，判断③；④直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，需判断M是否为OP中点，仅当OP=2OA时成立，题目无此条件，可判断④错误，最后统计正确个数即可。
【解析】
解：逐个分析结论：
①
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，A、B为切点，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$PA=PB$，故①正确；
②
∵$OA=OB$（都是$\odot O$的半径），$PA=PB$，OP为公共边，
∴$△ OAP≌△ OBP$（SSS），
∴$∠ APO=∠ BPO$，又
∵$PA=PB$，$△ PAB$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，可得$OP⊥AB$，故②正确；
③
∵PA、PB是切线，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∴$∠ OAP+∠ OBP=180°$，四边形内角和为360°，
∴$∠ AOB+∠ APB=180°$，即四边形OAPB对角互补，
∴四边形OAPB有外接圆，外接圆直径为OP，故③正确；
④ $△ AOP$是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边OP的中点，OM是$\odot O$的半径，仅当$OP=2OA$（即$∠ APO=30°$）时，M为OP中点，题目未给出该条件，
∴M不一定是$△ AOP$外接圆的圆心，故④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，四点共圆判定，直角三角形外接圆性质
【点评】
本题是切线相关性质的综合应用题，需逐条验证结论，易错点是易默认M为OP中点，误判④正确，解题时要注意结论成立需满足的条件，不能仅凭直观判断。
【难度系数】
0.6
3 如图,从$\odot O$外一点 P 引$\odot O$的两条切线PA,PB,切点分别为 A,B.如果$∠ APB=60°,PA=8$,那么弦 AB 的长是
8
.答案
3. 8
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：PA、PB是⊙O的两条切线，首先根据切线长定理可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合∠APB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△PAB是等边三角形，因此AB与PA长度相等，代入PA的数值即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理得：$PA=PB$
又
∵$∠ APB=60°$
∴$△ PAB$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
∴$AB=PA$
∵$PA=8$
∴$AB=8$
【答案】
8
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是先通过切线长定理得到等腰三角形，再结合特殊角判定等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质即可快速求出边长，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
解题时先观察已知条件：PA、PB是⊙O的两条切线，首先根据切线长定理可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合∠APB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△PAB是等边三角形，因此AB与PA长度相等，代入PA的数值即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理得：$PA=PB$
又
∵$∠ APB=60°$
∴$△ PAB$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形）
∴$AB=PA$
∵$PA=8$
∴$AB=8$
【答案】
8
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是先通过切线长定理得到等腰三角形，再结合特殊角判定等边三角形，利用等边三角形三边相等的性质即可快速求出边长，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.9
4 教材变式题 如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于点A，B，$∠ P=70°$，C为$\overset{\frown}{AB}$上一点，则$∠ ACB$的度数为
$125°$
。答案
4. $125°$
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接圆心O与切点A、B，得到OA⊥PA、OB⊥PB，先在四边形OAPB中求出圆心角∠AOB的度数；接下来构造圆内接四边形，利用圆周角定理求出优弧AB所对的圆周角，再结合圆内接四边形对角互补的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-70°=110°$
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得：
$∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$
∵四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ ACB+∠ ADB=180°$
∴$∠ ACB=180°-∠ ADB=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过连接圆心与切点构造垂直关系，结合四边形内角和、圆周角相关性质求解，熟练掌握切线和圆周角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，连接圆心O与切点A、B，得到OA⊥PA、OB⊥PB，先在四边形OAPB中求出圆心角∠AOB的度数；接下来构造圆内接四边形，利用圆周角定理求出优弧AB所对的圆周角，再结合圆内接四边形对角互补的性质即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
在四边形OAPB中，内角和为$360°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-70°=110°$
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得：
$∠ ADB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×110°=55°$
∵四边形ACBD是$\odot O$的内接四边形
∴$∠ ACB+∠ ADB=180°$
∴$∠ ACB=180°-∠ ADB=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过连接圆心与切点构造垂直关系，结合四边形内角和、圆周角相关性质求解，熟练掌握切线和圆周角的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5 如图，四边形ABCD的每条边都与$\odot O$相切，且$BC=10$，$AD=7$，则四边形ABCD的周长为
34
。答案
5. 34
解析
【分析】
本题可根据切线长定理推导圆外切四边形的边长关系求解。首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可推出圆外切四边形的两组对边之和相等，再结合周长公式代入已知边长计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，
∴四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
根据切线长定理可得：圆外切四边形的两组对边之和相等，即$AB+CD=AD+BC$，
已知$AD=7$，$BC=10$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(AD+BC)=2(AD+BC)=2×(7+10)=34$。
【答案】
34
【知识点】
切线长定理；圆外切四边形性质；周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题目，核心是掌握圆外切四边形对边和相等的性质，直接代入数据即可求出周长，解题时记住该结论可提升做题效率。
【难度系数】
0.8
本题可根据切线长定理推导圆外切四边形的边长关系求解。首先观察图形可知四边形ABCD是⊙O的外切四边形，回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可推出圆外切四边形的两组对边之和相等，再结合周长公式代入已知边长计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，
∴四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
根据切线长定理可得：圆外切四边形的两组对边之和相等，即$AB+CD=AD+BC$，
已知$AD=7$，$BC=10$，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(AD+BC)=2(AD+BC)=2×(7+10)=34$。
【答案】
34
【知识点】
切线长定理；圆外切四边形性质；周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题目，核心是掌握圆外切四边形对边和相等的性质，直接代入数据即可求出周长，解题时记住该结论可提升做题效率。
【难度系数】
0.8
6 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别为A，B，AC是$\odot O$的直径，$∠ BAC = 25°$.求$∠ P$的度数.
答案
6. 连接OP.$\because$ AC 是$\odot O$的直径,PA 是$\odot O$的切线,$\therefore OA⊥ PA. \because ∠ BAC=25°,\therefore ∠ PAB=65°. \because PA,PB$ 是$\odot O$的切线,A,B 为切点, $\therefore PA = PB. \therefore ∠ PAB = ∠ PBA = 65°.$ $\therefore ∠ P=180°-65°×2=50°$
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆对应定理：首先根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，已知PA是⊙O的切线，AC是直径，可得PA⊥AC，据此可先求出∠PAB的度数；再根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两底角∠PAB=∠PBA；最后结合三角形内角和为180°即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵ AC是$\odot O$的直径，PA是$\odot O$的切线，
∴ $OA⊥PA$，即$∠CAP=90°$，
∵ $∠BAC=25°$，
∴ $∠PAB=∠CAP-∠BAC=90°-25°=65°$，
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，
∴ $PA = PB$，
∴ $∠PAB = ∠PBA = 65°$，
∴ $∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°×2=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握切线相关定理，结合等腰三角形性质和三角形内角和即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件回忆对应定理：首先根据切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径，已知PA是⊙O的切线，AC是直径，可得PA⊥AC，据此可先求出∠PAB的度数；再根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形，两底角∠PAB=∠PBA；最后结合三角形内角和为180°即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵ AC是$\odot O$的直径，PA是$\odot O$的切线，
∴ $OA⊥PA$，即$∠CAP=90°$，
∵ $∠BAC=25°$，
∴ $∠PAB=∠CAP-∠BAC=90°-25°=65°$，
∵ PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，
∴ $PA = PB$，
∴ $∠PAB = ∠PBA = 65°$，
∴ $∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°×2=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握切线相关定理，结合等腰三角形性质和三角形内角和即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
7 如图，$∠ ABC=90°$，O是AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径的圆与AC相切于点D，与AB相交于点E，且$AE=2\ \mathrm{cm}$，$AD=4\ \mathrm{cm}$。求：
(1) $\odot O$的半径；
(2) CD的长。
(1) $\odot O$的半径；
(2) CD的长。
答案
7. (1) 连接OD.$\because$ AC 是$\odot O$的切线,$\therefore OD⊥ AC$. 设$\odot O$的半径为 r cm. 在 $\mathrm{Rt}△ AOD$ 中, $r^2+4^2=(r+2)^2, \therefore r=3.$ $\therefore \odot O$ 的半径为 3 cm (2) 由题意,易得 BC 是$\odot O$的切线.$\because CD$ 是$\odot O$的切线, $\therefore CD=CB$. 设 $CD=CB=x$ cm, 则 $AC=(x+4)\mathrm{cm}.$ 由(1), 可得 $AB=8$ cm. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $x^2+8^2=(x+4)^2,$ 解得 $x=6. \therefore CD$ 的长为 6 cm
解析
【分析】
(1) 要求$\odot O$的半径，已知AC是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OD即可得到$OD⊥ AC$，得到$Rt△ AOD$。设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$Rt△ AOD$的三边，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 首先由$∠ ABC=90°$，OB是半径，可判断BC是$\odot O$的切线，又CD也是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$CD=CB$。设CD为$x$，用含$x$的式子表示出$Rt△ ABC$的三边，再用勾股定理列方程求解即可得到CD的长。
【解析】
(1) 连接$OD$，
$\because$ AC是$\odot O$的切线，D为切点，
$\therefore OD⊥ AC$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OB=OE=r\ \mathrm{cm}$，$OA=OE+AE=(r+2)\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数据得：$r^2 + 4^2 = (r+2)^2$，
展开化简得：$16=4r+4$，解得$r=3$。
即$\odot O$的半径为$3\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because ∠ ABC=90°$，OB是$\odot O$的半径，
$\therefore$ BC是$\odot O$的切线，
又$\because$ CD是$\odot O$的切线，D为切点，
根据切线长定理可得：$CD=CB$。
设$CD=CB=x\ \mathrm{cm}$，则$AC=AD+CD=(x+4)\ \mathrm{cm}$，
由(1)可知$AB=AE+2r=2+2×3=8\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$CB^2 + AB^2 = AC^2$，
代入数据得：$x^2 + 8^2 = (x+4)^2$，
展开化简得：$64=8x+16$，解得$x=6$。
即CD的长为$6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{3\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；切线长定理
【点评】
本题是圆的几何计算常规题型，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合切线的相关性质，利用方程思想求解，体现了几何与代数知识的结合应用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求$\odot O$的半径，已知AC是圆的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OD即可得到$OD⊥ AC$，得到$Rt△ AOD$。设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$Rt△ AOD$的三边，再利用勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 首先由$∠ ABC=90°$，OB是半径，可判断BC是$\odot O$的切线，又CD也是$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$CD=CB$。设CD为$x$，用含$x$的式子表示出$Rt△ ABC$的三边，再用勾股定理列方程求解即可得到CD的长。
【解析】
(1) 连接$OD$，
$\because$ AC是$\odot O$的切线，D为切点，
$\therefore OD⊥ AC$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OD=OB=OE=r\ \mathrm{cm}$，$OA=OE+AE=(r+2)\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数据得：$r^2 + 4^2 = (r+2)^2$，
展开化简得：$16=4r+4$，解得$r=3$。
即$\odot O$的半径为$3\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because ∠ ABC=90°$，OB是$\odot O$的半径，
$\therefore$ BC是$\odot O$的切线，
又$\because$ CD是$\odot O$的切线，D为切点，
根据切线长定理可得：$CD=CB$。
设$CD=CB=x\ \mathrm{cm}$，则$AC=AD+CD=(x+4)\ \mathrm{cm}$，
由(1)可知$AB=AE+2r=2+2×3=8\ \mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$CB^2 + AB^2 = AC^2$，
代入数据得：$x^2 + 8^2 = (x+4)^2$，
展开化简得：$64=8x+16$，解得$x=6$。
即CD的长为$6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{3\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理；切线长定理
【点评】
本题是圆的几何计算常规题型，解题的关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合切线的相关性质，利用方程思想求解，体现了几何与代数知识的结合应用。
【难度系数】
0.7
8 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 (
A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
A
)A.$\frac{13}{3}$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{4}{3}\sqrt{13}$
D.$2\sqrt{5}$
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先结合矩形性质和圆与三边相切的条件，确定圆的半径，再利用切线长定理求出已知切线段的长度；将要求的DM拆分为切点分成的两段，两段分别对应从D、M两点引的圆的切线，设未知量表示未知切线段长度，最后在Rt△DCM中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵矩形ABCD中，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB=4
∴⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=2$，根据切线长定理得：$AE=AF=BF=BG=2$
∵AD=BC=5，
∴$ED=AD-AE=5-2=3$，$GC=BC-BG=5-2=3$
∵DM是⊙O的切线，切点为N，
∴根据切线长定理：$DN=DE=3$，$MN=MG$
设$MG=x$，则$MN=x$，$DM=DN+MN=3+x$，$MC=GC-MG=3-x$
在$Rt△ DCM$中，$DC=AB=4$，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$DC^2 + MC^2 = DM^2$
代入得：$4^2 + (3-x)^2 = (3+x)^2$
展开计算：$16 + 9 -6x +x^2 = 9 +6x +x^2$
化简得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是切线长定理应用的典型题型，解题关键是借助切线长定理找到相等的线段，将所求线段拆分后结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合矩形性质和圆与三边相切的条件，确定圆的半径，再利用切线长定理求出已知切线段的长度；将要求的DM拆分为切点分成的两段，两段分别对应从D、M两点引的圆的切线，设未知量表示未知切线段长度，最后在Rt△DCM中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵矩形ABCD中，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB=4
∴⊙O的半径为$\frac{AB}{2}=2$，根据切线长定理得：$AE=AF=BF=BG=2$
∵AD=BC=5，
∴$ED=AD-AE=5-2=3$，$GC=BC-BG=5-2=3$
∵DM是⊙O的切线，切点为N，
∴根据切线长定理：$DN=DE=3$，$MN=MG$
设$MG=x$，则$MN=x$，$DM=DN+MN=3+x$，$MC=GC-MG=3-x$
在$Rt△ DCM$中，$DC=AB=4$，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$DC^2 + MC^2 = DM^2$
代入得：$4^2 + (3-x)^2 = (3+x)^2$
展开计算：$16 + 9 -6x +x^2 = 9 +6x +x^2$
化简得：$12x=16$，解得$x=\frac{4}{3}$
∴$DM=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}$
【答案】
A
【知识点】
切线长定理，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是切线长定理应用的典型题型，解题关键是借助切线长定理找到相等的线段，将所求线段拆分后结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
