登录
1.下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不属于轴对称图形的是（
A
B
C D
D
）A
B
C D
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是先明确轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需要逐个对四个选项的图案进行验证，看是否存在这样的一条直线，使得图案沿直线折叠后两旁部分完全重合，找不到对应直线的就是本题要选的答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A的京剧脸谱：沿竖直方向的中线折叠，脸谱左右两边能够完全重合，属于轴对称图形；
2. 选项B的传统花纹：沿竖直方向的中线折叠，花纹左右两边能够完全重合，属于轴对称图形；
3. 选项C的装饰图案：沿竖直中线或水平中线折叠，图案两旁的部分都能完全重合，属于轴对称图形；
4. 选项D的太极图：不存在能让图案折叠后两旁完全重合的直线，折叠后黑白区域和内部的小圆无法对应重合，不属于轴对称图形。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称图形的识别
【点评】
本题结合我国传统经典图案考查轴对称图形的判断，既考查了基础知识点的掌握，又能让学生感受到传统文化中蕴含的数学元素，题目偏向基础，只要牢记轴对称图形的核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需要逐个对四个选项的图案进行验证，看是否存在这样的一条直线，使得图案沿直线折叠后两旁部分完全重合，找不到对应直线的就是本题要选的答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
1. 选项A的京剧脸谱：沿竖直方向的中线折叠，脸谱左右两边能够完全重合，属于轴对称图形；
2. 选项B的传统花纹：沿竖直方向的中线折叠，花纹左右两边能够完全重合，属于轴对称图形；
3. 选项C的装饰图案：沿竖直中线或水平中线折叠，图案两旁的部分都能完全重合，属于轴对称图形；
4. 选项D的太极图：不存在能让图案折叠后两旁完全重合的直线，折叠后黑白区域和内部的小圆无法对应重合，不属于轴对称图形。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称图形的识别
【点评】
本题结合我国传统经典图案考查轴对称图形的判断，既考查了基础知识点的掌握，又能让学生感受到传统文化中蕴含的数学元素，题目偏向基础，只要牢记轴对称图形的核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$CD$为$AB$边上的高,$∠ ACB=92°$,则$∠ ACD$的度数为 （
A.$45°$
B.$46°$
C.$50°$
D.$60°$
B
）A.$45°$
B.$46°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
2.B
解析
【分析】
首先根据已知条件AC=BC，可判断△ABC是等腰三角形，∠ACB是顶角；再结合CD是AB边上的高，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知CD同时是顶角∠ACB的角平分线，因此∠ACD的度数等于∠ACB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AC=BC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ACB为等腰三角形的顶角。
∵ CD是AB边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB。
又
∵ ∠ACB=92°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$×92° = 46°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形三线合一的性质，只要熟练掌握该性质就能快速求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.85
首先根据已知条件AC=BC，可判断△ABC是等腰三角形，∠ACB是顶角；再结合CD是AB边上的高，回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可知CD同时是顶角∠ACB的角平分线，因此∠ACD的度数等于∠ACB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ AC=BC，
∴ △ABC是等腰三角形，∠ACB为等腰三角形的顶角。
∵ CD是AB边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB。
又
∵ ∠ACB=92°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$×92° = 46°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形三线合一的性质，只要熟练掌握该性质就能快速求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.85
3.把点$A(-3,a)$向下平移3个单位长度，平移后的点与点$A$关于$x$轴对称，则$a$的值为（
A.1
B.1.5
C.2
D.3
B
）A.1
B.1.5
C.2
D.3
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先回忆坐标平移的变化规律和关于x轴对称的点的坐标特征：①点上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减；②关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。第一步先求出点A向下平移3个单位后的坐标，第二步根据两个点关于x轴对称的性质列方程，最后解方程求出a的值即可。
【解析】
1. 求平移后的点坐标：点$A(-3,a)$向下平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标减3，得到平移后的点坐标为$(-3, a-3)$。
2. 根据轴对称性质列方程：因为平移后的点与点$A$关于$x$轴对称，关于$x$轴对称的两个点纵坐标互为相反数，因此有：
$a = -(a - 3)$
3. 解方程：
$a = -a + 3$
$2a = 3$
$a = 1.5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标平移规律；关于x轴对称的点的坐标特征；一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考察坐标变换的基本性质，只要熟练掌握平移和轴对称对应的坐标变化规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先回忆坐标平移的变化规律和关于x轴对称的点的坐标特征：①点上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减；②关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。第一步先求出点A向下平移3个单位后的坐标，第二步根据两个点关于x轴对称的性质列方程，最后解方程求出a的值即可。
【解析】
1. 求平移后的点坐标：点$A(-3,a)$向下平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标减3，得到平移后的点坐标为$(-3, a-3)$。
2. 根据轴对称性质列方程：因为平移后的点与点$A$关于$x$轴对称，关于$x$轴对称的两个点纵坐标互为相反数，因此有：
$a = -(a - 3)$
3. 解方程：
$a = -a + 3$
$2a = 3$
$a = 1.5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标平移规律；关于x轴对称的点的坐标特征；一元一次方程的求解
【点评】
本题是基础题型，核心考察坐标变换的基本性质，只要熟练掌握平移和轴对称对应的坐标变化规律，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.75
4.把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则$∠ 1$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$50°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心性质：一是宽度相等的纸条上下两条边互相平行，二是折叠前后对应角大小相等。第一步结合平行线的内错角相等性质，可得折叠后重合的两个相等角的和等于130°；第二步利用折叠的等角性质，可知这两个角都等于∠1，因此直接用130°除以2即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 宽度相等的纸条上下两边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后两个重合的角的和为130°
又
∵ 折叠前后对应角相等，这两个重合的角都等于∠1
∴ $2∠1=130°$
解得 $∠1=130°÷2=65°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是平行线性质和折叠性质的结合应用，解题的关键是准确找到折叠产生的等角和平行线形成的角度关系，属于常见的基础几何题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确两个核心性质：一是宽度相等的纸条上下两条边互相平行，二是折叠前后对应角大小相等。第一步结合平行线的内错角相等性质，可得折叠后重合的两个相等角的和等于130°；第二步利用折叠的等角性质，可知这两个角都等于∠1，因此直接用130°除以2即可求出∠1的度数。
【解析】
∵ 宽度相等的纸条上下两边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得折叠后两个重合的角的和为130°
又
∵ 折叠前后对应角相等，这两个重合的角都等于∠1
∴ $2∠1=130°$
解得 $∠1=130°÷2=65°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
本题是平行线性质和折叠性质的结合应用，解题的关键是准确找到折叠产生的等角和平行线形成的角度关系，属于常见的基础几何题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,$ED// BC$.若$AB=4$,$AD=2$,则$△ AED$的周长是（
A.6
B.7
C.8
D.10
A
）A.6
B.7
C.8
D.10
答案
5.A
解析
【分析】
解题思路：首先结合已知条件BD平分∠ABC、ED//BC，可利用角平分线定义和平行线的性质推导出∠EBD=∠EDB，根据等角对等边得到EB=ED，再将△AED的周长中的ED替换为EB，即可把周长转化为AB与AD的和，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵ED//BC，
∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED（等角对等边），
∵△AED的周长=AE+ED+AD，
将ED替换为EB，可得：
周长=AE+EB+AD=AB+AD，
已知AB=4，AD=2，
∴△AED的周长=4+2=6。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是通过角的等量关系得到边相等，进而将待求周长转化为已知线段的和，简化计算。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先结合已知条件BD平分∠ABC、ED//BC，可利用角平分线定义和平行线的性质推导出∠EBD=∠EDB，根据等角对等边得到EB=ED，再将△AED的周长中的ED替换为EB，即可把周长转化为AB与AD的和，代入已知数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
∵ED//BC，
∴∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED（等角对等边），
∵△AED的周长=AE+ED+AD，
将ED替换为EB，可得：
周长=AE+EB+AD=AB+AD，
已知AB=4，AD=2，
∴△AED的周长=4+2=6。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是通过角的等量关系得到边相等，进而将待求周长转化为已知线段的和，简化计算。
【难度系数】
0.8
6.如图，在$△ ABC$中，分别以点A和点B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，交BC于点D，连接AD。若$△ ADC$的周长为10，AB=7，则$△ ABC$的周长为（
A.7
B.14
C.17
D.20
C
）A.7
B.14
C.17
D.20
答案
6.C
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，可判断MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD。再观察△ADC的周长组成，将其中的AD替换为等量BD，即可得到AC与BC的长度和，最后结合已知的AB长度，就能求出△ABC的周长。
【解析】
1. 由作图方法可知，MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$\boldsymbol{AD=BD}$。
2. 已知$△ ADC$的周长为10，即$AC+CD+AD=10$，将$AD$替换为$BD$，可得：
$AC+CD+BD=AC+BC=10$。
3. $△ ABC$的周长为$AC+BC+AB$，已知$AB=7$，代入得：
$△ ABC$的周长$=10+7=17$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是识别出作图得到的是垂直平分线，再通过等量代换简化周长的计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图方法，可判断MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AD=BD。再观察△ADC的周长组成，将其中的AD替换为等量BD，即可得到AC与BC的长度和，最后结合已知的AB长度，就能求出△ABC的周长。
【解析】
1. 由作图方法可知，MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$\boldsymbol{AD=BD}$。
2. 已知$△ ADC$的周长为10，即$AC+CD+AD=10$，将$AD$替换为$BD$，可得：
$AC+CD+BD=AC+BC=10$。
3. $△ ABC$的周长为$AC+BC+AB$，已知$AB=7$，代入得：
$△ ABC$的周长$=10+7=17$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是识别出作图得到的是垂直平分线，再通过等量代换简化周长的计算，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
7.如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是中线，$DE⊥ AC$于点E，$AB=8$，则CE的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
7.A
解析
【分析】
解题时首先结合等边三角形的性质确定边长和内角角度，再利用中线的性质求出DC的长度，最后根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边一半的性质计算CE的长度即可。思考路径：①先回忆等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质，得到AC、BC的长度和∠C的度数；②AD是中线，说明D是BC中点，可求出DC的长；③DE垂直AC，得到Rt△DEC，结合∠C=60°推出∠CDE=30°，利用30°直角三角形的边长关系即可求出CE。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴BC=AC=AB=8，∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠C=90°-60°=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是将等边三角形的性质和直角三角形的特殊边长关系结合应用，解题的突破口是正确求出DC的长度，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合等边三角形的性质确定边长和内角角度，再利用中线的性质求出DC的长度，最后根据直角三角形中30°角所对直角边为斜边一半的性质计算CE的长度即可。思考路径：①先回忆等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质，得到AC、BC的长度和∠C的度数；②AD是中线，说明D是BC中点，可求出DC的长；③DE垂直AC，得到Rt△DEC，结合∠C=60°推出∠CDE=30°，利用30°直角三角形的边长关系即可求出CE。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴BC=AC=AB=8，∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠CDE=90°-∠C=90°-60°=30°，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$CE=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；直角三角形30°角的性质；三角形中线的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是将等边三角形的性质和直角三角形的特殊边长关系结合应用，解题的突破口是正确求出DC的长度，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
8.如图，在$△ ABC$中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，AP交BC于点E。若$∠ AEB = \frac{3}{2}∠ EAC = \frac{3}{2}α$，则$∠ BAE =$（
A.$\frac{1}{2}α$
B.$α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$90°-α$
C
）A.$\frac{1}{2}α$
B.$α$
C.$90°-\frac{1}{2}α$
D.$90°-α$
答案
8.C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据已知的角的数量关系求出∠EAC的度数；第二步，利用三角形外角的性质，求出∠C的度数；第三步，根据垂直平分线的性质，得出PA=PB=PC，进而得到三组等腰三角形的底角相等，推导得出∠PBC的度数；第四步，设∠BAE为未知数，结合△ABE的内角和为180°列方程，求解即可得到结果。解题时要注意点P在△ABC外侧，梳理角的和差关系时不要出错。
【解析】
解：
∵ $∠ AEB = \frac{3}{2}∠ EAC = \frac{3}{2}α$，
∴ $∠ EAC = α$。
∵ $∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠ AEB = ∠ EAC + ∠ C$，
代入得：$\frac{3}{2}α = α + ∠ C$，解得$∠ C = \frac{1}{2}α$。
∵ 点P是AB、AC垂直平分线的交点，
∴ $PA=PB=PC$，
∴ $∠ PAB=∠ PBA$，$∠ PAC=∠ PCA$，$∠ PBC=∠ PCB$。
由$∠ PAC=∠ EAC=α$，得$∠ PCA=α$，
∴ $∠ PCB = ∠ PCA - ∠ C = α - \frac{1}{2}α = \frac{1}{2}α$，
∴ $∠ PBC = ∠ PCB = \frac{1}{2}α$。
设$∠ BAE = x$，则$∠ PAB=∠ PBA=x$，
∴ $∠ ABC = ∠ PBA - ∠ PBC = x - \frac{1}{2}α$。
在$△ ABE$中，$∠ ABC + ∠ BAE + ∠ AEB = 180°$，
代入得：$(x - \frac{1}{2}α) + x + \frac{3}{2}α = 180°$，
化简得：$2x + α = 180°$，
解得：$x = 90° - \frac{1}{2}α$，即$∠ BAE = 90° - \frac{1}{2}α$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形和线段垂直平分线的相关性质，解题的核心是通过垂直平分线的性质得到相等线段，转化为角的等量关系，再结合三角形内外角定理建立方程求解，需要学生具备一定的角的关系梳理能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先根据已知的角的数量关系求出∠EAC的度数；第二步，利用三角形外角的性质，求出∠C的度数；第三步，根据垂直平分线的性质，得出PA=PB=PC，进而得到三组等腰三角形的底角相等，推导得出∠PBC的度数；第四步，设∠BAE为未知数，结合△ABE的内角和为180°列方程，求解即可得到结果。解题时要注意点P在△ABC外侧，梳理角的和差关系时不要出错。
【解析】
解：
∵ $∠ AEB = \frac{3}{2}∠ EAC = \frac{3}{2}α$，
∴ $∠ EAC = α$。
∵ $∠ AEB$是$△ AEC$的外角，
∴ $∠ AEB = ∠ EAC + ∠ C$，
代入得：$\frac{3}{2}α = α + ∠ C$，解得$∠ C = \frac{1}{2}α$。
∵ 点P是AB、AC垂直平分线的交点，
∴ $PA=PB=PC$，
∴ $∠ PAB=∠ PBA$，$∠ PAC=∠ PCA$，$∠ PBC=∠ PCB$。
由$∠ PAC=∠ EAC=α$，得$∠ PCA=α$，
∴ $∠ PCB = ∠ PCA - ∠ C = α - \frac{1}{2}α = \frac{1}{2}α$，
∴ $∠ PBC = ∠ PCB = \frac{1}{2}α$。
设$∠ BAE = x$，则$∠ PAB=∠ PBA=x$，
∴ $∠ ABC = ∠ PBA - ∠ PBC = x - \frac{1}{2}α$。
在$△ ABE$中，$∠ ABC + ∠ BAE + ∠ AEB = 180°$，
代入得：$(x - \frac{1}{2}α) + x + \frac{3}{2}α = 180°$，
化简得：$2x + α = 180°$，
解得：$x = 90° - \frac{1}{2}α$，即$∠ BAE = 90° - \frac{1}{2}α$。
【答案】
C
【知识点】
垂直平分线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形和线段垂直平分线的相关性质，解题的核心是通过垂直平分线的性质得到相等线段，转化为角的等量关系，再结合三角形内外角定理建立方程求解，需要学生具备一定的角的关系梳理能力。
【难度系数】
0.6
9.在平面直角坐标系中，点$M(a,b)$，$N(3,-1)$关于$y$轴对称，则$a+b$的值是
-4
。答案
9.-4
解析
【分析】
解决本题首先要明确关于y轴对称的点的坐标变化规律，再结合已知点的坐标求出点M的横、纵坐标，最后代入计算a+b的值即可。具体思考步骤：第一步，回忆关于y轴对称的两点坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数；第二步，根据N点坐标(3,-1)，对应求出M点的a和b的值；第三步，将a、b代入a+b计算得到结果。
【解析】
解：
∵ 关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，
又
∵ 点M(a,b)与N(3,-1)关于y轴对称，
∴ a = -3，b = -1，
∴ a + b = -3 + (-1) = -4。
【答案】
-4
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，只要熟练掌握不同对称方式下点的坐标变化规律，就能快速求解，是坐标类知识的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确关于y轴对称的点的坐标变化规律，再结合已知点的坐标求出点M的横、纵坐标，最后代入计算a+b的值即可。具体思考步骤：第一步，回忆关于y轴对称的两点坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数；第二步，根据N点坐标(3,-1)，对应求出M点的a和b的值；第三步，将a、b代入a+b计算得到结果。
【解析】
解：
∵ 关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数，
又
∵ 点M(a,b)与N(3,-1)关于y轴对称，
∴ a = -3，b = -1，
∴ a + b = -3 + (-1) = -4。
【答案】
-4
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律的应用，只要熟练掌握不同对称方式下点的坐标变化规律，就能快速求解，是坐标类知识的常考基础题。
【难度系数】
0.8
10.等腰三角形的一个内角为$50°$,则其顶角的度数为
50°或80°
.答案
10.50°或80°
解析
【分析】
等腰三角形的核心性质是两底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种情况直接假设50°为顶角，可直接得到结果；第二种情况假设50°为底角，结合等腰三角形底角相等的性质和内角和定理计算顶角度数，最后验证两种情况均符合三角形的构成条件即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当50°的角为等腰三角形的顶角时，顶角的度数就是50°；
2. 当50°的角为等腰三角形的底角时，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也为50°，根据三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和规则，都成立。
【答案】
50°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，直接默认50°为底角或者顶角，导致答案不完整。遇到已知等腰三角形一个内角度数的问题时，只要该角是锐角，都需要考虑它是顶角或底角两种可能。
【难度系数】
0.7
等腰三角形的核心性质是两底角相等，同时三角形内角和固定为180°。题目仅说明一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种情况直接假设50°为顶角，可直接得到结果；第二种情况假设50°为底角，结合等腰三角形底角相等的性质和内角和定理计算顶角度数，最后验证两种情况均符合三角形的构成条件即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当50°的角为等腰三角形的顶角时，顶角的度数就是50°；
2. 当50°的角为等腰三角形的底角时，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也为50°，根据三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 50° × 2 = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和规则，都成立。
【答案】
50°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，直接默认50°为底角或者顶角，导致答案不完整。遇到已知等腰三角形一个内角度数的问题时，只要该角是锐角，都需要考虑它是顶角或底角两种可能。
【难度系数】
0.7
11.如图，$△ ABC$与$△ DEF$均为等边三角形，其边长分别为$a$，$b$，则$△ AEF$的周长为
a+b
。答案
11.a+b
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为60°，三条边长度相等。要求△AEF的周长，即求AE+AF+EF的和，已知EF是等边△DEF的边长为b，因此只需推导AE+AF的长度即可。观察图形可通过角的等量关系证明△AEF和△BFD全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将AE、AF转化为△ABC边上的线段，即可求出AE+AF的长度，进而得到周长。
【解析】
解：
∵△ABC和△DEF都是等边三角形
∴∠A=∠B=60°，AB=a，EF=DF=b，∠DFE=60°
∵在△AEF中，$∠ AEF + ∠ AFE = 180° - ∠ A = 120°$
又
∵$∠ AFE + ∠ BFD = 180° - ∠ DFE = 120°$
∴$∠ AEF = ∠ BFD$
在△AEF和△BFD中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AEF=∠ BFD \\EF=FD\end{cases}$
∴△AEF≌△BFD（AAS）
∴AE=BF
∴$AE + AF = BF + AF = AB = a$
∴△AEF的周长$= AE + AF + EF = a + b$
【答案】
$a+b$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题通过等边三角形的性质推导角的等量关系，进而证明三角形全等，实现边的转化求解周长，解题的核心是找到全等三角形，将未知边的和转化为已知边长。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为60°，三条边长度相等。要求△AEF的周长，即求AE+AF+EF的和，已知EF是等边△DEF的边长为b，因此只需推导AE+AF的长度即可。观察图形可通过角的等量关系证明△AEF和△BFD全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将AE、AF转化为△ABC边上的线段，即可求出AE+AF的长度，进而得到周长。
【解析】
解：
∵△ABC和△DEF都是等边三角形
∴∠A=∠B=60°，AB=a，EF=DF=b，∠DFE=60°
∵在△AEF中，$∠ AEF + ∠ AFE = 180° - ∠ A = 120°$
又
∵$∠ AFE + ∠ BFD = 180° - ∠ DFE = 120°$
∴$∠ AEF = ∠ BFD$
在△AEF和△BFD中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AEF=∠ BFD \\EF=FD\end{cases}$
∴△AEF≌△BFD（AAS）
∴AE=BF
∴$AE + AF = BF + AF = AB = a$
∴△AEF的周长$= AE + AF + EF = a + b$
【答案】
$a+b$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题通过等边三角形的性质推导角的等量关系，进而证明三角形全等，实现边的转化求解周长，解题的核心是找到全等三角形，将未知边的和转化为已知边长。
【难度系数】
0.7
12.如图，C为线段AE上的一个动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.有以下五个结论：
①$AD = BE$；②$PQ // AE$；③$OP = OQ$；
④$△ CPQ$为等边三角形；⑤$∠ AOB = 60°$.其中正确的有
①$AD = BE$；②$PQ // AE$；③$OP = OQ$；
④$△ CPQ$为等边三角形；⑤$∠ AOB = 60°$.其中正确的有
①②④⑤
.(填序号)答案
12.①②④⑤
解析
【分析】
本题属于共顶点双等边三角形的经典几何题，解题思路如下：首先利用等边三角形的边、角性质寻找全等三角形，通过全等推导边角等量关系，再结合平行线判定、等边三角形判定规则逐一验证每个结论，最后判断缺乏条件支撑的结论不成立。
【解析】
已知$△ ABC$和$△ CDE$均为等边三角形，因此$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$。
1. 验证结论①：
$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=60°+∠ BCD$，$∠ BCE=∠ DCE+∠ BCD=60°+∠ BCD$，故$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ ACD=∠ BCE \\ CD=CE \end{cases}$
可得$△ ACD≌△ BCE$（SAS），因此$AD=BE$，①正确。
2. 验证结论⑤：
由$△ ACD≌△ BCE$得$∠ CAD=∠ CBE$，在$△ AOB$中：
$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-(∠ CAD+60°)-∠ OBA$
代入$∠ CAD=∠ CBE$，得：
$∠ AOB=120°-(∠ CBE+∠ OBA)=120°-∠ CBA=120°-60°=60°$，⑤正确。
3. 验证结论④：
$∠ PCQ=180°-∠ ACB-∠ DCE=180°-60°-60°=60°$，即$∠ ACP=∠ BCQ=60°$。
在$△ ACP$和$△ BCQ$中：
$\begin{cases} ∠ CAP=∠ CBQ \\ AC=BC \\ ∠ ACP=∠ BCQ \end{cases}$
可得$△ ACP≌△ BCQ$（ASA），因此$CP=CQ$，又$∠ PCQ=60°$，故$△ CPQ$为等边三角形，④正确。
4. 验证结论②：
由$△ CPQ$为等边三角形得$∠ CPQ=60°$，故$∠ CPQ=∠ ACB=60°$，内错角相等，因此$PQ// AE$，②正确。
5. 验证结论③：
现有已知条件无法推导得到$OP=OQ$的等量关系，因此③错误。
综上，正确结论为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是双等边三角形模型的典型考题，核心考查手拉手全等的推导及边角关系的转化，需要学生熟练掌握全等、等边三角形、平行线的相关判定和性质，逻辑严谨地逐一验证结论。
【难度系数】
0.6
本题属于共顶点双等边三角形的经典几何题，解题思路如下：首先利用等边三角形的边、角性质寻找全等三角形，通过全等推导边角等量关系，再结合平行线判定、等边三角形判定规则逐一验证每个结论，最后判断缺乏条件支撑的结论不成立。
【解析】
已知$△ ABC$和$△ CDE$均为等边三角形，因此$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$。
1. 验证结论①：
$∠ ACD=∠ ACB+∠ BCD=60°+∠ BCD$，$∠ BCE=∠ DCE+∠ BCD=60°+∠ BCD$，故$∠ ACD=∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ ACD=∠ BCE \\ CD=CE \end{cases}$
可得$△ ACD≌△ BCE$（SAS），因此$AD=BE$，①正确。
2. 验证结论⑤：
由$△ ACD≌△ BCE$得$∠ CAD=∠ CBE$，在$△ AOB$中：
$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-(∠ CAD+60°)-∠ OBA$
代入$∠ CAD=∠ CBE$，得：
$∠ AOB=120°-(∠ CBE+∠ OBA)=120°-∠ CBA=120°-60°=60°$，⑤正确。
3. 验证结论④：
$∠ PCQ=180°-∠ ACB-∠ DCE=180°-60°-60°=60°$，即$∠ ACP=∠ BCQ=60°$。
在$△ ACP$和$△ BCQ$中：
$\begin{cases} ∠ CAP=∠ CBQ \\ AC=BC \\ ∠ ACP=∠ BCQ \end{cases}$
可得$△ ACP≌△ BCQ$（ASA），因此$CP=CQ$，又$∠ PCQ=60°$，故$△ CPQ$为等边三角形，④正确。
4. 验证结论②：
由$△ CPQ$为等边三角形得$∠ CPQ=60°$，故$∠ CPQ=∠ ACB=60°$，内错角相等，因此$PQ// AE$，②正确。
5. 验证结论③：
现有已知条件无法推导得到$OP=OQ$的等量关系，因此③错误。
综上，正确结论为①②④⑤。
【答案】
①②④⑤
【知识点】
等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题是双等边三角形模型的典型考题，核心考查手拉手全等的推导及边角关系的转化，需要学生熟练掌握全等、等边三角形、平行线的相关判定和性质，逻辑严谨地逐一验证结论。
【难度系数】
0.6
