9.如图，AB是$\odot O$的弦，AB的长为8，点P是$\odot O$上一个动点（不与点A，B重合），过点O作$OC⊥ AP$于点C，$OD⊥ PB$于点D，则CD的长为。

9.4

【分析】
解题时先观察已知条件：$OC⊥AP$、$OD⊥PB$，结合O是圆心的属性，可联想到垂径定理，推出C、D分别是AP、PB的中点；再判断CD是$△ APB$的中位线，利用中位线性质即可求出CD的长度。
【解析】
∵$OC⊥AP$，且OC过圆心O，根据垂径定理可得$AC=CP$，即点C是AP的中点。
同理，$OD⊥PB$，OD过圆心O，可得$PD=DB$，即点D是PB的中点。
∴CD是$△ APB$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。
∴$CD=\frac{1}{2}AB$，已知$AB=8$，代入得$CD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形中位线的结合应用题，解题核心是通过垂径定理得到线段中点，进而识别出中位线，属于圆章节的基础典型题，需要熟练掌握两个定理的应用场景。
【难度系数】
0.7

10.【易错题】已知$\odot O$的直径$CD=10$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB⊥ CD$，垂足为$M$，且$AB=8$，则$AC$的长为________.

10.$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$

【分析】
解题时首先利用弦与直径垂直的条件联想到垂径定理，先连接半径OA构造直角三角形，第一步借助垂径定理算出弦AB的一半AM的长度，第二步用勾股定理算出圆心O到垂足M的距离OM，此处需注意垂足M的位置有两种可能（靠近C或靠近D），需分类计算CM的长度，最后再次用勾股定理即可求出AC的长。
【解析】
连接OA，
∵ ⊙O的直径CD=10，
∴ 半径OA=OC=5，
∵ AB⊥CD，AB=8，根据垂径定理可得：$AM=\frac{1}{2}AB=4$，
在Rt△OAM中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
分两种情况讨论：
① 当垂足M位于线段OC上时，$CM=OC-OM=5-3=2$，
在Rt△ACM中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
② 当垂足M位于线段OD上时，$CM=OC+OM=5+3=8$，
在Rt△ACM中，$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
综上，AC的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略垂足的两种位置情况，导致漏解，解题时要结合图形全面考虑所有存在的可能性，掌握垂径定理和勾股定理的组合使用是解决这类圆中弦长计算问题的核心。
【难度系数】
0.6

11.(教材P125练习T1变式)如图,半径为5和$\sqrt{34}$的两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.若$CD=8$,则AB的长为 ()

A.6
B.8
C.10
D.12

11.C

【分析】
遇到同心圆中弦长求解的问题，可借助垂径定理解决：首先过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理逐步计算线段长度。具体思路：①过O作OE垂直AB于E，根据垂径定理，E同时是AB和CD的中点，先求出CE的长度；②在含小圆半径的直角三角形OCE中，用勾股定理算出垂线段OE的长；③在含大圆半径的直角三角形OAE中，用勾股定理算出AE的长，最后乘2即可得到AB的总长度。
【解析】
过点O作$OE⊥ AB$于点E，
根据垂径定理可得：$AE=EB$，$CE=DE$。
$\because CD=8$，$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$Rt△ OCE$中，小圆半径$OC=5$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
在$Rt△ OAE$中，大圆半径$OA=\sqrt{34}$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{34})^2-3^2}=\sqrt{34-9}=5$。
$\therefore AB=2AE=2×5=10$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型应用，通过作垂线构造直角三角形结合勾股定理求解弦长，是圆中弦长计算的常用方法，需熟练掌握辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7

12. 衢州山茶油生产已有二千多年历史，有“东方黄金液体”的美誉. 如图，在某榨油厂中，榨油师傅会将包好的圆形油饼整齐码入木榨的榨槽中. 如图，圆形油饼$\odot O$紧靠在木榨的榨槽中的$A$，$B$，$C$，$D$四点. 已知$AB// CD$，$AB=CD=48\ \mathrm{cm}$，$AB$与$CD$之间的距离为$20\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为（）

A.$13\ \mathrm{cm}$
B.$15\ \mathrm{cm}$
C.$24\ \mathrm{cm}$
D.$26\ \mathrm{cm}$

12.D

【分析】
本题是圆中平行弦的半径计算问题，解题思路如下：首先，由AB//CD，可过圆心作两条弦的垂线，结合垂径定理可得到两条弦长的一半；其次，两条弦之间的距离为20cm，设圆的半径为r，弦心距为未知数，利用直角三角形的勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
解：过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
根据垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×48=24\ \mathrm{cm}$，$CF=\frac{1}{2}CD=24\ \mathrm{cm}$。
设⊙O的半径为$r\ \mathrm{cm}$，$OE=x\ \mathrm{cm}$，
∵AB与CD之间的距离为20cm，
∴$OF=(20-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△AOE中，由勾股定理得：$OA^2=AE^2+OE^2$，即$r^2=24^2+x^2$ ①；
在Rt△COF中，由勾股定理得：$OC^2=CF^2+OF^2$，即$r^2=24^2+(20-x)^2$ ②；
联立①②得：$24^2+x^2=24^2+(20-x)^2$，
化简得：$x^2=(20-x)^2$，解得$x=10$。
将$x=10$代入①得：$r^2=24^2+10^2=576+100=676$，
∴$r=26$（半径为正数，舍去负根），即⊙O的半径为26cm。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，平行弦性质
【点评】
本题是圆中计算的典型题型，解题的核心是作垂直于弦的直径作为辅助线，构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，对垂径定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

13. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌(如图),已知轮片的一条弦AB的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点C,交弦AB于点D,测得AB=24 cm,CD=8 cm.
(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)求(1)中所作圆的半径.

13.解:(1)如图所示.
(2)如图,连接OA,设$OA=x\ \mathrm{cm}$,则$OD=(x-8)\ \mathrm{cm}$,$\because AB⊥ OC$,$AB=24\ \mathrm{cm}$,$\therefore AD=12\ \mathrm{cm}$.在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,由勾股定理,得$x^2=12^2+(x-8)^2$,解得$x=13. \therefore$圆的半径为13 cm.

【分析】
(1) 要确定残片所在圆的圆心，依据是“圆的圆心在任意一条弦的垂直平分线上”。已知AB的垂直平分线CD，只需再作出残片上另一条弦（如AC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心。
(2) 求半径可利用垂径定理结合勾股定理求解：先根据垂径定理得到AD的长度，设圆的半径为x，用含x的式子表示OD的长度，再在Rt△AOD中用勾股定理列方程，解方程即可得到半径长度。
【解析】
(1) 作弦AC的垂直平分线，与CD所在直线交于点O，点O即为所求圆心，作图痕迹如参考图所示。
(2) 连接OA，设圆的半径为$x\ \mathrm{cm}$，则$OA=OC=x\ \mathrm{cm}$。
已知$CD=8\ \mathrm{cm}$，因此$OD=OC-CD=(x-8)\ \mathrm{cm}$。
$\because CD$是AB的垂直平分线，$AB=24\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB⊥ OC$，$AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入得：
$x^2=12^2+(x-8)^2$
展开计算：$x^2=144+x^2-16x+64$
移项化简得：$16x=208$
解得：$x=13$
【答案】
(1)
(2)此残片所在圆的半径为13 cm。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂直平分线的性质
【点评】
本题结合实际应用场景，既考查了尺规作图确定圆心的操作方法，又考查了垂径定理和勾股定理的结合应用，通过设未知数列方程的方式求解半径，是圆相关计算的典型基础题型，能很好地考查学生对基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

14. 如图，CD为$\odot O$的直径，$CD⊥ AB$，垂足为F，AE过圆心O且$AE⊥ BC$，垂足为E，$BC=2\sqrt{3}$。
(1)求AB的长；
(2)求$\odot O$的半径。

14.解:(1)连接AC.$\because AE$过圆心O且$AE⊥ BC$,$\therefore CE=BE$.$\therefore AB=AC$. 同理,得$AC=BC$.$\therefore AB=BC=2\sqrt{3}$.
(2)由(1)知,$AB=BC=AC$,$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$,$\therefore △ ABC$是等边三角形.$\therefore ∠ ACB=60°$.$\because AC=BC$,$CD⊥ AB$,$\therefore ∠ BCD=30°$.$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ CEO$中,$OC=2OE$. 在$\mathrm{Rt}△ CEO$中,由勾股定理,得$OE^2+CE^2=OC^2$,即$OE^2+(\sqrt{3})^2=(2OE)^2$,解得$OE=1$(负值已舍去).$\therefore OC=2$,即$\odot O$的半径为2.

【分析】
(1)求AB的长可通过证明AB与已知长度的BC相等求解：根据垂径定理，过圆心且垂直于弦的直线是弦的垂直平分线，AE过圆心且垂直BC，可得AE垂直平分BC，因此AB=AC；同理CD过圆心且垂直AB，可得CD垂直平分AB，因此AC=BC，即可推出AB=BC得到结果。
(2)求圆的半径：由(1)结论可先判断△ABC是等边三角形，得到∠ACB的度数，结合CD⊥AB可推出∠BCD=30°，在Rt△CEO中利用30°直角三角形的性质得到OC与OE的数量关系，再结合勾股定理即可求出半径OC的长度。
【解析】
(1) 连接AC。
∵ AE过圆心O且$AE⊥ BC$，
∴ AE垂直平分BC，根据垂直平分线的性质得$AB=AC$。
同理，CD为$\odot O$的直径且$CD⊥ AB$，
∴ CD垂直平分AB，得$AC=BC$。
∴ $AB=BC=2\sqrt{3}$。
(2) 由(1)知$AB=BC=AC$，$CE=BE=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，$∠ ACB=60°$。
∵ $AC=BC$，$CD⊥ AB$，
∴ CD平分$∠ ACB$，即$∠ BCD=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEO$中，$∠ BCD=30°$，因此$OC=2OE$。
由勾股定理得：$OE^2+CE^2=OC^2$，
代入$CE=\sqrt{3}$、$OC=2OE$，得：$OE^2+(\sqrt{3})^2=(2OE)^2$，
解得$OE=1$（负值已舍去），
∴ $OC=2OE=2$，即$\odot O$的半径为2。
【答案】
(1) $AB$的长为$2\sqrt{3}$；
(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的核心是利用垂径定理推导线段相等关系，判断出等边三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理求解，注重考查对基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.7