三、解答题(共38分)
13.（10分）如图，在平面直角坐标系内有△ABC，请作出它关于y轴的对称图形△A'B'C'，其中A'(,),B'(,),C'(,)。

$A'(2,3)$，$B'(4,-1)$，$C'(-2,0)$。

【分析】
要作出△ABC关于y轴的对称图形，首先需要确定三个顶点A、B、C关于y轴的对称点坐标，再顺次连接各对称点即可。关于y轴对称的点的坐标规律是：纵坐标保持不变，横坐标变为原来的相反数，我们根据这个规律就可以直接求出三个对称点的坐标。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点A坐标为(-2,3)，则其关于y轴的对称点A'的横坐标为-(-2)=2，纵坐标保持3不变，即A'(2,3)；
已知点B坐标为(-4,-1)，则其关于y轴的对称点B'的横坐标为-(-4)=4，纵坐标保持-1不变，即B'(4,-1)；
已知点C坐标为(2,0)，则其关于y轴的对称点C'的横坐标为-2，纵坐标保持0不变，即C'(-2,0)。
在坐标系中描出A'、B'、C'三个点，顺次连接即可得到对称图形△A'B'C'。
【答案】
A'(2,3)，B'(4,-1)，C'(-2,0)
【知识点】
1. 关于y轴对称的坐标特征
2. 轴对称作图
【点评】
本题属于基础题，核心考查轴对称变换下的坐标变化规律，熟练掌握对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

14.（12分）如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ BAC=120°$，$AD$是$BC$边上的中线，且$BD=BE$，$CD$的垂直平分线$MF$交$AC$于点$F$，交$BC$于点$M$，连接$DE$，$DF$.
(1)求$∠ ADE$的度数；
(2)求证：$△ ADF$是等边三角形.

14.(1)$15°$
(2)略

【分析】
(1) 求∠ADE的度数，首先利用等腰△ABC的内角关系求出底角∠B的度数，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到AD⊥BC即∠ADB=90°；接着由BD=BE可知△BDE是等腰三角形，计算出∠BDE的度数，最后用∠ADB减去∠BDE即可得到∠ADE的度数。
(2) 证明△ADF是等边三角形，首先利用线段垂直平分线的性质得到DF=CF，推出∠FDC=∠C=30°，进而算出∠ADF=60°；再结合AD平分∠BAC得到∠DAF=60°，根据“有两个内角为60°的三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1) 解：
∵ $AB = AC$，$∠ BAC=120°$，
∴ $∠ B = ∠ C = \frac{1}{2}×(180° - 120°) = 30°$，
∵ $AB=AC$，$AD$是$BC$边上的中线，
∴ $AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，
∵ $BD=BE$，
∴ $∠ BDE = ∠ BED = \frac{1}{2}×(180° - ∠ B) = \frac{1}{2}×(180° - 30°)=75°$，
∴ $∠ ADE = ∠ ADB - ∠ BDE = 90° - 75° = 15°$。
(2) 证明：
∵ $MF$是$CD$的垂直平分线，
∴ $DF=CF$，
∴ $∠ FDC = ∠ C = 30°$，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ $∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ADF = ∠ ADC - ∠ FDC = 90° - 30° = 60°$，
∵ $AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$的中线，
∴ $AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ DAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×120° = 60°$，
在$△ ADF$中，$∠ DAF=∠ ADF=60°$，
∴ $∠ AFD=180° - 60° - 60° = 60°$，
∴ $△ ADF$的三个内角均为$60°$，即$△ ADF$是等边三角形。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$
(2) $△ ADF$是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形、线段垂直平分线及等边三角形的相关性质，解题核心是熟练运用相关定理推导角度关系，是典型的几何基础综合题型，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

15.(16分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,AB=BC,点A,B分别在坐标轴上.
(1)如图1,若点C的横坐标为-3,则点B的坐标为.
(2)如图2,BC交x轴于点M,过点C作$CD⊥ x$轴于点D,若AM平分$∠ BAC$,试猜想线段CD与AM之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,点A在x轴上,且$A(6,0)$,$OB=BF$,$∠ OBF=90°$,连接CF交y轴于点P,当点B在y轴的正半轴上运动时,BP的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变化,请求出BP的长度.

15.(1)$(0,3)$
(2)$AM=2CD$.理由略
(3)$BP$的长度不发生变化,$BP=3$

【分析】
(1) 过点C作CE⊥y轴于E，结合∠ABC=90°可推导得∠OAB=∠CBE，利用AAS证△AOB≌△BEC，由点C横坐标可得CE长度，对应边OB=CE即可求出B点坐标；
(2) 猜想AM=2CD。解题思路：延长CD交AB延长线于点E，先利用角平分线和垂直的条件，以ASA证△ACD≌△AED，得CE=2CD；再证△ABM≌△CBE，得AM=CE，即可推出数量关系；
(3) 猜想BP长度不变。解题思路：过点C作CH⊥y轴于H，先证△ABO≌△BCH得BH=AO=6、CH=OB，结合OB=BF得CH=BF，再证△CHP≌△FBP得BP=HP，即可求出BP的定值。
【解析】
(1) 过点C作CE⊥y轴于点E，
∴∠CEB=∠BOA=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBE=90°，又∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBE。
在△AOB和△BEC中：
$\{\begin{array}{l}∠ BOA=∠ CEB\\∠ OAB=∠ CBE\\AB=BC\end{array} $
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB=CE。
∵点C的横坐标为-3，
∴CE=3，
∴OB=3，即B点坐标为$(0,3)$。
(2) $AM=2CD$，理由如下：
延长CD交AB的延长线于点E。
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD。
∵CD⊥x轴，
∴∠ADC=∠ADE=90°。
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠ CAD=∠ EAD\\AD=AD\\∠ ADC=∠ ADE\end{array} $
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=DE，即$CE=2CD$。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM=∠CBE=90°，又∠BAM+∠AMB=90°，∠BCD+∠CMD=90°，∠AMB=∠CMD，
∴∠BAM=∠BCD。
在△ABM和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BAM=∠ BCE\\AB=BC\\∠ ABM=∠ CBE\end{array} $
∴△ABM≌△CBE（ASA），
∴AM=CE，
∴$AM=2CD$。
(3) BP的长度不发生变化，理由如下：
过点C作CH⊥y轴于点H，
∴∠CHB=∠BOA=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，又∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH。
在△ABO和△BCH中：
$\{\begin{array}{l}∠ BOA=∠ CHB\\∠ OAB=∠ CBH\\AB=BC\end{array} $
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴BH=AO，CH=OB。
∵$A(6,0)$，
∴AO=6，
∴BH=6。
∵OB=BF，
∴CH=BF。
在△CHP和△FBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ CHP=∠ FBP=90°\\∠ CPH=∠ FPB\\CH=BF\end{array} $
∴△CHP≌△FBP（AAS），
∴BP=HP。
∴$BP=\frac{1}{2}BH=\frac{1}{2}×6=3$，即BP长度为定值3。
【答案】
(1)$(0,3)$；(2)$AM=2CD$；(3)$BP$的长度不发生变化，$BP=3$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题为三角形综合题，围绕全等三角形的应用展开，解题核心是根据线段倍数关系、定值问题的考查逻辑，合理构造全等三角形转化线段关系，是几何部分的常考综合题型。
【难度系数】
0.6