9 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若$\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$,则$\frac{AD}{CD}$的值是 ()


A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{\sqrt{7}}{4}$

9. B 【解析】如图,作 $CF⊥ AB$ 交AB 的延长线于点 F,连接 DE.$\because AB// CD,AD⊥ AB,\therefore ∠ FAD=∠ ADC=∠ F=90°.$ $\therefore$ 四边形 ADCF 为矩形. $\therefore AD=CF=DE,AF=DC.$ $\because ∠ FAD=90°,AD$ 为半径, $\therefore AB$ 为$\odot D$的切线. 又$\because$ 以 D 为圆心,AD 为半径的弧恰好与 BC 相切,切点为 E, $\therefore DE⊥ BC,AB=BE.$ 设 $AB=BE=a,CE=x. \because \frac{AB}{CD}=\frac{1}{3},\therefore CD=AF=3a. \therefore BF=AF-AB=2a,BC=BE+CE=a+x. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEC$ 中,$DE^2=CD^2-CE^2=(3a)^2-x^2$,在 $\mathrm{Rt}△ BFC$ 中,$CF^2=BC^2-BF^2=(a+x)^2-(2a)^2,DE=CF,\therefore (3a)^2-x^2=(a+x)^2-(2a)^2,$ 解得 $x_1=2a,x_2=-3a$(负值舍去). $\therefore CE=2a. \therefore DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\sqrt{(3a)^2-(2a)^2}=\sqrt{5}a=AD. \therefore \frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{5}a}{3a}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$

10 将一把直尺、一块含$60°$角的直角三角尺和一张圆形卡片按如图所示的方式摆放，A为$60°$角与直尺的交点，$AB=3\ \mathrm{cm}$，则圆形卡片的直径是。

10. $6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

11 如图，PA，PB，EF分别切$\odot O$于点A，B，D，M为$\odot O$上一点. 若$PA=15\ \mathrm{cm}$，则$△ PEF$的周长是$\mathrm{cm}$. 若$∠ P=50°$，则$∠ EOF=$，$∠ AMB=$.

11. 30 $65°$ $65°$

12 如图，AB是$\odot O$的直径，过$\odot O$外一点P作$\odot O$的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.
（1）求证：$OP ⊥ CD$.
（2）连接AD，BC.若$∠ DAB=50°$，$∠ CBA=70°$，$OA=2$，求OP的长.

12. (1) 连接OC,OD.$\because$ PC,PD 是$\odot O$的切线,$\therefore ∠ ODP=∠ OCP=90°,∠ OPD=∠ OPC. \therefore ∠ DOP=∠ COP. \because OD=OC, \therefore OP⊥ CD$ (2) $\because OA=OD=OC=OB=2,$ $\therefore ∠ ADO=∠ DAB=50°,∠ BCO=∠ CBA=70°. \therefore ∠ AOD=80°,∠ BOC=40°. \therefore ∠ COD=60°. \therefore ∠ DOP=∠ COP=30°.$ $\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ODP$ 中,$∠ DOP=30°,OD=2,\therefore$ 易得 $OP=\frac{4}{3}\sqrt{3}$

13 如图，AB为$\odot O$的直径，PA，PC分别与$\odot O$相切于点A，C，$PQ ⊥ PA$，PQ交OC的延长线于点Q.
（1）求证：$OQ=PQ$.
（2）连接BC并延长，交PQ于点D.若$PA=AB$，且$QC=6$，求BD的长.

13. (1) 连接OP.$\because$ PA,PC 分别与$\odot O$相切于点A,C,$\therefore PA=PC,OC⊥ PC,BA⊥ PA.$ 又$\because OA=OC,OP=OP,$ $\therefore \mathrm{Rt}△ OPA≌\mathrm{Rt}△ OPC. \therefore ∠ AOP=∠ COP. \because PQ⊥ PA,$ $\therefore PQ// BA. \therefore ∠ QPO=∠ AOP. \therefore ∠ QOP=∠ QPO.$ $\therefore OQ=PQ$ (2) 设 $OA=r. \because OB=OC,\therefore ∠ B=∠ OCB.$ $\because OB// QD,\therefore ∠ QDC=∠ B. \because ∠ OCB=∠ QCD,$ $\therefore ∠ QCD=∠ QDC. \therefore QC=QD=6. \because OQ=PQ,\therefore OQ-QC=PQ-QD,$ 即 $OC=PD=r. \because PA=AB,PA=PC,$ $\therefore PC=AB=2r. \because PC$ 是$\odot O$的切线, $\therefore OC⊥ PC.$ $\therefore ∠ OCP=∠ PCQ=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ PCQ$ 中, $\because PQ^2=PC^2+QC^2,\therefore (6+r)^2=(2r)^2+6^2,$ 解得 $r_1=4,r_2=0$(不合题意,舍去). $\therefore OC=4,PC=8. \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OCP$ 中, $OP=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}. \because OB=OC=PD,OB// PD,\therefore$ 四边形 OBDP 是平行四边形. $\therefore BD=OP=4\sqrt{5}$