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14.(10分)先化简,再求值:$[(x-y)^2 - x(3x - 2y) + (x + y)(x - y)] ÷ 2x$,其中$x=1$,$y=-2$.
答案
14.化简的结果为$-\dfrac{1}{2}x$,值为$-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路如下：第一步先处理中括号内的整式运算，分别利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式将各项展开；第二步合并中括号内的同类项，得到最简的整式；第三步按照多项式除以单项式的法则计算除法，得到最终的化简结果；最后将x的取值代入化简后的式子计算即可，化简过程中y会被消去，无需代入y的值，能减少计算量。
【解析】
解：先化简原式：
第一步，展开中括号内的各项：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
$-x(3x-2y) = -3x^2 + 2xy$
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$
将上述结果代入中括号内合并同类项：
$\begin{aligned}&x^2 - 2xy + y^2 - 3x^2 + 2xy + x^2 - y^2\\=&(x^2 - 3x^2 + x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 - y^2)\\=&-x^2\end{aligned}$
第二步，计算除法：
原式$= (-x^2) ÷ 2x = -\dfrac{1}{2}x$
第三步，代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$= -\dfrac{1}{2} × 1 = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简的结果为$-\dfrac{1}{2}x$，值为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 整式混合运算 2. 完全平方公式 3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是正确运用整式运算法则和乘法公式展开计算，要特别注意去括号时的符号问题，先化简再代值的方式能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
这是一道整式化简求值题，解题思路如下：第一步先处理中括号内的整式运算，分别利用完全平方公式、单项式乘多项式法则、平方差公式将各项展开；第二步合并中括号内的同类项，得到最简的整式；第三步按照多项式除以单项式的法则计算除法，得到最终的化简结果；最后将x的取值代入化简后的式子计算即可，化简过程中y会被消去，无需代入y的值，能减少计算量。
【解析】
解：先化简原式：
第一步，展开中括号内的各项：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
$-x(3x-2y) = -3x^2 + 2xy$
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$
将上述结果代入中括号内合并同类项：
$\begin{aligned}&x^2 - 2xy + y^2 - 3x^2 + 2xy + x^2 - y^2\\=&(x^2 - 3x^2 + x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 - y^2)\\=&-x^2\end{aligned}$
第二步，计算除法：
原式$= (-x^2) ÷ 2x = -\dfrac{1}{2}x$
第三步，代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$= -\dfrac{1}{2} × 1 = -\dfrac{1}{2}$
【答案】
化简的结果为$-\dfrac{1}{2}x$，值为$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 整式混合运算 2. 完全平方公式 3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是正确运用整式运算法则和乘法公式展开计算，要特别注意去括号时的符号问题，先化简再代值的方式能有效降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
15.(12分)某种植基地有大、小两块长方形试验田,大长方形试验田种植了$(3a - b)$排火龙果幼苗,每排种植$(3a + 2b)$株,小长方形试验田种植了$(a - b)$排火龙果幼苗,每排种植$(a + b)$株,其中$a ＞ b ＞ 0$.
(1)大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少株火龙果幼苗?
(2)当$a = 4, b = 3$时,大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少株火龙果幼苗?
(1)大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少株火龙果幼苗?
(2)当$a = 4, b = 3$时,大长方形试验田比小长方形试验田多种植多少株火龙果幼苗?
答案
15.(1)大长方形试验田比小长方形试验田多种植$(8a^2+3ab-b^2)$株火龙果幼苗
(2)大长方形试验田比小长方形试验田多种植155株火龙果幼苗
(2)大长方形试验田比小长方形试验田多种植155株火龙果幼苗
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“总种植株数=排数×每排种植株数”的数量关系。对于第(1)问，先分别计算大、小两块试验田的总种植株数，再用大试验田的株数减去小试验田的株数，通过多项式乘法、去括号、合并同类项化简得到结果；第(2)问只需将a、b的取值代入第(1)问得到的化简式中，计算出数值即可。
【解析】
(1) 先计算大长方形试验田的总株数：
$(3a - b)(3a + 2b) = 3a·3a + 3a·2b - b·3a - b·2b = 9a^2 + 6ab - 3ab - 2b^2 = 9a^2 + 3ab - 2b^2$
再计算小长方形试验田的总株数，利用平方差公式：
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
则大试验田比小试验田多种的株数为：
$\begin{aligned}&(9a^2 + 3ab - 2b^2) - (a^2 - b^2)\\=&9a^2 + 3ab - 2b^2 - a^2 + b^2\\=&8a^2 + 3ab - b^2\end{aligned}$
(2) 将$a = 4$，$b = 3$代入$8a^2 + 3ab - b^2$得：
$\begin{aligned}&8×4^2 + 3×4×3 - 3^2\\=&8×16 + 36 - 9\\=&128 + 36 - 9\\=&155\end{aligned}$
【答案】
(1) 大长方形试验田比小长方形试验田多种植$(8a^2+3ab-b^2)$株火龙果幼苗
(2) 大长方形试验田比小长方形试验田多种植155株火龙果幼苗
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题结合实际场景考查整式的运算应用，核心是正确根据数量关系列代数式，运算时要注意多项式乘法的展开规则和去括号的符号变化，代入求值时计算要准确，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确“总种植株数=排数×每排种植株数”的数量关系。对于第(1)问，先分别计算大、小两块试验田的总种植株数，再用大试验田的株数减去小试验田的株数，通过多项式乘法、去括号、合并同类项化简得到结果；第(2)问只需将a、b的取值代入第(1)问得到的化简式中，计算出数值即可。
【解析】
(1) 先计算大长方形试验田的总株数：
$(3a - b)(3a + 2b) = 3a·3a + 3a·2b - b·3a - b·2b = 9a^2 + 6ab - 3ab - 2b^2 = 9a^2 + 3ab - 2b^2$
再计算小长方形试验田的总株数，利用平方差公式：
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
则大试验田比小试验田多种的株数为：
$\begin{aligned}&(9a^2 + 3ab - 2b^2) - (a^2 - b^2)\\=&9a^2 + 3ab - 2b^2 - a^2 + b^2\\=&8a^2 + 3ab - b^2\end{aligned}$
(2) 将$a = 4$，$b = 3$代入$8a^2 + 3ab - b^2$得：
$\begin{aligned}&8×4^2 + 3×4×3 - 3^2\\=&8×16 + 36 - 9\\=&128 + 36 - 9\\=&155\end{aligned}$
【答案】
(1) 大长方形试验田比小长方形试验田多种植$(8a^2+3ab-b^2)$株火龙果幼苗
(2) 大长方形试验田比小长方形试验田多种植155株火龙果幼苗
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题结合实际场景考查整式的运算应用，核心是正确根据数量关系列代数式，运算时要注意多项式乘法的展开规则和去括号的符号变化，代入求值时计算要准确，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
16.(14分)我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休.”一个长为4b、宽为a的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2所示的图形.请你利用“数形结合”的思想解决下列问题：
(1)观察图形，用一个等式表示$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$三者之间的数量关系为
(2)运用(1)中的结论，当$x-y=7,xy=-6$时，求$x+y$的值；
(3)若$(m-2023)(2024-m)=-4$，求$(m-2023)^2+(2024-m)^2$的值.
(1)观察图形，用一个等式表示$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$三者之间的数量关系为
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
；(2)运用(1)中的结论，当$x-y=7,xy=-6$时，求$x+y$的值；
(3)若$(m-2023)(2024-m)=-4$，求$(m-2023)^2+(2024-m)^2$的值.
答案
16.(1)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$ (2)$\pm5$ (3)9
解析
【分析】
(1) 观察图2：边长为$(a+b)$的大正方形中，阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，大正方形面积减去4个小长方形的面积等于阴影正方形的面积，据此推导三者数量关系；
(2) 对(1)的结论变形可得$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，将已知条件代入计算后开平方即可，注意正数的平方根有两个；
(3) 设$a=m-2023$，$b=2024-m$，先求出$a+b$的值，再利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知条件计算即可。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；阴影正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；4个小长方形的总面积为$4ab$。
由图形面积关系可得：$\boldsymbol{(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}$。
(2) 由(1)的结论变形得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，
将$x-y=7$，$xy=-6$代入得：
$(x+y)^2=7^2+4×(-6)=49-24=25$，
开平方得$x+y=\pm\sqrt{25}=\boldsymbol{\pm5}$。
(3) 设$a=m-2023$，$b=2024-m$，
则$a+b=(m-2023)+(2024-m)=1$，且$ab=-4$，
要求的式子为$a^2+b^2$，由完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入得：$a^2+b^2=1^2-2×(-4)=1+8=\boldsymbol{9}$。
【答案】
(1)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；(2)$\pm5$；(3)$9$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，换元法
【点评】
本题以数形结合为背景，考查完全平方公式的推导与变形应用，题目设置由浅入深，既需要学生能通过图形面积关系推导公式，也需要学生熟练掌握公式的变形技巧，解题时注意平方运算的结果非负，开平方时不要漏解，遇到复杂的代数式可通过换元法简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图2：边长为$(a+b)$的大正方形中，阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，大正方形面积减去4个小长方形的面积等于阴影正方形的面积，据此推导三者数量关系；
(2) 对(1)的结论变形可得$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，将已知条件代入计算后开平方即可，注意正数的平方根有两个；
(3) 设$a=m-2023$，$b=2024-m$，先求出$a+b$的值，再利用完全平方公式变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入已知条件计算即可。
【解析】
(1) 图2中大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；阴影正方形的边长为$a-b$，面积为$(a-b)^2$；4个小长方形的总面积为$4ab$。
由图形面积关系可得：$\boldsymbol{(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}$。
(2) 由(1)的结论变形得：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，
将$x-y=7$，$xy=-6$代入得：
$(x+y)^2=7^2+4×(-6)=49-24=25$，
开平方得$x+y=\pm\sqrt{25}=\boldsymbol{\pm5}$。
(3) 设$a=m-2023$，$b=2024-m$，
则$a+b=(m-2023)+(2024-m)=1$，且$ab=-4$，
要求的式子为$a^2+b^2$，由完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，
代入得：$a^2+b^2=1^2-2×(-4)=1+8=\boldsymbol{9}$。
【答案】
(1)$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；(2)$\pm5$；(3)$9$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，换元法
【点评】
本题以数形结合为背景，考查完全平方公式的推导与变形应用，题目设置由浅入深，既需要学生能通过图形面积关系推导公式，也需要学生熟练掌握公式的变形技巧，解题时注意平方运算的结果非负，开平方时不要漏解，遇到复杂的代数式可通过换元法简化计算。
【难度系数】
0.7
