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1.下列从左到右的变形中,是因式分解的是 (
A.$m^2 - 2m - 3 = m(m - 2) - 3$
B.$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$
C.$(x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10$
D.$6ab = 2a · 3b$
B
)A.$m^2 - 2m - 3 = m(m - 2) - 3$
B.$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$
C.$(x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10$
D.$6ab = 2a · 3b$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断一个变形是否为因式分解，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足三个判断要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式恒成立。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述三个要点即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：右侧为$m(m - 2) - 3$，最终是差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，错误；
B选项：左侧$x^2 - 8x + 16$是多项式，右侧$(x - 4)^2$是两个相同整式$(x-4)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，正确；
C选项：该变形是把整式的乘积化为多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：左侧$6ab$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 因式分解与整式乘法的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的判断标准，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是否为因式分解，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，满足三个判断要点：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形前后等式恒成立。解题时只需逐一核对每个选项是否符合上述三个要点即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐一分析选项：
A选项：右侧为$m(m - 2) - 3$，最终是差的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，错误；
B选项：左侧$x^2 - 8x + 16$是多项式，右侧$(x - 4)^2$是两个相同整式$(x-4)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义，正确；
C选项：该变形是把整式的乘积化为多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，错误；
D选项：左侧$6ab$是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 因式分解与整式乘法的区别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的判断标准，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2.多项式$x^2 -1$与$x^2 -2x +1$的公因式是（
A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x^2 -1$
D.$(x-1)^2$
B
）A.$x+1$
B.$x-1$
C.$x^2 -1$
D.$(x-1)^2$
答案
2.B
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，核心思路是先将两个多项式分别因式分解，再从中找出共同含有的因式。解题时首先回忆因式分解常用的乘法公式：平方差公式和完全平方公式，分别对两个多项式分解后，对比得到公共因式即可。
【解析】
第一步，对两个多项式分别进行因式分解：
1. 分解$x^2-1$：符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
2. 分解$x^2-2x+1$：符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入得$x^2-2x+1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$。
第二步，对比两个分解后的式子，公共的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解 2.公因式判断 3.乘法公式应用
【点评】
本题是基础类考题，解题的关键是熟练掌握平方差、完全平方这两类常用的因式分解公式，分解后提取公共因式即可得到答案。
【难度系数】
0.9
要确定两个多项式的公因式，核心思路是先将两个多项式分别因式分解，再从中找出共同含有的因式。解题时首先回忆因式分解常用的乘法公式：平方差公式和完全平方公式，分别对两个多项式分解后，对比得到公共因式即可。
【解析】
第一步，对两个多项式分别进行因式分解：
1. 分解$x^2-1$：符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入得$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
2. 分解$x^2-2x+1$：符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，代入得$x^2-2x+1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$。
第二步，对比两个分解后的式子，公共的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
B
【知识点】
1.因式分解 2.公因式判断 3.乘法公式应用
【点评】
本题是基础类考题，解题的关键是熟练掌握平方差、完全平方这两类常用的因式分解公式，分解后提取公共因式即可得到答案。
【难度系数】
0.9
3.下列因式分解正确的是 （
A.$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
B.$x^2 + y^2 = (x + y)(x - y)$
C.$(a + 4)(a - 4) = a^2 - 16$
D.$m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2$
D
）A.$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
B.$x^2 + y^2 = (x + y)(x - y)$
C.$(a + 4)(a - 4) = a^2 - 16$
D.$m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确因式分解的判断标准：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③分解要彻底，直到不能再分解为止，且变形前后等式成立。解题时我们逐一分析每个选项，结合判断标准筛选出正确选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$，其中$x^2 -1$还可以继续用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，分解不彻底，因式分解错误；
B选项：$x^2 + y^2$无法分解为$(x+y)(x-y)$，将右边展开得$x^2 - y^2$，与左边不相等，且$x^2 + y^2$在实数范围内不能因式分解，该选项错误；
C选项：$(a + 4)(a - 4) = a^2 - 16$是整式的乘法运算，是把整式乘积化为多项式的形式，和因式分解（多项式化为整式乘积）的方向相反，不属于因式分解，该选项错误；
D选项：$m^2 + 4m + 4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=m$，$b=2$，因此可分解为$(m+2)^2$，满足因式分解的所有要求，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对因式分解概念的辨析，以及对提公因式法、公式法等分解方法的掌握程度，解题时要注意区分因式分解与整式乘法，同时要检查分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确因式分解的判断标准：①变形的对象是多项式；②变形后的结果是几个整式的乘积形式；③分解要彻底，直到不能再分解为止，且变形前后等式成立。解题时我们逐一分析每个选项，结合判断标准筛选出正确选项即可。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$，其中$x^2 -1$还可以继续用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，分解不彻底，因式分解错误；
B选项：$x^2 + y^2$无法分解为$(x+y)(x-y)$，将右边展开得$x^2 - y^2$，与左边不相等，且$x^2 + y^2$在实数范围内不能因式分解，该选项错误；
C选项：$(a + 4)(a - 4) = a^2 - 16$是整式的乘法运算，是把整式乘积化为多项式的形式，和因式分解（多项式化为整式乘积）的方向相反，不属于因式分解，该选项错误；
D选项：$m^2 + 4m + 4$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，其中$a=m$，$b=2$，因此可分解为$(m+2)^2$，满足因式分解的所有要求，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义，提公因式法，公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对因式分解概念的辨析，以及对提公因式法、公式法等分解方法的掌握程度，解题时要注意区分因式分解与整式乘法，同时要检查分解结果是否彻底。
【难度系数】
0.8
4.利用因式分解简便计算$57×101+44×101－101$正确的是 （
A.$101×(57+44)=101×101=10\ 201$
B.$101×(57+44－1)=101×100=10\ 100$
C.$101×(57+44+1)=101×102=10\ 302$
D.$101×(57+44－101)=101×0=0$
B
）A.$101×(57+44)=101×101=10\ 201$
B.$101×(57+44－1)=101×100=10\ 100$
C.$101×(57+44+1)=101×102=10\ 302$
D.$101×(57+44－101)=101×0=0$
答案
4.B
解析
【分析】
拿到这道简便计算题，首先观察式子结构，发现三个运算项都含有公共因数101，符合提公因式法因式分解的特征。接下来确定每一项提取101后剩余的部分：第一项57×101提取101后剩57，第二项44×101提取101后剩44，第三项-101相当于-1×101，提取101后剩-1，因此括号内的运算为57+44-1，计算后再与101相乘即可得到结果，解题时要注意不要遗漏第三项剩余的-1，避免错选。
【解析】
观察原式可知各项均含有公因式101，利用提公因式法分解计算：
$\begin{aligned}原式&=101×57 + 101×44 - 101×1\\&=101×(57+44-1)\\&=101×100\\&=10100\end{aligned}$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.提公因式法 2.因式分解简便计算
【点评】
本题属于因式分解应用的基础题型，核心考查提公因式法的使用，解题关键是准确提取公因式，同时注意提取公因式后每一项剩余的系数和符号，避免漏项出错。
【难度系数】
0.8
拿到这道简便计算题，首先观察式子结构，发现三个运算项都含有公共因数101，符合提公因式法因式分解的特征。接下来确定每一项提取101后剩余的部分：第一项57×101提取101后剩57，第二项44×101提取101后剩44，第三项-101相当于-1×101，提取101后剩-1，因此括号内的运算为57+44-1，计算后再与101相乘即可得到结果，解题时要注意不要遗漏第三项剩余的-1，避免错选。
【解析】
观察原式可知各项均含有公因式101，利用提公因式法分解计算：
$\begin{aligned}原式&=101×57 + 101×44 - 101×1\\&=101×(57+44-1)\\&=101×100\\&=10100\end{aligned}$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.提公因式法 2.因式分解简便计算
【点评】
本题属于因式分解应用的基础题型，核心考查提公因式法的使用，解题关键是准确提取公因式，同时注意提取公因式后每一项剩余的系数和符号，避免漏项出错。
【难度系数】
0.8
5.已知$9x^2 - mxy + 16y^2$能运用完全平方公式因式分解，则$m$的值为（
A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
D
）A.12
B.$\pm12$
C.24
D.$\pm24$
答案
5.D
解析
【分析】
解题首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式有两种形式，分别是两数和的平方、两数差的平方，展开后为“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方”。首先先确定原式中两个平方项对应的底数，再根据中间项的两种符号情况，建立关于m的等式求解，注意不要漏了符号相反的情况。
【解析】
完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
首先将原式的两个平方项改写为平方形式：
$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，
若$9x^2 - mxy + 16y^2$是完全平方式，则中间项为$\pm 2× 3x × 4y = \pm 24xy$，
对比原式中间项为$-mxy$，可得：$-mxy = \pm 24xy$，
根据多项式对应项系数相等，得$-m=\pm24$，
因此$m=\pm24$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题易因忽略完全平方公式有两种形式，仅考虑单一符号的中间项而漏解，解题时要注意中间项的符号有正负两种可能，需分类讨论避免丢分。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式有两种形式，分别是两数和的平方、两数差的平方，展开后为“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方”。首先先确定原式中两个平方项对应的底数，再根据中间项的两种符号情况，建立关于m的等式求解，注意不要漏了符号相反的情况。
【解析】
完全平方公式为：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
首先将原式的两个平方项改写为平方形式：
$9x^2=(3x)^2$，$16y^2=(4y)^2$，
若$9x^2 - mxy + 16y^2$是完全平方式，则中间项为$\pm 2× 3x × 4y = \pm 24xy$，
对比原式中间项为$-mxy$，可得：$-mxy = \pm 24xy$，
根据多项式对应项系数相等，得$-m=\pm24$，
因此$m=\pm24$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题易因忽略完全平方公式有两种形式，仅考虑单一符号的中间项而漏解，解题时要注意中间项的符号有正负两种可能，需分类讨论避免丢分。
【难度系数】
0.7
6.如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，则$a^2b+ab^2-ab$的值为（
A.70
B.60
C.130
D.140
B
）A.70
B.60
C.130
D.140
答案
6.B
解析
【分析】
首先根据矩形的周长和面积公式，求出a+b与ab的值；再观察待求的代数式$a^2b+ab^2-ab$，发现各项都含有公因式ab，因此先提取公因式对代数式进行因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵矩形的周长为14，面积为10，
∴$2(a+b)=14$，$ab=10$，
解得：$a+b=7$，$ab=10$。
对代数式因式分解可得：
$a^2b+ab^2-ab = ab(a+b) - ab$
将$a+b=7$，$ab=10$代入上式：
原式$=10×7 - 10 =70 -10=60$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；矩形周长与面积计算；代数式整体代入求值
【点评】
本题的解题核心是运用整体代入思想，避免求解a、b的具体数值，通过因式分解将待求式变形为与已知条件相关的形式即可快速计算，既降低了运算量，也减少了计算出错的可能性。
【难度系数】
0.7
首先根据矩形的周长和面积公式，求出a+b与ab的值；再观察待求的代数式$a^2b+ab^2-ab$，发现各项都含有公因式ab，因此先提取公因式对代数式进行因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，最后整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，可简化计算过程。
【解析】
解：
∵矩形的周长为14，面积为10，
∴$2(a+b)=14$，$ab=10$，
解得：$a+b=7$，$ab=10$。
对代数式因式分解可得：
$a^2b+ab^2-ab = ab(a+b) - ab$
将$a+b=7$，$ab=10$代入上式：
原式$=10×7 - 10 =70 -10=60$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；矩形周长与面积计算；代数式整体代入求值
【点评】
本题的解题核心是运用整体代入思想，避免求解a、b的具体数值，通过因式分解将待求式变形为与已知条件相关的形式即可快速计算，既降低了运算量，也减少了计算出错的可能性。
【难度系数】
0.7
7.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”.如$8=3^2 - 1^2$，$16=5^2 - 3^2$，所以8，16都是“凤凰数”.
下列正整数中，属于“凤凰数”的是（
A.22
B.24
C.30
D.34
下列正整数中，属于“凤凰数”的是（
B
）A.22
B.24
C.30
D.34
答案
7.B
解析
【分析】
要判断哪个数是“凤凰数”，首先需要推导“凤凰数”的共同特征：先设出两个连续奇数的代数表达式，再利用平方差公式对两个连续奇数的平方差进行化简，得到凤凰数的统一表达形式，最后逐一验证选项是否符合该特征即可。
【解析】
设较小的连续奇数为$2n-1$（$n$为正整数），则与其连续的较大奇数为$2n+1$。
根据“凤凰数”的定义，计算两个连续奇数的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=[(2n+1)-(2n-1)]·[(2n+1)+(2n-1)]\\&=2×4n\\&=8n\end{aligned}$
由此可得：“凤凰数”是8的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $22÷8=2.75$，不是整数，不属于凤凰数；
B. $24÷8=3$，是正整数，属于凤凰数；
C. $30÷8=3.75$，不是整数，不属于凤凰数；
D. $34÷8=4.25$，不是整数，不属于凤凰数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查整式运算的实际应用，解题核心是通过代数推导得到新定义类数字的特征，再结合特征快速筛选选项，熟练掌握平方差公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断哪个数是“凤凰数”，首先需要推导“凤凰数”的共同特征：先设出两个连续奇数的代数表达式，再利用平方差公式对两个连续奇数的平方差进行化简，得到凤凰数的统一表达形式，最后逐一验证选项是否符合该特征即可。
【解析】
设较小的连续奇数为$2n-1$（$n$为正整数），则与其连续的较大奇数为$2n+1$。
根据“凤凰数”的定义，计算两个连续奇数的平方差：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=[(2n+1)-(2n-1)]·[(2n+1)+(2n-1)]\\&=2×4n\\&=8n\end{aligned}$
由此可得：“凤凰数”是8的正整数倍。
逐一验证选项：
A. $22÷8=2.75$，不是整数，不属于凤凰数；
B. $24÷8=3$，是正整数，属于凤凰数；
C. $30÷8=3.75$，不是整数，不属于凤凰数；
D. $34÷8=4.25$，不是整数，不属于凤凰数。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式化简，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查整式运算的实际应用，解题核心是通过代数推导得到新定义类数字的特征，再结合特征快速筛选选项，熟练掌握平方差公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
8.在日常生活中,经常会用到密码,有一种利用“因式分解”法生成的密码可以方便记忆.如将$x^2 - 9$因式分解为$(x - 3)(x + 3)$,取个人年龄作为$x$的值,当$x = 13$时,$x - 3 = 10$,$x + 3 =$16,由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将$x^3 - x$因式分解后,取自己的年龄15设置了一个密码,他设置的密码可能是(
A.151416
B.151515
C.141514
D.131415
A
)A.151416
B.151515
C.141514
D.131415
答案
8.A
解析
【分析】
解题首先要明确题目的密码生成规则：先将给定多项式因式分解为若干整式的乘积，再将x的取值代入每个因式，得到的多个数值组合即为密码。解题分两步走：第一步对多项式$x^3 - x$进行因式分解，注意因式分解要分解到不能再分解为止；第二步将$x=15$代入每个因式得到对应数值，核对选项中由这几个数值组成的就是正确答案。
【解析】
1. 对多项式$x^3 - x$因式分解：
先提取公因式$x$，得：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
再利用平方差公式分解$x^2 -1$，得：$x(x^2 -1) = x(x-1)(x+1)$
2. 代入$x=15$计算各因式的值：
$x=15$，$x-1=15-1=14$，$x+1=15+1=16$
即三个因式对应的数值为15、14、16，组合后可得密码151416。
【答案】A
【知识点】因式分解，平方差公式，代数式求值
【点评】本题是因式分解在实际场景中的简单应用，核心是掌握因式分解的步骤（先提公因式，再用公式），确保分解彻底，再代入数值计算即可快速解题。
【难度系数】0.8
解题首先要明确题目的密码生成规则：先将给定多项式因式分解为若干整式的乘积，再将x的取值代入每个因式，得到的多个数值组合即为密码。解题分两步走：第一步对多项式$x^3 - x$进行因式分解，注意因式分解要分解到不能再分解为止；第二步将$x=15$代入每个因式得到对应数值，核对选项中由这几个数值组成的就是正确答案。
【解析】
1. 对多项式$x^3 - x$因式分解：
先提取公因式$x$，得：$x^3 - x = x(x^2 - 1)$
再利用平方差公式分解$x^2 -1$，得：$x(x^2 -1) = x(x-1)(x+1)$
2. 代入$x=15$计算各因式的值：
$x=15$，$x-1=15-1=14$，$x+1=15+1=16$
即三个因式对应的数值为15、14、16，组合后可得密码151416。
【答案】A
【知识点】因式分解，平方差公式，代数式求值
【点评】本题是因式分解在实际场景中的简单应用，核心是掌握因式分解的步骤（先提公因式，再用公式），确保分解彻底，再代入数值计算即可快速解题。
【难度系数】0.8
9.分解因式：$m^2n - n^2m =$
$mn(m-n)$
。答案
9.$mn(m-n)$
解析
【分析】
解决这道分解因式的题目，首先回忆分解因式的常规步骤：第一步优先判断多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式，再判断剩余部分是否还能继续分解。首先观察多项式$m^2n - n^2m$的两项：系数的最大公因数是1，两项都含有的字母是m和n，且m的最低次幂是1次，n的最低次幂是1次，因此公因式为$mn$。提取公因式后得到剩余的因式，再验证剩余部分不能继续分解即可得到结果。
【解析】
对$m^2n - n^2m$分解因式：
第一步，确定公因式：两项的公因式为$mn$；
第二步，提取公因式：
$m^2n - n^2m = mn · m - mn · n = mn(m - n)$
第三步，检查剩余因式$m-n$不存在公因式，也不能用公式法继续分解，分解完成。
【答案】
$mn(m-n)$
【知识点】
提公因式法、因式分解
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后要注意检查剩余部分是否已分解到不能再分解的形式。
【难度系数】
0.9
解决这道分解因式的题目，首先回忆分解因式的常规步骤：第一步优先判断多项式各项是否存在公因式，若有则先提取公因式，再判断剩余部分是否还能继续分解。首先观察多项式$m^2n - n^2m$的两项：系数的最大公因数是1，两项都含有的字母是m和n，且m的最低次幂是1次，n的最低次幂是1次，因此公因式为$mn$。提取公因式后得到剩余的因式，再验证剩余部分不能继续分解即可得到结果。
【解析】
对$m^2n - n^2m$分解因式：
第一步，确定公因式：两项的公因式为$mn$；
第二步，提取公因式：
$m^2n - n^2m = mn · m - mn · n = mn(m - n)$
第三步，检查剩余因式$m-n$不存在公因式，也不能用公式法继续分解，分解完成。
【答案】
$mn(m-n)$
【知识点】
提公因式法、因式分解
【点评】
本题是分解因式的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式后要注意检查剩余部分是否已分解到不能再分解的形式。
【难度系数】
0.9
10.若$x^2 + ax -24=(x+2)(x-12)$，则a的值为
$-10$
.答案
10.$-10$
解析
【分析】
本题可利用整式乘法与因式分解的互逆关系求解。首先将等式右侧的两个一次多项式相乘展开，得到展开后的二次三项式，再将其与等式左侧的多项式对比，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可求出a的值。
【解析】
先计算等式右侧的整式乘法：
$\begin{aligned}(x+2)(x-12)&=x· x -12· x +2· x +2×(-12)\\&=x^2 -12x +2x -24\\&=x^2 -10x -24\end{aligned}$
已知$x^2 + ax -24=(x+2)(x-12)$，因此可得$x^2 + ax -24=x^2 -10x -24$。
根据多项式相等时对应项系数相等，可得一次项系数$a=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
整式乘法运算；多项式相等条件；因式分解意义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查整式乘法与因式分解的互逆关系，只要熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，结合多项式对应项系数相等的性质就能快速得出结果，是因式分解相关的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
本题可利用整式乘法与因式分解的互逆关系求解。首先将等式右侧的两个一次多项式相乘展开，得到展开后的二次三项式，再将其与等式左侧的多项式对比，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，即可求出a的值。
【解析】
先计算等式右侧的整式乘法：
$\begin{aligned}(x+2)(x-12)&=x· x -12· x +2· x +2×(-12)\\&=x^2 -12x +2x -24\\&=x^2 -10x -24\end{aligned}$
已知$x^2 + ax -24=(x+2)(x-12)$，因此可得$x^2 + ax -24=x^2 -10x -24$。
根据多项式相等时对应项系数相等，可得一次项系数$a=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
整式乘法运算；多项式相等条件；因式分解意义
【点评】
本题属于基础题型，主要考查整式乘法与因式分解的互逆关系，只要熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，结合多项式对应项系数相等的性质就能快速得出结果，是因式分解相关的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
11.已知$a^2 -1 = 2023 × 2025$，且a为正整数，则$a=$
$2024$
。答案
11.$2024$
解析
【分析】
首先观察等式左侧的$a^2-1$，符合平方差公式的结构，可分解为$(a-1)(a+1)$；再看等式右侧的两个因数2023和2025，二者相差2，可表示为$2024-1$和$2024+1$，同样符合平方差公式的结构，对右侧变形后即可和左侧等式对应，进而求出a的值。
【解析】
根据平方差公式可得：$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$
将等式右侧的乘积变形：
$2023 × 2025 = (2024 - 1)(2024 + 1) = 2024^2 - 1^2 = 2024^2 - 1$
代入原等式可得：
$a^2 - 1 = 2024^2 - 1$
等式两边同时加1得：$a^2 = 2024^2$
因为a为正整数，所以$a = 2024$
【答案】
2024
【知识点】
平方差公式、等式的基本性质
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是识别等式两边的结构特征，将右侧的乘积转化为平方差形式，无需计算大数乘积即可快速求解，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
首先观察等式左侧的$a^2-1$，符合平方差公式的结构，可分解为$(a-1)(a+1)$；再看等式右侧的两个因数2023和2025，二者相差2，可表示为$2024-1$和$2024+1$，同样符合平方差公式的结构，对右侧变形后即可和左侧等式对应，进而求出a的值。
【解析】
根据平方差公式可得：$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$
将等式右侧的乘积变形：
$2023 × 2025 = (2024 - 1)(2024 + 1) = 2024^2 - 1^2 = 2024^2 - 1$
代入原等式可得：
$a^2 - 1 = 2024^2 - 1$
等式两边同时加1得：$a^2 = 2024^2$
因为a为正整数，所以$a = 2024$
【答案】
2024
【知识点】
平方差公式、等式的基本性质
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是识别等式两边的结构特征，将右侧的乘积转化为平方差形式，无需计算大数乘积即可快速求解，能有效锻炼学生的代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
12.已知甲、乙两人完成因式分解$x^2+ax+b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果为$(x+6)(x-2)$；乙看错了$b$的值，分解的结果为$(x-8)(x+4)$。那么因式分解$x^2+ax+b$的正确结果为
$(x-6)(x+2)$
。答案
12.$(x-6)(x+2)$
解析
【分析】
因式分解与整式乘法是互逆运算，甲仅看错a的值，说明他分解得到的式子展开后常数项b是正确的；乙仅看错b的值，说明他分解得到的式子展开后一次项系数a是正确的。我们可以先分别展开两人的因式分解结果，求出正确的a、b值，再对原式进行因式分解即可。
【解析】
第一步：求正确的b值
将甲的分解结果展开：$(x+6)(x-2)=x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12$
因为甲仅看错a的值，所以常数项b正确，即$b=-12$。
第二步：求正确的a值
将乙的分解结果展开：$(x-8)(x+4)=x^2 - 8x + 4x - 32 = x^2 - 4x - 32$
因为乙仅看错b的值，所以一次项系数a正确，即$a=-4$。
第三步：对正确的二次三项式因式分解
原多项式为$x^2 -4x -12$，用十字相乘法分解：
找两个数，乘积为$-12$，和为$-4$，这两个数是$-6$和$2$，因此：
$x^2 -4x -12=(x-6)(x+2)$
【答案】
$(x-6)(x+2)$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是利用“仅看错某一个系数时，另一个系数计算正确”的逻辑得到正确的参数值，再进行因式分解，掌握整式乘法和因式分解的互逆关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
因式分解与整式乘法是互逆运算，甲仅看错a的值，说明他分解得到的式子展开后常数项b是正确的；乙仅看错b的值，说明他分解得到的式子展开后一次项系数a是正确的。我们可以先分别展开两人的因式分解结果，求出正确的a、b值，再对原式进行因式分解即可。
【解析】
第一步：求正确的b值
将甲的分解结果展开：$(x+6)(x-2)=x^2 + 6x - 2x - 12 = x^2 + 4x - 12$
因为甲仅看错a的值，所以常数项b正确，即$b=-12$。
第二步：求正确的a值
将乙的分解结果展开：$(x-8)(x+4)=x^2 - 8x + 4x - 32 = x^2 - 4x - 32$
因为乙仅看错b的值，所以一次项系数a正确，即$a=-4$。
第三步：对正确的二次三项式因式分解
原多项式为$x^2 -4x -12$，用十字相乘法分解：
找两个数，乘积为$-12$，和为$-4$，这两个数是$-6$和$2$，因此：
$x^2 -4x -12=(x-6)(x+2)$
【答案】
$(x-6)(x+2)$
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的互逆性
2. 十字相乘法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是利用“仅看错某一个系数时，另一个系数计算正确”的逻辑得到正确的参数值，再进行因式分解，掌握整式乘法和因式分解的互逆关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共52分)
13.(15分)分解因式:
(1)$2a^2b - 8b$；
(2)$-xy^3 + 10xy^2 - 25xy$；
(3)$(a + b) - 2a(a + b) + a^2(a + b)$。
13.(15分)分解因式:
(1)$2a^2b - 8b$；
(2)$-xy^3 + 10xy^2 - 25xy$；
(3)$(a + b) - 2a(a + b) + a^2(a + b)$。
答案
13.(1)$2b(a-2)(a+2)$
(2)$-xy(y-5)^2$
(3)$(a+b)(a-1)^2$
(2)$-xy(y-5)^2$
(3)$(a+b)(a-1)^2$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用解题步骤：第一步先提取各项的公因式，第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差或完全平方公式的结构，若符合则套用公式继续分解，第三步检查最终结果是否分解彻底，每个因式都不能再分解为止。
针对本题三个小题：
(1) 先找到两项的公因式2b，提取后剩余的$a^2-4$符合平方差公式结构，继续分解即可；
(2) 三项首项为负，优先提取公因式$-xy$，剩余的$y^2-10y+25$符合完全平方公式结构，继续分解即可；
(3) 三项都含有公因式$(a+b)$，提取后剩余的$a^2-2a+1$符合完全平方公式结构，继续分解即可。
【解析】
(1) $2a^2b - 8b$
$=2b(a^2 - 4)$
$=2b(a - 2)(a + 2)$
(2) $-xy^3 + 10xy^2 - 25xy$
$=-xy(y^2 - 10y + 25)$
$=-xy(y - 5)^2$
(3) $(a + b) - 2a(a + b) + a^2(a + b)$
$=(a + b)(1 - 2a + a^2)$
$=(a + b)(a - 1)^2$
【答案】
(1)$2b(a-2)(a+2)$
(2)$-xy(y-5)^2$
(3)$(a+b)(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，重点考察因式分解的基本步骤，解题时需注意：若多项式首项系数为负，要先提取负号；分解结束后要检查是否分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解遵循“一提、二套、三查”的通用解题步骤：第一步先提取各项的公因式，第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差或完全平方公式的结构，若符合则套用公式继续分解，第三步检查最终结果是否分解彻底，每个因式都不能再分解为止。
针对本题三个小题：
(1) 先找到两项的公因式2b，提取后剩余的$a^2-4$符合平方差公式结构，继续分解即可；
(2) 三项首项为负，优先提取公因式$-xy$，剩余的$y^2-10y+25$符合完全平方公式结构，继续分解即可；
(3) 三项都含有公因式$(a+b)$，提取后剩余的$a^2-2a+1$符合完全平方公式结构，继续分解即可。
【解析】
(1) $2a^2b - 8b$
$=2b(a^2 - 4)$
$=2b(a - 2)(a + 2)$
(2) $-xy^3 + 10xy^2 - 25xy$
$=-xy(y^2 - 10y + 25)$
$=-xy(y - 5)^2$
(3) $(a + b) - 2a(a + b) + a^2(a + b)$
$=(a + b)(1 - 2a + a^2)$
$=(a + b)(a - 1)^2$
【答案】
(1)$2b(a-2)(a+2)$
(2)$-xy(y-5)^2$
(3)$(a+b)(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，重点考察因式分解的基本步骤，解题时需注意：若多项式首项系数为负，要先提取负号；分解结束后要检查是否分解彻底，避免出现分解不完整的错误。
【难度系数】
0.8
