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1. 如图，CD是$\odot O$的一条直径，A为$\odot O$上一点（不与点C，D重合），将$\odot O$沿CD对折，使点A落在点$A'$处，下列说法中正确的有 （
①$\odot O$是轴对称图形；②$A'M=AM$；③$\overset{\frown}{A'D}=\overset{\frown}{AD}$；④$\overset{\frown}{A'C}=\overset{\frown}{AC}$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
第1题图 第2题图
A
）①$\odot O$是轴对称图形；②$A'M=AM$；③$\overset{\frown}{A'D}=\overset{\frown}{AD}$；④$\overset{\frown}{A'C}=\overset{\frown}{AC}$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
第1题图 第2题图
答案
1.A
解析
【分析】
解题时可结合圆的轴对称性质和折叠的性质逐一判断各说法：首先回忆圆的轴对称特征判断①；再根据折叠后对应点关于折痕对称，结合垂径定理判断②；最后根据折叠前后重合的弧相等，判断③和④即可。
【解析】
逐个判断4个说法：
① 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因此$\odot O$是轴对称图形，①正确；
② 将圆沿CD对折后点A与$A'$重合，说明CD是线段$AA'$的垂直平分线，因此$A'M=AM$，②正确；
③ 对折后$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{A'D}$完全重合，因此$\overset{\frown}{A'D}=\overset{\frown}{AD}$，③正确；
④ 对折后$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{A'C}$完全重合，因此$\overset{\frown}{A'C}=\overset{\frown}{AC}$，④正确。
综上，4个说法都正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的轴对称性，垂径定理，折叠的性质
【点评】
本题是基础题，侧重对轴对称性质的考查，只要掌握折叠前后对应元素相等、圆的轴对称特征，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
解题时可结合圆的轴对称性质和折叠的性质逐一判断各说法：首先回忆圆的轴对称特征判断①；再根据折叠后对应点关于折痕对称，结合垂径定理判断②；最后根据折叠前后重合的弧相等，判断③和④即可。
【解析】
逐个判断4个说法：
① 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，因此$\odot O$是轴对称图形，①正确；
② 将圆沿CD对折后点A与$A'$重合，说明CD是线段$AA'$的垂直平分线，因此$A'M=AM$，②正确；
③ 对折后$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{A'D}$完全重合，因此$\overset{\frown}{A'D}=\overset{\frown}{AD}$，③正确；
④ 对折后$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{A'C}$完全重合，因此$\overset{\frown}{A'C}=\overset{\frown}{AC}$，④正确。
综上，4个说法都正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的轴对称性，垂径定理，折叠的性质
【点评】
本题是基础题，侧重对轴对称性质的考查，只要掌握折叠前后对应元素相等、圆的轴对称特征，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.9
2.(长沙中考)如图，AB为$\odot O$的弦，$OC⊥ AB$于点C，连接OA，OB，若$AB=OA$，$AC=3$，则OA的长为
6
.答案
2.6
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：OC垂直于弦AB且过圆心O，首先想到运用垂径定理，得到AB和AC的数量关系，先求出AB的长度；再结合已知条件AB=OA，通过等量代换即可求出OA的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴根据垂径定理，点C是AB的中点，即AB=2AC，
∵AC=3，
∴AB=2×3=6，
又
∵AB=OA，
∴OA=6。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、等量代换
【点评】
本题是圆相关的基础题型，核心考查垂径定理的应用，解题的关键是识别出垂径定理的适用条件，快速得到弦长与半弦长的关系，再结合已知等量关系求解即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题干条件：OC垂直于弦AB且过圆心O，首先想到运用垂径定理，得到AB和AC的数量关系，先求出AB的长度；再结合已知条件AB=OA，通过等量代换即可求出OA的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴根据垂径定理，点C是AB的中点，即AB=2AC，
∵AC=3，
∴AB=2×3=6，
又
∵AB=OA，
∴OA=6。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、等量代换
【点评】
本题是圆相关的基础题型，核心考查垂径定理的应用，解题的关键是识别出垂径定理的适用条件，快速得到弦长与半弦长的关系，再结合已知等量关系求解即可。
【难度系数】
0.9
3.(宜宾中考)如图,AB是$\odot O$的弦,半径$OC⊥ AB$于点D.若$AB=8,OC=5$,则OD的长是 (
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
A
)A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
首先观察图形特征，已知半径OC垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被OC平分，先求出AD的长度；再连接半径OA，即可得到直角三角形ODA，已知直角三角形的斜边OA和一条直角边AD的长度，运用勾股定理就能求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，由勾股定理得：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，是圆章节的常考基础题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.8
首先观察图形特征，已知半径OC垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得到AB被OC平分，先求出AD的长度；再连接半径OA，即可得到直角三角形ODA，已知直角三角形的斜边OA和一条直角边AD的长度，运用勾股定理就能求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是$\odot O$的半径，且$OC⊥ AB$，
根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
∵OA、OC均为$\odot O$的半径，
∴$OA=OC=5$，
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，由勾股定理得：$OD^2+AD^2=OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题型，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，是圆章节的常考基础题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.8
4.如图，AB是$\odot O$的一条弦，$OD⊥ AB$于点C，交$\odot O$于点D，连接OA。若$AB=4$，$CD=1$，则$\odot O$的半径为（
A.$5$
B.$\sqrt{6}$
C.$3$
D.$\dfrac{5}{2}$
D
）A.$5$
B.$\sqrt{6}$
C.$3$
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
4.D
解析
【分析】
首先观察图形，已知OD垂直弦AB，可优先运用垂径定理得到AB被平分，求出AC的长度；要求圆的半径，可设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAC的各边长，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD是$\odot O$的半径
∴根据垂径定理，$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$，
∵$CD=1$，
∴$OC = OD - CD = r - 1$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
代入得：$r^2 = (r-1)^2 + 2^2$
展开右边：$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 4$
移项化简得：$2r = 5$
解得：$r = \frac{5}{2}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的常规题型，将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数列方程求解半径是这类问题的常用方法，解题的关键是利用垂径定理得到弦长的一半，构造直角三角形列式计算。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，已知OD垂直弦AB，可优先运用垂径定理得到AB被平分，求出AC的长度；要求圆的半径，可设半径为r，用含r的式子表示出直角三角形OAC的各边长，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OD是$\odot O$的半径
∴根据垂径定理，$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×4=2$
设$\odot O$的半径为r，则$OA=OD=r$，
∵$CD=1$，
∴$OC = OD - CD = r - 1$
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$
代入得：$r^2 = (r-1)^2 + 2^2$
展开右边：$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 4$
移项化简得：$2r = 5$
解得：$r = \frac{5}{2}$
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是垂径定理应用的常规题型，将垂径定理与勾股定理结合，通过设未知数列方程求解半径是这类问题的常用方法，解题的关键是利用垂径定理得到弦长的一半，构造直角三角形列式计算。
【难度系数】
0.7
5.如图，OA=OB，AB交$\odot O$于点C，D，OE是半径，且$OE⊥ AB$于点F.
(1)求证:$AC=BD$.
(2)若$OF=2EF$，$CD=8$，求$\odot O$直径的长.
(1)求证:$AC=BD$.
(2)若$OF=2EF$，$CD=8$，求$\odot O$直径的长.
答案
5.解:(1)证明:$\because OE⊥ AB$,且OE过圆心O,$\therefore CF=DF$.$\because OA=OB,OE⊥ AB,\therefore AF=BF. \therefore AF-CF=BF-DF.$$\therefore AC=BD.$
(2)连接OC,设$\odot O$的半径是r.$\because OF=2EF$,$OF+EF=OE=r$,$\therefore OF=\frac{2}{3}r$.$\because CD=8$,$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=4. \therefore r^2=4^2+(\frac{2}{3}r)^2. \therefore r=\frac{12\sqrt{5}}{5}$或$r=-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不符合题意,舍去).$\therefore \odot O$的直径是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$.
(2)连接OC,设$\odot O$的半径是r.$\because OF=2EF$,$OF+EF=OE=r$,$\therefore OF=\frac{2}{3}r$.$\because CD=8$,$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=4. \therefore r^2=4^2+(\frac{2}{3}r)^2. \therefore r=\frac{12\sqrt{5}}{5}$或$r=-\frac{12\sqrt{5}}{5}$(不符合题意,舍去).$\therefore \odot O$的直径是$\frac{24\sqrt{5}}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证AC=BD，首先利用等腰三角形三线合一性质，由OA=OB、OE⊥AB可推出AF=BF；再根据垂径定理，由OE过圆心且垂直于弦CD推出CF=DF，最后通过两个等式作差即可得到结论。
(2) 求圆的直径可先求半径，设半径为r，根据OF=2EF结合OE=r表示出OF的长度；再由垂径定理得到CF是CD的一半，连接OC后在直角三角形OCF中用勾股定理列方程求出半径，乘2即可得到直径。
【解析】
(1) 证明：$\because OE⊥ AB$,且OE过圆心O,根据垂径定理可得$CF=DF$。
$\because OA=OB,OE⊥ AB$,根据等腰三角形三线合一的性质可得$AF=BF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
(2) 连接OC,设$\odot O$的半径是$r$，则$OE=r$。
$\because OF=2EF$,$OF+EF=OE=r$,$\therefore OF=\frac{2}{3}r$。
$\because CD=8$，$OE⊥CD$，由垂径定理得$CF=\frac{1}{2}CD=4$。
在$Rt△ OCF$中，根据勾股定理有$OC^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(\frac{2}{3}r)^2$，
解得$r=\frac{12\sqrt{5}}{5}$（$r=-\frac{12\sqrt{5}}{5}$不符合题意，舍去）。
$\therefore \odot O$的直径为$2r=\frac{24\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题核心是灵活运用垂径定理得到相等线段，第二问将几何计算和方程思想结合，是圆中线段计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证AC=BD，首先利用等腰三角形三线合一性质，由OA=OB、OE⊥AB可推出AF=BF；再根据垂径定理，由OE过圆心且垂直于弦CD推出CF=DF，最后通过两个等式作差即可得到结论。
(2) 求圆的直径可先求半径，设半径为r，根据OF=2EF结合OE=r表示出OF的长度；再由垂径定理得到CF是CD的一半，连接OC后在直角三角形OCF中用勾股定理列方程求出半径，乘2即可得到直径。
【解析】
(1) 证明：$\because OE⊥ AB$,且OE过圆心O,根据垂径定理可得$CF=DF$。
$\because OA=OB,OE⊥ AB$,根据等腰三角形三线合一的性质可得$AF=BF$。
$\therefore AF-CF=BF-DF$，即$AC=BD$。
(2) 连接OC,设$\odot O$的半径是$r$，则$OE=r$。
$\because OF=2EF$,$OF+EF=OE=r$,$\therefore OF=\frac{2}{3}r$。
$\because CD=8$，$OE⊥CD$，由垂径定理得$CF=\frac{1}{2}CD=4$。
在$Rt△ OCF$中，根据勾股定理有$OC^2=CF^2+OF^2$，
代入得$r^2=4^2+(\frac{2}{3}r)^2$，
解得$r=\frac{12\sqrt{5}}{5}$（$r=-\frac{12\sqrt{5}}{5}$不符合题意，舍去）。
$\therefore \odot O$的直径为$2r=\frac{24\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\frac{24\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题型，解题核心是灵活运用垂径定理得到相等线段，第二问将几何计算和方程思想结合，是圆中线段计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
6. 
，$\odot O$的直径CD过弦AB的中点E，且$CE=2$，$DE=8$，则AB的长为
，$\odot O$的直径CD过弦AB的中点E，且$CE=2$，$DE=8$，则AB的长为8
。答案
6.8
解析
【分析】
解题时首先从已知的CE、DE长度出发，先求出圆的直径和半径；再结合“直径过弦AB的中点”这一条件，利用垂径定理的推论得到CD与AB垂直，构造出直角三角形；最后通过勾股定理求出半弦长，乘2即可得到AB的总长度。
【解析】
解：首先计算$\odot O$的直径长：
$CD = CE + DE = 2 + 8 = 10$，
∴$\odot O$的半径$OB = OC = 5$，
则$OE = OC - CE = 5 - 2 = 3$。
∵直径CD过弦AB的中点E，
根据垂径定理推论可得：$CD⊥ AB$，$AB = 2BE$，$∠ OEB = 90°$。
在$Rt△ OEB$中，由勾股定理得：
$BE = \sqrt{OB^2 - OE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$，
∴$AB = 2× BE = 2× 4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于圆中弦长计算的常规基础题，核心是将“直径过弦中点”的条件通过垂径定理转化为垂直关系，再结合勾股定理求解，掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的CE、DE长度出发，先求出圆的直径和半径；再结合“直径过弦AB的中点”这一条件，利用垂径定理的推论得到CD与AB垂直，构造出直角三角形；最后通过勾股定理求出半弦长，乘2即可得到AB的总长度。
【解析】
解：首先计算$\odot O$的直径长：
$CD = CE + DE = 2 + 8 = 10$，
∴$\odot O$的半径$OB = OC = 5$，
则$OE = OC - CE = 5 - 2 = 3$。
∵直径CD过弦AB的中点E，
根据垂径定理推论可得：$CD⊥ AB$，$AB = 2BE$，$∠ OEB = 90°$。
在$Rt△ OEB$中，由勾股定理得：
$BE = \sqrt{OB^2 - OE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$，
∴$AB = 2× BE = 2× 4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题属于圆中弦长计算的常规基础题，核心是将“直径过弦中点”的条件通过垂径定理转化为垂直关系，再结合勾股定理求解，掌握垂径定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液体已经过半，最大深度CD=7 cm，则截面圆中弦AB的长为（
A.4 cm
B.$4\sqrt{6}$ cm
C.$2\sqrt{21}$ cm
D.$2\sqrt{29}$ cm
C
）A.4 cm
B.$4\sqrt{6}$ cm
C.$2\sqrt{21}$ cm
D.$2\sqrt{29}$ cm
答案
7.C
解析
【分析】
本题是圆内弦长计算问题，可结合垂径定理与勾股定理求解。首先明确已知条件：圆的半径为5cm，过圆心的线段CD垂直于弦AB，液体深度CD=7cm。第一步先计算圆心O到弦AB的距离OC，再连接半径构造直角三角形，用勾股定理求出弦长的一半，最后乘2即可得到AB的长度。
【解析】
由题意得，圆O的半径$OA=OD=5\mathrm{cm}$，
∵$CD=7\mathrm{cm}$，
∴圆心O到弦AB的距离$OC=CD-OD=7-5=2\mathrm{cm}$，
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得CD平分AB，即$AB=2AC$，且$△ OAC$为直角三角形，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\mathrm{cm}$，
∴$AB=2AC=2\sqrt{21}\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心考查垂径定理的应用，解题关键是找到圆心到弦的距离，构造直角三角形结合勾股定理计算，掌握垂径定理的内容是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是圆内弦长计算问题，可结合垂径定理与勾股定理求解。首先明确已知条件：圆的半径为5cm，过圆心的线段CD垂直于弦AB，液体深度CD=7cm。第一步先计算圆心O到弦AB的距离OC，再连接半径构造直角三角形，用勾股定理求出弦长的一半，最后乘2即可得到AB的长度。
【解析】
由题意得，圆O的半径$OA=OD=5\mathrm{cm}$，
∵$CD=7\mathrm{cm}$，
∴圆心O到弦AB的距离$OC=CD-OD=7-5=2\mathrm{cm}$，
∵$CD⊥AB$，根据垂径定理可得CD平分AB，即$AB=2AC$，且$△ OAC$为直角三角形，
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}\mathrm{cm}$，
∴$AB=2AC=2\sqrt{21}\mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心考查垂径定理的应用，解题关键是找到圆心到弦的距离，构造直角三角形结合勾股定理计算，掌握垂径定理的内容是解题的基础。
【难度系数】
0.7
8.【数学文化】“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6 m时，水面下盛水筒的最大深度为1 m(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m，则水面下盛水筒的最大深度为多少？
(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m，则水面下盛水筒的最大深度为多少？
答案
8.解:(1)过点O作$OD⊥ AB$于点E,交$\odot O$于点D,则$AE=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$,$DE=1\ \mathrm{m}$. 设圆的半径为r m,在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$AE^2+OE^2=OA^2$,$\therefore 3^2+(r-1)^2=r^2$,解得$r=5. \therefore$该圆的半径为5 m.
(2)当$AB=8\ \mathrm{m}$时,$AE=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$AE^2+OE^2=OA^2$,$\therefore 4^2+OE^2=5^2$,$\therefore OE=3\ \mathrm{m}$.$\therefore ED=5-3=2(\mathrm{m})$.故水面下盛水筒的最大深度为2 m.
(2)当$AB=8\ \mathrm{m}$时,$AE=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△ AOE$中,$AE^2+OE^2=OA^2$,$\therefore 4^2+OE^2=5^2$,$\therefore OE=3\ \mathrm{m}$.$\therefore ED=5-3=2(\mathrm{m})$.故水面下盛水筒的最大深度为2 m.
解析
【分析】
(1) 涉及圆的弦长问题，优先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线，可得到由半弦长、弦心距、圆半径构成的直角三角形，再结合勾股定理求解未知量。本题中水面下盛水筒的最大深度就是垂直于弦的半径位于水面下方的部分，设半径为r，可表示出弦心距，代入勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 弦长变化后，依旧用垂径定理先求出新的弦心距，再用半径减去弦心距，就能得到此时水面下的最大深度。
【解析】
(1) 过点O作$OD⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D，根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$，由题意得水面下最大深度$DE=1\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OE=OD-DE=(r-1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=OA^2$，
代入数据：$3^2+(r-1)^2=r^2$，
展开化简得：$9+r^2-2r+1=r^2$，解得$r=5$。
(2) 当弦AB长为8 m时，由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，
圆的半径$OA=5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$4^2+OE^2=5^2$，
计算得：$OE^2=25-16=9$，解得$OE=3\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负解），
此时水面下最大深度$ED=OD-OE=5-3=2(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 该圆的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 水面下盛水筒的最大深度为$\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理的应用
【点评】
本题结合传统科技文化背景考查圆的实际应用，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形，将实际问题转化为几何方程求解，能有效考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 涉及圆的弦长问题，优先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线，可得到由半弦长、弦心距、圆半径构成的直角三角形，再结合勾股定理求解未知量。本题中水面下盛水筒的最大深度就是垂直于弦的半径位于水面下方的部分，设半径为r，可表示出弦心距，代入勾股定理列方程即可求出半径。
(2) 弦长变化后，依旧用垂径定理先求出新的弦心距，再用半径减去弦心距，就能得到此时水面下的最大深度。
【解析】
(1) 过点O作$OD⊥ AB$于点E，交$\odot O$于点D，根据垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$，由题意得水面下最大深度$DE=1\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OE=OD-DE=(r-1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$AE^2+OE^2=OA^2$，
代入数据：$3^2+(r-1)^2=r^2$，
展开化简得：$9+r^2-2r+1=r^2$，解得$r=5$。
(2) 当弦AB长为8 m时，由垂径定理得$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，
圆的半径$OA=5\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得$4^2+OE^2=5^2$，
计算得：$OE^2=25-16=9$，解得$OE=3\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负解），
此时水面下最大深度$ED=OD-OE=5-3=2(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) 该圆的半径为$\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；
(2) 水面下盛水筒的最大深度为$\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
垂径定理，勾股定理的应用
【点评】
本题结合传统科技文化背景考查圆的实际应用，解题核心是通过垂径定理构造直角三角形，将实际问题转化为几何方程求解，能有效考查学生的数学建模能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
