5 如图,在矩形$ABCD$中,$BC=6$,$AB=3$,$\odot O$是以$BC$为直径的圆,求证:直线$AD$与$\odot O$相切.

如图,取 BC 的中点O,过点 O 作 OE⊥AD 于点 E.
∴ OE=AB=3.
∵ BC=6,
∴ OB=$\frac{1}{2}$BC=3.
∴ OE=OB.
∴ OE 为⊙O 的半径.
∴ 直线 AD 与⊙O 相切

6 如图，AB为$\odot O$的直径，$∠ BAD=∠ ABC=90°$，DC与$\odot O$相切于点E，$\odot O$的半径为$\sqrt{5}$，$AD=2$.求BC的长.

如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则∠DFB=90°.
∵ AB 为⊙O 的直径,∠BAD=∠ABC=∠DFB=90°,
∴ 四边形ABFD 是矩形,AD 与 BC 是⊙O 的切线.
∴ DF=AB=2√5,BF=AD=2.
∵ DC 与⊙O 相切,
∴ DE=AD=2,CE=BC. 设BC=x,则 CF=BC-BF=x-2,DC=DE+CE=2+x. 在Rt△DCF 中,DC²=CF²+DF²,即(2+x)²=(x-2)²+(2√5)²,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴ BC 的长为$\frac{5}{2}$

7 [2025 湖北]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC=45°$.过点$O$作$DF⊥ AB$，垂足为$E$，交$AC$于点$D$，交$\odot O$于点$F$.过点$F$作$\odot O$的切线，交$CA$的延长线于点$G$.
（1）求证：$FD=FG$；
（2）若$AB=12$，$FG=10$，求$\odot O$的半径.

(1)
∵ DF⊥AB,GF 是⊙O 的切线,
∴ ∠DEA=∠DFG=90°.
∴ AB//GF.
∴ ∠BAC=∠G=45°.
∴ ∠FDG=90°-45°=45°,即△DFG 是等腰直角三角形.
∴ FD=FG
(2) 如图,连接 OA.
∵ DF⊥AB,
∴ AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6.
∵ ∠BAC=45°,
∴ ∠ADE=90°-45°=45°,即△ADE 是等腰直角三角形.
∴ EA=ED=6. 由(1),得 FD=FG=10,
∴ EF=DF-DE=10-6=4. 设 OE=x,则 OA=OF=OE+EF=x+4. 在Rt△AOE 中,OA²=AE²+OE².
∴ (x+4)²=6²+x²,解得$x=\frac{5}{2}$.
∴ OA=x+4=$\frac{5}{2}$+4=$\frac{13}{2}$.
∴ ⊙O 的半径为$\frac{13}{2}$