1.计算$x^3 · x^3$的结果是 （）

A.$2x^3$
B.$2x^6$
C.$x^6$
D.$x^9$

1.C

【分析】
首先判断本题的运算类型：题目是两个同底数幂相乘的运算，解题时先回忆同底数幂的乘法运算法则，同时注意区分同底数幂乘法和合并同类项的规则：同底数幂相乘是底数不变，指数相加，系数相乘；而合并同类项才是系数相加，指数不变。本题是乘法运算，所以套用同底数幂乘法法则计算即可，再对应选项选出答案。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，公式为$a^m · a^n = a^{m+n}$（$a ≠ 0$，$m$、$n$为正整数）。
本题中$a=x$，$m=3$，$n=3$，代入公式得：
$x^3 · x^3 = x^{3+3} = x^6$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂的乘法运算规则，解题时要注意与合并同类项、幂的乘方等运算规则做好区分，避免出现指数相乘、系数相加的错误。
【难度系数】
0.9

2.下列计算结果为$a^6$的是（）

A.$a^2 · a^3$
B.$a^{12} ÷ a^2$
C.$a^3 + a^3$
D.$(a^2)^3$

2.D

【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一运用对应运算法则计算每个选项的结果，再筛选出结果为$a^6$的选项。需要用到的核心规则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②同底数幂相除，底数不变，指数相减；③合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；④幂的乘方，底数不变，指数相乘。
【解析】
我们逐个计算选项：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3}=a^5$，结果不是$a^6$，不符合要求；
选项B：根据同底数幂的除法法则，$a^{12} ÷ a^2 = a^{12-2}=a^{10}$，结果不是$a^6$，不符合要求；
选项C：根据合并同类项法则，$a^3 + a^3 = (1+1)a^3=2a^3$，结果不是$a^6$，不符合要求；
选项D：根据幂的乘方法则，$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$，结果符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对幂运算相关法则以及同类项合并规则的掌握，解题关键是区分不同运算对应的指数计算规则，避免混淆法则即可快速得分。
【难度系数】
0.9

3.下列各式与$a-b-c$的值不相等的是（）

A.$a-(b+c)$
B.$a+(-b-c)$
C.$a-(b-c)$
D.$(-c)+(a-b)$

3.C

【分析】
本题考查去括号法则的应用，解题思路是利用去括号的符号变化规则，将四个选项的式子分别化简，再与原式$a-b-c$对比，找出值不相等的选项即可。去括号核心规则：括号前是正号，去掉括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去掉括号后括号内各项符号都要改变。
【解析】
将各选项逐一化简后与原式$a-b-c$对比：
选项A：$a-(b+c)$，括号前为负号，去括号得$a - b - c$，与原式相等，不符合题意；
选项B：$a+(-b-c)$，括号前为正号，去括号得$a - b - c$，与原式相等，不符合题意；
选项C：$a-(b-c)$，括号前为负号，去括号得$a - b + c$，与原式$a-b-c$不相等，符合题意；
选项D：$(-c)+(a-b)$，两个括号前均为正号，去括号得$-c + a - b$，调整顺序后为$a - b - c$，与原式相等，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查去括号时的符号变化规律，易错点是当括号前为负号时，容易漏改变括号内后一项的符号，熟练掌握去括号规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.若$m,n,p$是正整数，则$(x^m · x^n)^p = (\quad)$

A.$x^m · x^{np}$
B.$x^{mnp}$
C.$x^{mp + np}$
D.$x^{mp · np}$

4.C

【分析】
解题时需先回忆幂的相关运算法则，有两种思考路径：一是先计算括号内的同底数幂乘法，再计算括号外的幂的乘方，化简后对比选项；二是先利用积的乘方法则展开括号，再分别计算幂的乘方，最后合并结果。注意要严格遵循运算规则，不要混淆指数的运算逻辑。
【解析】
方法1：先算括号内再算括号外
1. 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得括号内的结果：
$x^m · x^n = x^{m+n}$
2. 再根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算括号外的运算：
$(x^{m+n})^p = x^{(m+n)p}$
3. 展开指数得最终结果：$x^{(m+n)p}=x^{mp+np}$，对应选项C。
方法2：先展开括号再计算
1. 根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，展开括号：
$(x^m · x^n)^p=(x^m)^p · (x^n)^p$
2. 根据幂的乘方法则分别计算两项：
$(x^m)^p=x^{mp}$，$(x^n)^p=x^{np}$
3. 最后根据同底数幂的乘法法则合并：
$x^{mp} · x^{np}=x^{mp+np}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方
【点评】
本题属于幂运算的基础考查题，解题的关键是准确区分不同幂运算的指数计算规则，避免出现指数直接相乘等常见错误，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.一个“运算转换器”的示意图如图所示.若$m=xy^3$,则输出的结果为（）


A.$x^4y^4$
B.$x^4y^2$
C.$x^3y^2$
D.$x^3y^4$

5.D

【分析】
首先根据运算转换器的流程图梳理运算的先后顺序，列出对应的运算表达式，再将$m=xy^3$代入表达式，结合幂的相关运算法则逐步计算即可得到结果。解题时要注意区分幂的乘除运算对应的指数变化规则，避免计算失误。
【解析】
根据流程图可得，输出结果的运算式为：$\boldsymbol{(m^2 · x^2y^2) ÷ xy^4}$
将$m=xy^3$代入上式计算：
1. 计算$m^2$：
根据积的乘方、幂的乘方法则，$m^2=(xy^3)^2=x^2·(y^3)^2=x^2y^6$
2. 计算乘法运算：
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，$x^2y^6 · x^2y^2 = x^{2+2}y^{6+2}=x^4y^8$
3. 计算除法运算：
根据同底数幂相除，底数不变指数相减，$x^4y^8 ÷ xy^4 = x^{4-1}y^{8-4}=x^3y^4$
因此输出结果为$x^3y^4$。
【答案】
D
【知识点】
幂的运算，整式乘除
【点评】
本题结合运算流程图考查整式的基础运算，解题核心是先根据流程列出正确的运算式，再熟练运用幂的运算法则分步计算，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

6.某同学在计算$-3x^2$乘一个多项式时错误地计算成了加法，得到的答案是$x^2 - x + 1$，由此可以推断该多项式是（）

A.$4x^2 - x + 1$
B.$x^2 - x + 1$
C.$-2x^2 - x + 1$
D.无法确定

6.A

【分析】
解题时先理清题目中的运算关系：题目误将乘法算成加法，也就是$-3x^2$与所求多项式相加的结果是$x^2 - x + 1$。根据加法的互逆关系，求其中一个加数，只需用和减去另一个已知加数，即可列出求多项式的算式，再按照整式加减的规则计算，计算时注意去括号的符号变化，最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
设该多项式为$A$，根据题意可得：
$-3x^2 + A = x^2 - x + 1$
则$A = (x^2 - x + 1) - (-3x^2)$
去括号得：$A = x^2 - x + 1 + 3x^2$
合并同类项得：$A = 4x^2 - x + 1$
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减运算、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用错误运算的关系反推原式，只要掌握整式加减的运算规则，注意去括号时的符号变化，就能顺利解出。
【难度系数】
0.8

7.如图，已知一个长方体盒子的长为$x+3$、宽为$2x$、高为$x$，则这个长方体盒子的表面积为（）


A.$10x^2+18x$
B.$10x^2+12x$
C.$5x^2+18x$
D.$5x^2+12x$

7.A

【分析】
解题时首先回忆长方体的表面积计算公式，明确长方体表面积等于6个面的面积之和，即2倍的（长×宽 + 长×高 + 宽×高）。接下来将题目给出的长、宽、高代入公式，按照整式乘法、整式加减的运算法则逐步化简，最终将计算结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
长方体表面积公式为：$S=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$
已知长为$x+3$，宽为$2x$，高为$x$，代入公式得：
$\begin{aligned}S&=2[(x+3)·2x + (x+3)· x + 2x· x]\\&=2[2x^2+6x + x^2+3x + 2x^2]\\&=2(5x^2+9x)\\&=10x^2+18x\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
长方体表面积计算，整式乘法运算，整式加减运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是对长方体表面积公式的掌握和整式运算能力的考查，计算时注意不要漏乘公式外的系数2，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.8

8.式子$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×\dots×(2^{256}+1)$化简的结果为（）

A.$2^{1024} -1$
B.$2^{1024}+1$
C.$2^{512} -1$
D.$2^{512}+1$

8.C

【分析】观察式子结构可知，每个因式都为“2的幂次+1”的形式，且后一个因式中2的指数是前一个的2倍，符合平方差公式的应用特征，但缺少$(2-1)$这个因式。由于$2-1=1$，乘以1不会改变原式的结果，因此可在原式最左端乘$(2-1)$构造平方差公式的形式，再依次连续应用平方差公式化简即可。
【解析】根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算如下：
因为$2-1=1$，乘以1不改变原式的值，所以：
$\begin{aligned}原式&=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{256}+1)\\&=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{256}+1)\\&=(2^4-1)×(2^4+1)×\dots×(2^{256}+1)\\&\dots\\&=(2^{256})^2-1\\&=2^{512}-1\end{aligned}$
故选C。
【答案】C
【知识点】平方差公式；整式乘法；规律化简
【点评】本题是整式乘法的典型题型，核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是巧妙添加$(2-1)$构造平方差公式的适用条件，连续应用公式即可快速得出结果。
【难度系数】0.6

9.计算：$|-2| + 2^0 =$ .

9.3

【分析】
这道题是实数基础运算题，解题时需分别计算两个运算项再求和。首先回忆绝对值的运算规则：负数的绝对值等于它的相反数，可算出|-2|的结果；再回忆零指数幂的运算规则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可算出2⁰的结果，最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：①计算绝对值：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得$|-2|=2$；
②计算零指数幂：根据零指数幂运算法则$a^0=1(a≠0)$，可得$2^0=1$；
③求和：$2+1=3$。
【答案】
3
【知识点】
绝对值的运算；零指数幂的运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察对基础运算法则的掌握，熟记相关运算规则即可快速得出结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.9

10.计算：$(9m^2n - 6mn^2) ÷ (-3mn) = \_\_\_\_\_\_.$

10.$-3m+2n$

【分析】
本题属于多项式除以单项式的运算，解题思路遵循多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加。计算每一项的除法时，先处理系数的除法，再对同底数幂分别做除法运算，同时要注意每一项的符号，避免符号出错。
【解析】
根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分计算：
$\begin{aligned}(9m^2n - 6mn^2) ÷ (-3mn)&=9m^2n÷(-3mn) + (-6mn^2)÷(-3mn)\\&= [9÷(-3)]·(m^2÷ m)·(n÷ n) + [(-6)÷(-3)]·(m÷ m)·(n^2÷ n)\\&=-3m + 2n\end{aligned}$
【答案】
$-3m+2n$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式除法的基础运算题，核心是熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，计算时需重点关注各项的符号，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.8

11.若$x^m=9,x^n=2$,则$x^{2m-4n}=$.

11.$\dfrac{81}{16}$

【分析】
观察所求代数式的指数为$2m-4n$，结合幂的运算规则，先逆用同底数幂的除法法则，将$x^{2m-4n}$拆分为$x^{2m}÷ x^{4n}$；再逆用幂的乘方法则，将$x^{2m}$转化为$(x^m)^2$，$x^{4n}$转化为$(x^n)^4$，最后代入已知的$x^m$、$x^n$的数值计算即可。
【解析】
解：逆用幂的运算法则对所求式变形：
$x^{2m-4n}=x^{2m}÷ x^{4n}=(x^m)^2÷ (x^n)^4$
将$x^m=9$，$x^n=2$代入上式：
原式$=9^2÷ 2^4=81÷ 16=\dfrac{81}{16}$
【答案】
$\dfrac{81}{16}$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方运算
【点评】
本题核心考查幂的运算法则的逆用，熟练掌握幂运算公式的变形形式，合理拆分所求代数式的指数是解题的关键。
【难度系数】
0.7

12.有甲、乙两个正方形，将正方形乙放在正方形甲的内部得，将正方形甲、乙并列放置后构造新的正方形得.若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和30，则正方形甲、乙的面积之和为.

12.35

【分析】
我们可以先设正方形甲的边长为$a$，正方形乙的边长为$b$（$a＞b＞0$），那么甲的面积为$a^2$，乙的面积为$b^2$，所求的面积之和就是$a^2 + b^2$。第一步先分析图1的阴影面积：乙放在甲内部时，阴影部分是甲去掉乙后剩余的周边区域，整理可得阴影面积等于$(a-b)^2$，对应题目给出的数值5；第二步分析图2的阴影面积：两个正方形并列构造新正方形时，新正方形边长为$a+b$，用新正方形面积减去甲、乙两个正方形的面积，即可得到阴影面积等于$2ab$，对应题目给出的数值30。最后结合完全平方公式变形，就能求出$a^2 + b^2$的值。
【解析】
设正方形甲的边长为$a$，正方形乙的边长为$b$（$a＞b＞0$）。
1. 表示图1的阴影面积：
图1阴影部分面积为甲的面积减去乙覆盖之外的空白面积，整理得：
$S_{\mathrm{阴影}1}=a^2 - 2b(a-b) - b^2 = a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2=5$
展开得：$a^2 + b^2 - 2ab =5$ ①
2. 表示图2的阴影面积：
图2中新构造正方形的边长为$a+b$，阴影部分面积为新正方形面积减去甲、乙的面积：
$S_{\mathrm{阴影}2}=(a+b)^2 - a^2 - b^2=2ab=30$ ②
3. 计算面积之和：
将②代入①得：$a^2 + b^2 -30=5$，解得$a^2 + b^2=35$。
【答案】
35
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，代数式表示面积
【点评】
这道题是几何与代数结合的典型题型，通过设边长将图形面积转化为代数式，再利用完全平方公式变形求解，考查了数形结合的思想，解题关键是正确用代数式表示两个阴影部分的面积。
【难度系数】
0.65

三、解答题(共52分)
13.(16分)计算:
(1)$5a^2b ÷ (-\dfrac{1}{3}ab) · 2ab^2$；
(2)$(x+5)(x-1)$；
(3)$(\dfrac{1}{2}m + n)(m - 2n)$；
(4)$(15x^3y^5 - 10x^4y^4 - 20x^3y^2) ÷ (-5x^3y^2)$。

13.(1)$-30a^2b^2$ (2)$x^2+4x-5$ (3)$\dfrac{1}{2}m^2-2n^2$ (4)$-3y^3+2xy^2+4$

【分析】
这4道小题均为整式运算基础题，解题核心是熟练掌握对应运算法则：1. 整式乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算，系数、同底数幂分别运算，注意符号判断；2. 多项式乘多项式，需用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项；3. 多项式除以单项式，需将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，避免漏项、错算符号。
【解析】
(1) 先算除法再算乘法：
$5a^2b ÷ (-\dfrac{1}{3}ab) · 2ab^2$
$=[5÷(-\dfrac{1}{3})]a^{2-1}b^{1-1} ·2ab^2$
$=-15a·2ab^2$
$=-30a^2b^2$
(2) 按多项式乘多项式法则展开后合并同类项：
$(x+5)(x-1)$
$=x·x +x·(-1)+5·x+5·(-1)$
$=x^2 -x +5x -5$
$=x^2+4x-5$
(3) 按多项式乘多项式法则展开后合并同类项：
$(\dfrac{1}{2}m + n)(m - 2n)$
$=\dfrac{1}{2}m·m +\dfrac{1}{2}m·(-2n)+n·m +n·(-2n)$
$=\dfrac{1}{2}m^2 -mn +mn -2n^2$
$=\dfrac{1}{2}m^2-2n^2$
(4) 多项式每一项分别除以单项式后求和：
$(15x^3y^5 - 10x^4y^4 - 20x^3y^2) ÷ (-5x^3y^2)$
$=15x^3y^5÷(-5x^3y^2) -10x^4y^4÷(-5x^3y^2) -20x^3y^2÷(-5x^3y^2)$
$=-3y^3+2xy^2+4$
【答案】
13.(1)$-30a^2b^2$ (2)$x^2+4x-5$ (3)$\dfrac{1}{2}m^2-2n^2$ (4)$-3y^3+2xy^2+4$
【知识点】
整式乘除运算、多项式乘多项式、整式的除法
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考察运算法则的掌握程度，计算时注意规范运算顺序、准确判断符号，同时合并同类项时不要漏项，即可顺利得分。
【难度系数】
0.85