1 [2025 苏州]如图,在四边形ABCD中,BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D,求证:BC为⊙O的切线.

∵ AB 是 ⊙O 的直径,
∴ ∠ADB = 90°.
∵ BD = CD,
∴ ∠C = ∠DBC.
∵ ∠C = ∠BAD,
∴ ∠DBC = ∠BAD.
∴ ∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°.
∵ OB是⊙O 的半径,且 BC⊥OB,
∴ BC 为⊙O 的切线

2 [2024威海改编]如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，且$BC=CD$，E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长，交射线AD于点F. $∠ FEG$的平分线EH交射线AC于点H，$∠ H=45°$. 求证：EF是$\odot O$的切线.

连接 OC.
∵ OA=OC,
∴ ∠OAC=∠OCA.
∵ BC=CD,
∴ ∠DAC=∠BAC.
∴ ∠OCA=∠DAC.
∴ OC//AF.
∴ ∠OCE=∠F.
∵ EH 平分∠FEG,
∴ ∠FEH=∠GEH.
∵ ∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG=∠F+∠BAF,
∴ 2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.
∵ ∠BAF=2∠BAC,
∴ ∠F=2∠H=90°.
∴ ∠OCE=∠F=90°,即 OC⊥EF.
∵ OC 是⊙O 的半径,
∴ EF 是⊙O 的切线

3 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°$,$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$,$E$ 为 $AB$ 上一点,$DE=DC$,以点 $D$ 为圆心、$DB$ 长为半径作 $\odot D$,$AB=10$,$EB=6$.
(1) 求证:$AC$ 是$\odot D$ 的切线;
(2) 求线段 $AC$ 的长.

(1) 过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵ ∠ABC=90°,
∴ AB⊥BC.
∵ AD 平分∠BAC,DF⊥AC,DB⊥AB,
∴ DB=DF.
∴ DF 为⊙D 的半径.
∴ AC 是⊙D 的切线
(2) 在Rt△BDE和Rt△FDC中,$\begin{cases}DE=DC,\\DB=DF,\end{cases}$
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC.
∴ EB=CF.
∵ AD 平分∠BAF,
∴ ∠BAD=∠FAD. 又
∵ ∠ABD=∠AFD=90°,AD=AD,
∴ △ABD≌△AFD.
∴ AB=AF.
∴ AC=AF+CF=AB+EB=10+6=16

4 如图，O是$△ ABC$的边AC上一点，以点O为圆心、OA长为半径作$\odot O$，与BC相切于点E，交AB于点D。连接OD并延长，交CB的延长线于点F，连接AF，OE，$∠ AOD = ∠ EOD$。求证：AF是$\odot O$的切线。

在△AOF 和△EOF 中,$\begin{cases}OA=OE,\\∠AOD=∠EOD,\\OF=OF,\end{cases}$
∴ △AOF≌△EOF.
∴ ∠OAF=∠OEF.
∵ BC 与⊙O 相切,
∴ OE⊥FC.
∴ ∠OAF=∠OEF=90°,即 OA⊥AF.
∵ OA 为⊙O 的半径,
∴ AF 是⊙O 的切线