登录
14.(10分)先分解因式,再求值:$2(a-3)^2 - a + 3$,其中$a=2.$
答案
14.分解因式的结果为$(a-3)(2a-7)$,值为3
解析
【分析】
首先观察待分解的代数式结构，发现式子中含有$(a-3)^2$项，而后面的$-a+3$可以变形为$-(a-3)$，因此可以将$(a-3)$看作整体，提取公因式$(a-3)$完成因式分解，再将$a=2$代入分解后的式子计算数值，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}2(a-3)^2 - a + 3&=2(a-3)^2 - (a-3) \quad \mathrm{（构造公因式}a-3\mathrm{）}\\&=(a-3)[2(a-3) - 1] \quad \mathrm{（提取公因式}a-3\mathrm{）}\\&=(a-3)(2a - 6 - 1)\\&=(a-3)(2a -7)\end{aligned}$
再代入$a=2$求值：
当$a=2$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2-3)×(2×2 -7)\\&=(-1)×(4-7)\\&=(-1)×(-3)\\&=3\end{aligned}$
【答案】
分解因式的结果为$(a-3)(2a-7)$，值为3
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是通过恒等变形找到公因式，利用整体思想简化运算，能有效降低求值时的计算量，是因式分解的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解的代数式结构，发现式子中含有$(a-3)^2$项，而后面的$-a+3$可以变形为$-(a-3)$，因此可以将$(a-3)$看作整体，提取公因式$(a-3)$完成因式分解，再将$a=2$代入分解后的式子计算数值，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对代数式进行因式分解：
$\begin{aligned}2(a-3)^2 - a + 3&=2(a-3)^2 - (a-3) \quad \mathrm{（构造公因式}a-3\mathrm{）}\\&=(a-3)[2(a-3) - 1] \quad \mathrm{（提取公因式}a-3\mathrm{）}\\&=(a-3)(2a - 6 - 1)\\&=(a-3)(2a -7)\end{aligned}$
再代入$a=2$求值：
当$a=2$时，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2-3)×(2×2 -7)\\&=(-1)×(4-7)\\&=(-1)×(-3)\\&=3\end{aligned}$
【答案】
分解因式的结果为$(a-3)(2a-7)$，值为3
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，解题核心是通过恒等变形找到公因式，利用整体思想简化运算，能有效降低求值时的计算量，是因式分解的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
15.(12分)已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$a^3 - a^2b +5ac -5bc=0$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
15.$△ABC$是等腰三角形.理由略
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需推导三边a、b、c的等量关系。已知给出关于三边的整式等式，解题思路为：先对等式左边做因式分解，通过分组提取公因式的方法将式子变形为几个因式乘积为0的形式，再结合三角形边长均为正数的性质，排除不可能为0的因式，即可得到两条边相等的结论，进而判断三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}a^3 - a^2b +5ac -5bc&=0\\a^2(a - b) + 5c(a - b)&=0\\(a - b)(a^2 + 5c)&=0\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a＞0，c＞0，
∴$a^2 + 5c ＞ 0$，
∴仅当$a - b = 0$时等式成立，即$a = b$，
∴△ABC有两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
因式分解；等腰三角形判定；三角形边长性质
【点评】
本题是整式运算与三角形判定结合的基础题型，解题核心是通过分组因式分解对已知等式变形，结合边长为正的性质得到边的等量关系，考察学生的因式分解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需推导三边a、b、c的等量关系。已知给出关于三边的整式等式，解题思路为：先对等式左边做因式分解，通过分组提取公因式的方法将式子变形为几个因式乘积为0的形式，再结合三角形边长均为正数的性质，排除不可能为0的因式，即可得到两条边相等的结论，进而判断三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
对已知等式左边因式分解：
$\begin{aligned}a^3 - a^2b +5ac -5bc&=0\\a^2(a - b) + 5c(a - b)&=0\\(a - b)(a^2 + 5c)&=0\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴a＞0，c＞0，
∴$a^2 + 5c ＞ 0$，
∴仅当$a - b = 0$时等式成立，即$a = b$，
∴△ABC有两条边相等，为等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
因式分解；等腰三角形判定；三角形边长性质
【点评】
本题是整式运算与三角形判定结合的基础题型，解题核心是通过分组因式分解对已知等式变形，结合边长为正的性质得到边的等量关系，考察学生的因式分解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
16.(15分)形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子称为完全平方式,如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变.这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题.
例如,①分解因式:$x^2+2x-3$.
解:原式$=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
②求代数式$2x^2+4x-6$的最小值.
解:原式$=2(x^2+2x-3)=2(x+1)^2-8$.
$\because 2(x+1)^2≥0$,
$\therefore 2(x+1)^2-8≥-8$,
$\therefore$当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
根据材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2+6x-7$.
(2)当$x$为何值时,多项式$-2x^2-4x+5$有最大值?求出这个最大值.
(3)求出等式$a^2+5b^2-4ab-2b+1=0$中$a,b$的值.
例如,①分解因式:$x^2+2x-3$.
解:原式$=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$.
②求代数式$2x^2+4x-6$的最小值.
解:原式$=2(x^2+2x-3)=2(x+1)^2-8$.
$\because 2(x+1)^2≥0$,
$\therefore 2(x+1)^2-8≥-8$,
$\therefore$当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$.
根据材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$x^2+6x-7$.
(2)当$x$为何值时,多项式$-2x^2-4x+5$有最大值?求出这个最大值.
(3)求出等式$a^2+5b^2-4ab-2b+1=0$中$a,b$的值.
答案
16.(1)$(x+7)(x-1)$
(2)当$x=-1$时,多项式$-2x^2-4x+5$有最大值,最大值是7
(3)$a=2,b=1$
(2)当$x=-1$时,多项式$-2x^2-4x+5$有最大值,最大值是7
(3)$a=2,b=1$
解析
【分析】
(1) 分解因式思路：类比示例的配方法因式分解逻辑，先对二次项、一次项凑完全平方式，添加一次项系数一半的平方，再减去该数保证式子值不变，将原式转化为平方差结构，再用平方差公式分解即可。
(2) 求最大值思路：先提取二次项系数，对剩余的二次项、一次项配方，结合平方的非负性分析：由于平方项的系数为负，因此当平方项取0时，整个多项式取得最大值，代入计算即可。
(3) 求a、b值思路：将等式左边的多项式拆分重组，转化为两个完全平方式相加的形式，根据非负数的性质（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
(1) 分解因式$x^2+6x-7$：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+6x+9)-9-7\\&=(x+3)^2-16\\&=(x+3)^2-4^2\\&=(x+3+4)(x+3-4)\\&=(x+7)(x-1)\end{aligned}$
(2) 求多项式$-2x^2-4x+5$的最大值：
$\begin{aligned}原式&=-2(x^2+2x)+5\\&=-2[(x^2+2x+1)-1]+5\\&=-2(x+1)^2+2+5\\&=-2(x+1)^2+7\end{aligned}$
$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore -2(x+1)^2≤0$
$\therefore -2(x+1)^2+7≤7$
当$(x+1)^2=0$即$x=-1$时，多项式取得最大值。
(3) 求$a^2+5b^2-4ab-2b+1=0$中$a,b$的值：
将原式拆分重组得：
$\begin{aligned}a^2-4ab+4b^2+b^2-2b+1&=0\\(a-2b)^2+(b-1)^2&=0\end{aligned}$
$\because (a-2b)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，两个非负数的和为0
$\therefore \begin{cases}a-2b=0\\b-1=0\end{cases}$
解得$b=1$，代入$a-2b=0$得$a=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+7)(x-1)}$
(2) 当$\boldsymbol{x=-1}$时，多项式有最大值，最大值是$\boldsymbol{7}$
(3) $\boldsymbol{a=2,b=1}$
【知识点】
配方法的应用，因式分解，非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设计三类典型题型，既考查对完全平方公式结构的掌握，也考查代数变形能力和非负数性质的运用，需要准确理解配方法“凑完全平方且值不变”的核心，能有效检验对配方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 分解因式思路：类比示例的配方法因式分解逻辑，先对二次项、一次项凑完全平方式，添加一次项系数一半的平方，再减去该数保证式子值不变，将原式转化为平方差结构，再用平方差公式分解即可。
(2) 求最大值思路：先提取二次项系数，对剩余的二次项、一次项配方，结合平方的非负性分析：由于平方项的系数为负，因此当平方项取0时，整个多项式取得最大值，代入计算即可。
(3) 求a、b值思路：将等式左边的多项式拆分重组，转化为两个完全平方式相加的形式，根据非负数的性质（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），列方程求解即可得到a、b的值。
【解析】
(1) 分解因式$x^2+6x-7$：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+6x+9)-9-7\\&=(x+3)^2-16\\&=(x+3)^2-4^2\\&=(x+3+4)(x+3-4)\\&=(x+7)(x-1)\end{aligned}$
(2) 求多项式$-2x^2-4x+5$的最大值：
$\begin{aligned}原式&=-2(x^2+2x)+5\\&=-2[(x^2+2x+1)-1]+5\\&=-2(x+1)^2+2+5\\&=-2(x+1)^2+7\end{aligned}$
$\because (x+1)^2≥0$，$\therefore -2(x+1)^2≤0$
$\therefore -2(x+1)^2+7≤7$
当$(x+1)^2=0$即$x=-1$时，多项式取得最大值。
(3) 求$a^2+5b^2-4ab-2b+1=0$中$a,b$的值：
将原式拆分重组得：
$\begin{aligned}a^2-4ab+4b^2+b^2-2b+1&=0\\(a-2b)^2+(b-1)^2&=0\end{aligned}$
$\because (a-2b)^2≥0$，$(b-1)^2≥0$，两个非负数的和为0
$\therefore \begin{cases}a-2b=0\\b-1=0\end{cases}$
解得$b=1$，代入$a-2b=0$得$a=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+7)(x-1)}$
(2) 当$\boldsymbol{x=-1}$时，多项式有最大值，最大值是$\boldsymbol{7}$
(3) $\boldsymbol{a=2,b=1}$
【知识点】
配方法的应用，因式分解，非负数的性质
【点评】
本题围绕配方法设计三类典型题型，既考查对完全平方公式结构的掌握，也考查代数变形能力和非负数性质的运用，需要准确理解配方法“凑完全平方且值不变”的核心，能有效检验对配方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
