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5 如图,在矩形$ABCD$中,$BC=6$,$AB=3$,$\odot O$是以$BC$为直径的圆,求证:直线$AD$与$\odot O$相切.
答案
如图,取 BC 的中点O,过点 O 作 OE⊥AD 于点 E.
∴ OE=AB=3.
∵ BC=6,
∴ OB=$\frac{1}{2}$BC=3.
∴ OE=OB.
∴ OE 为⊙O 的半径.
∴ 直线 AD 与⊙O 相切
解析
【分析】
要证明直线与圆相切，依据切线的判定思路：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。本题中⊙O以BC为直径，因此圆心是BC的中点O，我们只需要求出点O到直线AD的距离，再将其与⊙O的半径比较，若二者相等即可得证。结合矩形对边平行、邻边垂直的性质，过O作AD的垂线，垂线段长度等于AB的长度，再计算圆的半径，对比二者大小即可完成证明。
【解析】
证明：取BC的中点O，过点O作OE⊥AD于点E。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AB⊥BC，
∴ 平行线AD与BC之间的距离处处相等，即OE=AB=3。
∵ BC=6，O是BC的中点，
∴ ⊙O的半径$OB=\frac{1}{2}BC=3$。
∴ OE=OB，即圆心O到直线AD的距离等于⊙O的半径。
∴ 直线AD与⊙O相切。
【答案】
如图,取 BC 的中点O,过点 O 作 OE⊥AD 于点E.
∴ OE=AB=3.
∵ BC=6,
∴ OB=$\frac{1}{2}$BC=3.
∴ OE=OB.
∴ OE 为⊙O 的半径.
∴ 直线 AD 与⊙O 相切
【知识点】
切线的判定；矩形的性质；圆的基本概念
【点评】
本题属于切线证明的基础题型，解题核心是掌握切线的判定方法，结合矩形的性质求出圆心到直线的距离，再与半径对比即可得证，熟练掌握基础定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明直线与圆相切，依据切线的判定思路：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。本题中⊙O以BC为直径，因此圆心是BC的中点O，我们只需要求出点O到直线AD的距离，再将其与⊙O的半径比较，若二者相等即可得证。结合矩形对边平行、邻边垂直的性质，过O作AD的垂线，垂线段长度等于AB的长度，再计算圆的半径，对比二者大小即可完成证明。
【解析】
证明：取BC的中点O，过点O作OE⊥AD于点E。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AB⊥BC，
∴ 平行线AD与BC之间的距离处处相等，即OE=AB=3。
∵ BC=6，O是BC的中点，
∴ ⊙O的半径$OB=\frac{1}{2}BC=3$。
∴ OE=OB，即圆心O到直线AD的距离等于⊙O的半径。
∴ 直线AD与⊙O相切。
【答案】
如图,取 BC 的中点O,过点 O 作 OE⊥AD 于点E.
∴ OE=AB=3.
∵ BC=6,
∴ OB=$\frac{1}{2}$BC=3.
∴ OE=OB.
∴ OE 为⊙O 的半径.
∴ 直线 AD 与⊙O 相切
【知识点】
切线的判定；矩形的性质；圆的基本概念
【点评】
本题属于切线证明的基础题型，解题核心是掌握切线的判定方法，结合矩形的性质求出圆心到直线的距离，再与半径对比即可得证，熟练掌握基础定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
6 如图，AB为$\odot O$的直径，$∠ BAD=∠ ABC=90°$，DC与$\odot O$相切于点E，$\odot O$的半径为$\sqrt{5}$，$AD=2$.求BC的长.
答案
如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则∠DFB=90°.
∵ AB 为⊙O 的直径,∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°,
∴ 四边形ABFD 是矩形,AD 与 BC 是⊙O 的切线.
∴ DF=AB=2√5,BF=AD=2.
∵ DC 与⊙O 相切,
∴ DE=AD=2,CE=BC. 设BC=x,则 CF=BC-BF=x-2,DC=DE+CE=2+x. 在Rt△DCF 中,DC²=CF²+DF²,即(2+x)²=(x-2)²+(2√5)²,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴ BC 的长为$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
首先根据已知的直角条件，结合切线的判定可推出AD、BC都是⊙O的切线，再根据切线长定理得到DE=AD、CE=BC的线段相等关系；要求BC的长度，可通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知长度和未知的BC转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，则∠DFB=90°。
∵ AB 为⊙O 的直径，∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°，
∴ 四边形ABFD 是矩形，且AD与BC都是⊙O的切线。
∴ DF=AB=2√5，BF=AD=2。
∵ DC 与⊙O相切于点E，根据切线长定理可得：
DE=AD=2，CE=BC。
设BC=x，则CF=BC-BF=x-2，DC=DE+CE=2+x。
在Rt△DCF 中，由勾股定理得$DC^2=CF^2+DF^2$，代入得：
$(2+x)^2=(x-2)^2+(2\sqrt{5})^2$
展开计算：$4+4x+x^2=x^2-4x+4+20$
化简得$8x=20$，解得$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
BC的长为$\frac{5}{2}$
【知识点】
切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何计算结合的基础题型，核心考查切线长定理的应用和方程思想的运用，通过作垂线构造直角三角形是解决这类问题的常用辅助线方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的直角条件，结合切线的判定可推出AD、BC都是⊙O的切线，再根据切线长定理得到DE=AD、CE=BC的线段相等关系；要求BC的长度，可通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知长度和未知的BC转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，则∠DFB=90°。
∵ AB 为⊙O 的直径，∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°，
∴ 四边形ABFD 是矩形，且AD与BC都是⊙O的切线。
∴ DF=AB=2√5，BF=AD=2。
∵ DC 与⊙O相切于点E，根据切线长定理可得：
DE=AD=2，CE=BC。
设BC=x，则CF=BC-BF=x-2，DC=DE+CE=2+x。
在Rt△DCF 中，由勾股定理得$DC^2=CF^2+DF^2$，代入得：
$(2+x)^2=(x-2)^2+(2\sqrt{5})^2$
展开计算：$4+4x+x^2=x^2-4x+4+20$
化简得$8x=20$，解得$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
BC的长为$\frac{5}{2}$
【知识点】
切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与几何计算结合的基础题型，核心考查切线长定理的应用和方程思想的运用，通过作垂线构造直角三角形是解决这类问题的常用辅助线方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
7 [2025 湖北]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC=45°$.过点$O$作$DF⊥ AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$，交$\odot O$于点$F$.过点$F$作$\odot O$的切线，交$CA$的延长线于点$G$.
（1）求证：$FD=FG$；
（2）若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$FD=FG$；
（2）若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.
答案
(1)
∵ DF⊥AB,GF 是⊙O 的切线,
∴ ∠DEA=∠DFG=90°.
∴ AB//GF.
∴ ∠BAC=∠G=45°.
∴ ∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG 是等腰直角三角形.
∴ FD=FG
(2) 如图,连接 OA.
∵ DF⊥AB,
∴ AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6.
∵ ∠BAC=45°,
∴ ∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE 是等腰直角三角形.
∴ EA=ED=6. 由(1),得 FD=FG=10,
∴ EF=DF-DE=10-6=4. 设 OE=x,则 OA=OF=OE+EF=x+4. 在Rt△AOE 中,OA²=AE²+OE².
∴ (x+4)²=6²+x²,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴ OA=x+4=$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$.
∴ ⊙O 的半径为$\frac{13}{2}$
解析
【分析】
（1）要证明$FD=FG$，可先证$△ DFG$是等腰直角三角形：首先根据切线的性质可得$GF⊥ DF$，结合$DF⊥ AB$可推出$AB// GF$，进而得到$∠ G=∠ BAC=45°$，即可判定$△ DFG$为等腰直角三角形，从而证得结论。
（2）求$\odot O$的半径，可先利用垂径定理求出$AE$的长度，再结合等腰直角三角形的性质求出$DE$的长度，结合（1）的结论得到$FD$的长度，进而求出$EF$的长度；设$OE=x$，用含$x$的式子表示半径$OA$，最后在$\mathrm{Rt}△ AOE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because DF⊥ AB$，$GF$是$\odot O$的切线，
$\therefore ∠ DEA=∠ DFG=90°$，
$\therefore AB// GF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ G=45°$，
$\therefore ∠ FDG=90°-45°=45°$，即$△ DFG$是等腰直角三角形，
$\therefore FD=FG$。
（2）解：如图，连接$OA$，
$\because DF⊥ AB$，
$\therefore$由垂径定理得$AE=BE=\frac{1}{2}AB=6$，
$\because ∠ BAC=45°$，$∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-45°=45°$，即$△ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore EA=ED=6$，
由（1）得$FD=FG=10$，
$\therefore EF=DF-DE=10-6=4$，
设$OE=x$，则$OA=OF=OE+EF=x+4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$OA^2=AE^2+OE^2$，
$\therefore (x+4)^2=6^2+x^2$，
展开得$x^2+8x+16=36+x^2$，
化简得$8x=20$，解得$x=\frac{5}{2}$，
$\therefore OA=x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合题，结合了切线性质、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理多个考点，解题时要注意角度关系与线段关系的转化，利用方程思想求解半径是圆中计算类题目的常用方法。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$FD=FG$，可先证$△ DFG$是等腰直角三角形：首先根据切线的性质可得$GF⊥ DF$，结合$DF⊥ AB$可推出$AB// GF$，进而得到$∠ G=∠ BAC=45°$，即可判定$△ DFG$为等腰直角三角形，从而证得结论。
（2）求$\odot O$的半径，可先利用垂径定理求出$AE$的长度，再结合等腰直角三角形的性质求出$DE$的长度，结合（1）的结论得到$FD$的长度，进而求出$EF$的长度；设$OE=x$，用含$x$的式子表示半径$OA$，最后在$\mathrm{Rt}△ AOE$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because DF⊥ AB$，$GF$是$\odot O$的切线，
$\therefore ∠ DEA=∠ DFG=90°$，
$\therefore AB// GF$，
$\therefore ∠ BAC=∠ G=45°$，
$\therefore ∠ FDG=90°-45°=45°$，即$△ DFG$是等腰直角三角形，
$\therefore FD=FG$。
（2）解：如图，连接$OA$，
$\because DF⊥ AB$，
$\therefore$由垂径定理得$AE=BE=\frac{1}{2}AB=6$，
$\because ∠ BAC=45°$，$∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ ADE=90°-45°=45°$，即$△ ADE$是等腰直角三角形，
$\therefore EA=ED=6$，
由（1）得$FD=FG=10$，
$\therefore EF=DF-DE=10-6=4$，
设$OE=x$，则$OA=OF=OE+EF=x+4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$OA^2=AE^2+OE^2$，
$\therefore (x+4)^2=6^2+x^2$，
展开得$x^2+8x+16=36+x^2$，
化简得$8x=20$，解得$x=\frac{5}{2}$，
$\therefore OA=x+4=\frac{5}{2}+4=\frac{13}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\odot O$的半径为$\frac{13}{2}$
【知识点】
切线的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的综合题，结合了切线性质、垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理多个考点，解题时要注意角度关系与线段关系的转化，利用方程思想求解半径是圆中计算类题目的常用方法。
【难度系数】
0.65
