三、解答题(共32分)
12.(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD.在BC上求作一点P，连接DP，使△ABP≌△ADP.(要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

解：
作∠BAD的平分线，该角平分线与BC的交点即为所求的点P，保留尺规作角平分线的作图痕迹，连接DP即可。
验证：在△ABP和△ADP中，
$\{\begin{array}{l}AB=AD \\∠BAP=∠DAP \\AP=AP\end{array} $
∴△ABP≌△ADP（SAS），符合要求。

【分析】
要得到△ABP≌△ADP，已知条件给出AB=AD，且AP是△ABP和△ADP的公共边，根据全等三角形的SAS判定规则，只需让两组相等边的夹角∠BAP=∠DAP即可满足全等条件。因此我们只需要作出∠BAD的角平分线，角平分线与BC的交点就是所求的点P。
【解析】
1. 尺规作图：作∠BAD的角平分线，角平分线与BC边的交点即为所求点P，连接DP，保留作角平分线的尺规作图痕迹。
2. 全等验证：
在△ABP和△ADP中：
$\begin{cases}AB=AD（已知）\\∠BAP=∠DAP（角平分线的定义）\\AP=AP（公共边）\end{cases}$
∴△ABP≌△ADP（SAS），所作点P符合题目要求。
【答案】
作∠BAD的平分线，该角平分线与BC的交点即为所求的点P，保留尺规作角平分线的作图痕迹，连接DP即可。
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形SAS判定
【点评】
本题结合了尺规作图和全等三角形判定的知识，解题关键是根据已知的边相等条件，逆向推导需要构造的等角条件，从而确定作图方法，考查对全等判定的灵活运用能力和基础尺规作图的掌握程度。
【难度系数】
0.7

13.(10分)如图，$AC=BC$，$AD⊥CE$，$BE⊥CE$，垂足分别为$D$，$E$，且$CD=BE$。
(1)求证：$\mathrm{Rt}△ BCE ≌ \mathrm{Rt}△ CAD$；
(2)若$AD=2.4$，$DE=1.6$，求$BE$的长。

13.解:(1)证明:$\because AD⊥ CE,BE⊥ CE$,
$\therefore ∠ E=∠ ADC=90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAD$ 中, $\begin{cases} BC=CA,\\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ CAD(\mathrm{HL})$.
(2)0.8

【分析】
(1)要证明两个直角三角形全等，首先由AD⊥CE、BE⊥CE可确定两个三角形均为直角三角形，已知斜边AC=BC，直角边CD=BE，符合直角三角形全等的HL判定条件，代入条件即可完成证明。
(2)求BE的长时，可先利用全等三角形对应边相等的性质，得到CE=AD、CD=BE，再结合线段和的关系CE=CD+DE，推导出CD=CE-DE=AD-DE，代入已知数值计算即可得到BE的长度。
【解析】
(1)证明：$\because AD⊥CE,BE⊥CE$，
$\therefore ∠E=∠ADC=90°$，即$△ BCE$和$△ CAD$都是直角三角形。
在 $\mathrm{Rt}△ BCE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAD$ 中, $\begin{cases} BC=CA,\\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ CAD(\mathrm{HL})$。
(2)解：$\because \mathrm{Rt}△ BCE≌\mathrm{Rt}△ CAD$，
$\therefore CE=AD=2.4$，$CD=BE$。
又$\because CE=CD+DE$，
$\therefore CD=CE-DE=2.4-1.6=0.8$，
$\therefore BE=CD=0.8$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)0.8
【知识点】
直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础应用题型，解题核心是熟练掌握直角三角形全等的判定方法，利用全等三角形对应边相等的性质完成线段长度的转化，进而求解未知线段的长度。
【难度系数】
0.8

14.(12分)定义:有一组对角互补的四边形叫作“对补四边形”.如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°,则四边形ABCD是“对补四边形”.
(1)如图,四边形ABCD是“对补四边形”,∠MAD是四边形ABCD的一个外角,求证:∠MAD=∠C;
(2)如图,在(1)的条件下,∠ABC=90°,AD＞CD,在AM上取点E,使BE=BC,在AD上取点F,使DF=CD,连接EF,G是EF的中点,过点E作EH//AD与DG的延长线相交于点H,连接BH,BD,探索BH与BD之间的关系,并证明.

14.(1)略
(2)$BH=BD,BH⊥ BD$.证明略

【分析】
（1）要证明∠MAD=∠C，首先根据“对补四边形”的定义，可得对角∠BAD与∠C互补；再结合外角性质，∠MAD与∠BAD是邻补角也互补，根据同角的补角相等即可得证。
（2）探索BH与BD的关系可从数量、位置两方面分析：首先利用EH//AD、G是EF中点的条件，通过AAS证明△HEG≌△DFG，得到EH=DF，结合DF=CD推出EH=CD；再结合（1）的结论和平行线的性质推导△BEH和△BCD的夹角相等，结合BE=BC的条件，通过SAS证明△BEH≌△BCD，即可得到BH=BD；最后通过角的等量代换证明∠HBD=90°，得到BH与BD垂直的位置关系。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是“对补四边形”
∴∠BAD + ∠C = 180°
∵∠MAD是四边形ABCD的外角
∴∠MAD + ∠BAD = 180°（邻补角的定义）
∴∠MAD = ∠C（同角的补角相等）
（2）结论：$BH=BD$，$BH⊥BD$，证明如下：
∵EH//AD
∴∠HEG = ∠DFG，∠H = ∠FDG
∵G是EF的中点
∴$EG = FG$
在$△ HEG$和$△ DFG$中：
$\{\begin{array}{l}∠ HEG=∠ DFG\\ ∠ H=∠ FDG\\ EG=FG\end{array} $
∴$△ HEG≌△ DFG（AAS）$
∴$EH = DF$
∵$DF = CD$
∴$EH = CD$
由（1）得$∠MAD = ∠C$
∵EH//AD
∴$∠HEA = ∠MAD$
∴$∠BEH = ∠BCD$
在$△ BEH$和$△ BCD$中：
$\{\begin{array}{l}BE=BC\\ ∠ BEH=∠ BCD\\ EH=CD\end{array} $
∴$△ BEH≌△ BCD（SAS）$
∴$BH = BD$，$∠EBH = ∠CBD$
∵$∠ABC = ∠ABE + ∠CBD = 90°$
∴$∠ABE + ∠EBH = ∠HBD = 90°$
∴$BH⊥BD$
【答案】
(1) 略
(2) $BH=BD,BH⊥ BD$，证明略
【知识点】
1. 对补四边形的定义
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题以新定义“对补四边形”为载体，综合考查了邻补角性质、平行线性质、全等三角形的判定及性质，解题的关键是结合中点和平行线的条件构造全等三角形，通过全等转化边和角的关系，能有效考查逻辑推理和几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6