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1. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ A = 30°$, $AB + BC = 12\ \mathrm{cm}$, 则 $AB$ 的长为 (
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
C
)A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
答案
1. C 设 BC = x cm,
∵ ∠C = 90°, ∠A = 30°,
∴ AB = 2BC = 2x cm.
∵ AB + BC = 12 cm,
∴ 2x + x = 12,
∴ x = 4,
∴ AB = 8 cm.
∵ ∠C = 90°, ∠A = 30°,
∴ AB = 2BC = 2x cm.
∵ AB + BC = 12 cm,
∴ 2x + x = 12,
∴ x = 4,
∴ AB = 8 cm.
解析
【分析】
解题时首先观察到题干给出的是含30°角的直角三角形，先回忆相关性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。本题中∠A=30°，它所对的直角边是BC，斜边是AB，由此可得BC和AB的数量关系；再结合已知条件AB+BC=12cm，可通过设未知数列一元一次方程的方式求解AB的长度。
【解析】
设BC的长为x cm，
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=30°$，
∴ 根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得$AB=2BC=2x\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AB + BC = 12\ \mathrm{cm}$，
∴ 代入得$2x + x = 12$，
解得$x=4$，
∴ $AB=2x=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质；2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，结合方程思想求解边长，只要熟练掌握对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到题干给出的是含30°角的直角三角形，先回忆相关性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。本题中∠A=30°，它所对的直角边是BC，斜边是AB，由此可得BC和AB的数量关系；再结合已知条件AB+BC=12cm，可通过设未知数列一元一次方程的方式求解AB的长度。
【解析】
设BC的长为x cm，
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=30°$，
∴ 根据30°角所对的直角边是斜边的一半，可得$AB=2BC=2x\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AB + BC = 12\ \mathrm{cm}$，
∴ 代入得$2x + x = 12$，
解得$x=4$，
∴ $AB=2x=2×4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质；2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查含30°角的直角三角形的性质，结合方程思想求解边长，只要熟练掌握对应性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. [2025蚌埠期末]如图是某商场一楼与二楼之间的电扶梯示意图. ∠ABC = 150°, BC的长是8 m,则乘电扶梯从点B到点C上升的高度h是 (
A.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ m
B.$4\sqrt{3}$ m
C.4 m
D.8 m
C
)A.$\frac{8\sqrt{3}}{3}$ m
B.$4\sqrt{3}$ m
C.4 m
D.8 m
答案
2. C 如图,过点 C 作 CE ⊥ AB 交 AB 的延长线于 E,则∠BEC = 90°.
∵ ∠ABC = 150°,
∴ ∠CBE = 30°,
∴ CE = $\frac{1}{2}$ BC = 4 m.
解析
【分析】
要求从B到C上升的高度h，即求点C到AB所在水平线的垂直距离，首先需构造含h的直角三角形：过点C作AB延长线的垂线，得到直角三角形△BEC。接下来利用已知的∠ABC=150°，根据邻补角的性质求出直角三角形中锐角∠CBE的度数，再结合含30°角的直角三角形的边长性质，即可算出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则∠BEC=90°。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△BEC中，∠CBE=30°，斜边BC=8m，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
h=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4m。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 邻补角的计算
【点评】
本题结合生活中的扶梯场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是正确作垂线构造直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质计算边长，侧重对基础性质的理解和运用。
【难度系数】
0.8
要求从B到C上升的高度h，即求点C到AB所在水平线的垂直距离，首先需构造含h的直角三角形：过点C作AB延长线的垂线，得到直角三角形△BEC。接下来利用已知的∠ABC=150°，根据邻补角的性质求出直角三角形中锐角∠CBE的度数，再结合含30°角的直角三角形的边长性质，即可算出h的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，则∠BEC=90°。
∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠CBE=180°-∠ABC=180°-150°=30°。
在Rt△BEC中，∠CBE=30°，斜边BC=8m，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
h=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4m。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 邻补角的计算
【点评】
本题结合生活中的扶梯场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是正确作垂线构造直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质计算边长，侧重对基础性质的理解和运用。
【难度系数】
0.8
3. ▶教材P151T3变式 [2026 六安金安区期末] 如图, 在$△ ABC$中, $∠ ACB = 90°$, $∠ A = 30°$, $CD ⊥ AB$于点$D$. 若$BD = 1$, 则$AD$的长度为 (
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
B
)A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
答案
3. B 在△ABC 中,∠ACB = 90°, ∠A = 30°,
∴ ∠B = 60°, AB = 2BC.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠BDC = 90°,
∴ ∠BCD = 30°,
∴ BC = 2BD = 2,
∴ AB = 2BC = 4,
∴ AD = AB - BD = 3.
∴ ∠B = 60°, AB = 2BC.
∵ CD ⊥ AB,
∴ ∠BDC = 90°,
∴ ∠BCD = 30°,
∴ BC = 2BD = 2,
∴ AB = 2BC = 4,
∴ AD = AB - BD = 3.
解析
【分析】
解题时可结合已知的直角和30°角，优先联想含30°角的直角三角形的性质推导边长关系：①先在Rt△ABC中，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，同时得到AB与BC的倍数关系；②再在Rt△BCD中，求出∠BCD=30°，结合BD=1求出BC的长度；③最后根据AB与BC的关系求出AB总长，用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°，AB = 2BC（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠BDC = 90°，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ∠BCD = 90° - 60° = 30°，
∴ BC = 2BD = 2×1 = 2，
∴ AB = 2BC = 2×2 = 4，
∴ AD = AB - BD = 4 - 1 = 3。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含特殊角的直角三角形的基础应用题，解题核心是找准不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，逐步推导边长，是该考点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知的直角和30°角，优先联想含30°角的直角三角形的性质推导边长关系：①先在Rt△ABC中，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，同时得到AB与BC的倍数关系；②再在Rt△BCD中，求出∠BCD=30°，结合BD=1求出BC的长度；③最后根据AB与BC的关系求出AB总长，用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
在△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，
∴ ∠B = 90° - 30° = 60°，AB = 2BC（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∵ CD ⊥ AB，
∴ ∠BDC = 90°，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ ∠BCD = 90° - 60° = 30°，
∴ BC = 2BD = 2×1 = 2，
∴ AB = 2BC = 2×2 = 4，
∴ AD = AB - BD = 4 - 1 = 3。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含特殊角的直角三角形的基础应用题，解题核心是找准不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，逐步推导边长，是该考点的典型考查题型。
【难度系数】
0.7
4. ▶易错题 如图，已知OA=10，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当△AOP是直角三角形时，OP的长为
5或20
。答案
4. 5或20 当△AOP 是直角三角形时,分两种情况讨论:当∠APO 是直角时,∠OAP = 30°,
∴ 在 Rt △AOP 中,OP = $\frac{1}{2}$ OA = 5;当∠OAP 是直角时,∠OPA = 30°,
∴ 在 Rt △AOP 中, OA = $\frac{1}{2}$ OP,
∴ OP = 2OA = 20. 综上,OP 的长为 5 或 20.
避坑指南
“△AOP 是直角三角形”中没有指明哪个角是直角,应注意分类讨论.
∴ 在 Rt △AOP 中,OP = $\frac{1}{2}$ OA = 5;当∠OAP 是直角时,∠OPA = 30°,
∴ 在 Rt △AOP 中, OA = $\frac{1}{2}$ OP,
∴ OP = 2OA = 20. 综上,OP 的长为 5 或 20.
避坑指南
“△AOP 是直角三角形”中没有指明哪个角是直角,应注意分类讨论.
解析
【分析】
题目未指明△AOP的直角顶点，因此首先需分类讨论直角的所有可能情况：已知∠AON=60°，因此∠O不可能为直角，仅需分别讨论∠APO为直角、∠OAP为直角两种情况，再结合含30°角的直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，分别计算OP的长度即可。
【解析】
当△AOP为直角三角形时，分两种情况讨论：
1. 当∠APO=90°时，由三角形内角和可得∠OAP=180°-90°-60°=30°，
在Rt△AOP中，30°角∠OAP所对的直角边为OP，斜边为OA=10，
根据含30°角的直角三角形性质，得$OP=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×10=5$；
2. 当∠OAP=90°时，由三角形内角和可得∠APO=180°-90°-60°=30°，
在Rt△AOP中，30°角∠APO所对的直角边为OA=10，斜边为OP，
根据含30°角的直角三角形性质，得$OA=\frac{1}{2}OP$，因此$OP=2OA=2×10=20$。
综上，OP的长为5或20。
【答案】
5或20
【知识点】
30°直角三角形性质；分类讨论思想；三角形内角和定理
【点评】
本题是常见易错题，易错点为忽略直角顶点的多种可能性，仅考虑一种直角情况导致漏解。解决此类未指明直角的直角三角形问题时，需先结合已知角排除不可能的直角情况，再对剩余可能的直角情况逐一分析计算。
【难度系数】
0.6
题目未指明△AOP的直角顶点，因此首先需分类讨论直角的所有可能情况：已知∠AON=60°，因此∠O不可能为直角，仅需分别讨论∠APO为直角、∠OAP为直角两种情况，再结合含30°角的直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，分别计算OP的长度即可。
【解析】
当△AOP为直角三角形时，分两种情况讨论：
1. 当∠APO=90°时，由三角形内角和可得∠OAP=180°-90°-60°=30°，
在Rt△AOP中，30°角∠OAP所对的直角边为OP，斜边为OA=10，
根据含30°角的直角三角形性质，得$OP=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×10=5$；
2. 当∠OAP=90°时，由三角形内角和可得∠APO=180°-90°-60°=30°，
在Rt△AOP中，30°角∠APO所对的直角边为OA=10，斜边为OP，
根据含30°角的直角三角形性质，得$OA=\frac{1}{2}OP$，因此$OP=2OA=2×10=20$。
综上，OP的长为5或20。
【答案】
5或20
【知识点】
30°直角三角形性质；分类讨论思想；三角形内角和定理
【点评】
本题是常见易错题，易错点为忽略直角顶点的多种可能性，仅考虑一种直角情况导致漏解。解决此类未指明直角的直角三角形问题时，需先结合已知角排除不可能的直角情况，再对剩余可能的直角情况逐一分析计算。
【难度系数】
0.6
5. 一题多解 教材P157T8变式 如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AB=AC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∠BAC=120°,BC=10,则DE + DF =
5
。答案
5. 5
通解
∵ AB = AC, ∠BAC = 120°,
∴ ∠B = ∠C = 30°.又
∵ DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ DE = $\frac{1}{2}$ BD,DF = $\frac{1}{2}$ CD,
∴ DE + DF = $\frac{1}{2}$ BD + $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{1}{2}$ BC = 5.
另解 如图,过点 C 作CG ⊥ AB,交 BA 的延长线于点 G,连接 AD.
∵ AB = AC, ∠BAC = 120°,
∴ ∠B = 30°,
∴ CG = $\frac{1}{2}$ BC = 5.
∵ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$,
∴ $\frac{1}{2}$ AB · CG = $\frac{1}{2}$ AB · DE + $\frac{1}{2}$ AC · DF = $\frac{1}{2}$ AB · (DE + DF),
∴ DE + DF = CG = 5.
解析
【分析】
本题可从两种思路入手解题：思路1：先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和求出∠B、∠C均为30°，再根据含30°角的直角三角形的性质，得到DE与BD、DF与CD的数量关系，将两式相加即可把DE+DF转化为BC长度的一半，代入BC的数值即可求解。思路2：采用等面积法，将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积和，结合AB=AC的条件可推得DE+DF等于AB边上的高，过C作AB的垂线CG，利用30°角的直角三角形性质求出CG的长度，即可得到DE+DF的值。
【解析】
通解：
∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴ $∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 在Rt△BDE中，30°角∠B所对的直角边DE是斜边BD的一半，即$DE = \frac{1}{2}BD$，
在Rt△CDF中，30°角∠C所对的直角边DF是斜边CD的一半，即$DF = \frac{1}{2}CD$，
∴ $DE + DF = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(BD+CD) = \frac{1}{2}BC$，
∵ BC=10，
∴ $DE + DF = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
另解：
如图，过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，连接AD。
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=30°，
在Rt△BCG中，30°角∠B所对的直角边CG是斜边BC的一半，即$CG = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 10 = 5$，
∵ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB · CG = \frac{1}{2}AB · DE + \frac{1}{2}AC · DF$，
又
∵ AB=AC，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AB$，可得$CG = DE + DF$，
∴ DE + DF = 5。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形性质、含30°角的直角三角形性质、等面积法
【点评】
本题考查几何基础性质的灵活运用，提供了两种不同的解题思路，既可以利用特殊直角三角形的边角关系直接推导，也可以通过面积法快速求解，有助于拓宽解题思维，掌握多种解题技巧。
【难度系数】
0.7
本题可从两种思路入手解题：思路1：先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和求出∠B、∠C均为30°，再根据含30°角的直角三角形的性质，得到DE与BD、DF与CD的数量关系，将两式相加即可把DE+DF转化为BC长度的一半，代入BC的数值即可求解。思路2：采用等面积法，将△ABC的面积拆分为△ABD和△ACD的面积和，结合AB=AC的条件可推得DE+DF等于AB边上的高，过C作AB的垂线CG，利用30°角的直角三角形性质求出CG的长度，即可得到DE+DF的值。
【解析】
通解：
∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴ $∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 在Rt△BDE中，30°角∠B所对的直角边DE是斜边BD的一半，即$DE = \frac{1}{2}BD$，
在Rt△CDF中，30°角∠C所对的直角边DF是斜边CD的一半，即$DF = \frac{1}{2}CD$，
∴ $DE + DF = \frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(BD+CD) = \frac{1}{2}BC$，
∵ BC=10，
∴ $DE + DF = \frac{1}{2} × 10 = 5$。
另解：
如图，过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，连接AD。
∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=30°，
在Rt△BCG中，30°角∠B所对的直角边CG是斜边BC的一半，即$CG = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 10 = 5$，
∵ $S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△ACD}$，
∴ $\frac{1}{2}AB · CG = \frac{1}{2}AB · DE + \frac{1}{2}AC · DF$，
又
∵ AB=AC，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AB$，可得$CG = DE + DF$，
∴ DE + DF = 5。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形性质、含30°角的直角三角形性质、等面积法
【点评】
本题考查几何基础性质的灵活运用，提供了两种不同的解题思路，既可以利用特殊直角三角形的边角关系直接推导，也可以通过面积法快速求解，有助于拓宽解题思维，掌握多种解题技巧。
【难度系数】
0.7
6. [2026 阜阳期中]如图,已知在等边三角形ABC中,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为E,求证:BC=4BE.
答案
6. 证明:
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠B = 60°,AB = BC,
∵ DE ⊥ BC,
∴ ∠BED = 90°,
∴ ∠BDE = 90° - ∠B = 30°,
∴ BD = 2BE,
∵ D 为 AB 的中点,
∴ AB = 2BD = 4BE,
∴ BC = 4BE.
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠B = 60°,AB = BC,
∵ DE ⊥ BC,
∴ ∠BED = 90°,
∴ ∠BDE = 90° - ∠B = 30°,
∴ BD = 2BE,
∵ D 为 AB 的中点,
∴ AB = 2BD = 4BE,
∴ BC = 4BE.
解析
【分析】
要证明BC=4BE，可通过中间量BD、AB逐步推导线段间的数量关系：首先利用等边三角形的性质得到∠B=60°、AB=BC；再由DE⊥BC得到Rt△BDE，结合∠B=60°推出∠BDE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2BE；最后结合D是AB中点的条件，得到AB与BD的关系，再联立AB=BC即可推导出BC和BE的数量关系。
【解析】
证明:
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠B = 60°,AB = BC,
∵ DE ⊥ BC,
∴ ∠BED = 90°,
∴ ∠BDE = 90° - ∠B = 30°,
∴ BD = 2BE,
∵ D 为 AB 的中点,
∴ AB = 2BD = 4BE,
∴ BC = 4BE.
【答案】
证明见上述解析过程，可证得BC=4BE。
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过中间线段BD、AB搭建待证线段BC和BE的数量关系，只要熟练掌握特殊三角形的相关性质，找准线段间的关联即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明BC=4BE，可通过中间量BD、AB逐步推导线段间的数量关系：首先利用等边三角形的性质得到∠B=60°、AB=BC；再由DE⊥BC得到Rt△BDE，结合∠B=60°推出∠BDE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BD=2BE；最后结合D是AB中点的条件，得到AB与BD的关系，再联立AB=BC即可推导出BC和BE的数量关系。
【解析】
证明:
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠B = 60°,AB = BC,
∵ DE ⊥ BC,
∴ ∠BED = 90°,
∴ ∠BDE = 90° - ∠B = 30°,
∴ BD = 2BE,
∵ D 为 AB 的中点,
∴ AB = 2BD = 4BE,
∴ BC = 4BE.
【答案】
证明见上述解析过程，可证得BC=4BE。
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过中间线段BD、AB搭建待证线段BC和BE的数量关系，只要熟练掌握特殊三角形的相关性质，找准线段间的关联即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7. 教材P150例4变式 [2026合肥四十五中期末]如图，某船以每小时30海里的速度沿着正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东75°方向上，40分钟后到达B处，此时测得灯塔C在北偏东60°方向上，若灯塔C周围15海里的范围内有暗礁，渔船继续前行有触礁危险吗？请说明理由.
答案
7. 解:渔船继续前行有触礁危险. 理由如下:如图,过点 C 作 CD ⊥ AB,垂足为 D.
根据题意,可得∠CAB = 15°,∠CBD = 30°,
∴ ∠ACB = ∠CBD - ∠CAB = 15°,CD = $\frac{1}{2}$ BC,
∴ ∠ACB = ∠CAB,
∴ AB = BC,
∴ CD = $\frac{1}{2}$ AB.
又
∵ AB = $30 × \frac{40}{60}$ = 20(海里),
∴ CD = 10 海里.
∵ 15 ＞ 10,
∴ 渔船继续前行有触礁危险.
解析
【分析】
要判断渔船是否有触礁危险，核心是比较灯塔C到航行路线AB的最短距离与暗礁范围15海里的大小，点到直线的最短距离为垂线段长度，因此首先过点C作CD⊥AB于D，计算CD的长度即可。第一步根据方位角计算△ABC的内角：A处测得C在北偏东75°，可得∠CAB=90°-75°=15°；B处测得C在北偏东60°，可得∠CBD=90°-60°=30°。第二步利用三角形外角性质推出∠ACB=15°，可得∠ACB=∠CAB，因此BC=AB。第三步根据速度和航行时间算出AB长度，再在Rt△CDB中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CD，最后和15海里比较大小即可得出结论。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D。
根据题意可得：
∠CAB = 90°-75°=15°，∠CBD = 90°-60°=30°，
∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠ACB = ∠CBD - ∠CAB = 30°-15°=15°，
∴∠ACB = ∠CAB，
由等角对等边得：BC = AB。
40分钟=$\frac{40}{60}$小时，
∴AB = $30 × \frac{40}{60}$ = 20（海里），
∴BC=20海里。
在Rt△CDB中，∠CBD=30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×20=10（海里）。
∵10＜15，即CD小于暗礁范围半径，
∴渔船继续前行有触礁危险。
【答案】
渔船继续前行有触礁危险. 理由如下:如图,过点 C 作 CD ⊥ AB,垂足为 D.
根据题意,可得∠CAB = 15°,∠CBD = 30°,
∴ ∠ACB = ∠CBD - ∠CAB = 15°,CD = $\frac{1}{2}$ BC,
∴ ∠ACB = ∠CAB,
∴ AB = BC,
∴ CD = $\frac{1}{2}$ AB.
又
∵ AB = $30 × \frac{40}{60}$ = 20(海里),
∴ CD = 10 海里.
∵ 15 ＞ 10,
∴ 渔船继续前行有触礁危险.
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；等腰三角形的判定；方位角的应用
【点评】
本题是几何实际应用类题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，结合方位角、等腰三角形性质和特殊直角三角形的性质求出点到直线的最短距离，考查了将实际问题转化为几何问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
要判断渔船是否有触礁危险，核心是比较灯塔C到航行路线AB的最短距离与暗礁范围15海里的大小，点到直线的最短距离为垂线段长度，因此首先过点C作CD⊥AB于D，计算CD的长度即可。第一步根据方位角计算△ABC的内角：A处测得C在北偏东75°，可得∠CAB=90°-75°=15°；B处测得C在北偏东60°，可得∠CBD=90°-60°=30°。第二步利用三角形外角性质推出∠ACB=15°，可得∠ACB=∠CAB，因此BC=AB。第三步根据速度和航行时间算出AB长度，再在Rt△CDB中利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CD，最后和15海里比较大小即可得出结论。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D。
根据题意可得：
∠CAB = 90°-75°=15°，∠CBD = 90°-60°=30°，
∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠ACB = ∠CBD - ∠CAB = 30°-15°=15°，
∴∠ACB = ∠CAB，
由等角对等边得：BC = AB。
40分钟=$\frac{40}{60}$小时，
∴AB = $30 × \frac{40}{60}$ = 20（海里），
∴BC=20海里。
在Rt△CDB中，∠CBD=30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×20=10（海里）。
∵10＜15，即CD小于暗礁范围半径，
∴渔船继续前行有触礁危险。
【答案】
渔船继续前行有触礁危险. 理由如下:如图,过点 C 作 CD ⊥ AB,垂足为 D.
根据题意,可得∠CAB = 15°,∠CBD = 30°,
∴ ∠ACB = ∠CBD - ∠CAB = 15°,CD = $\frac{1}{2}$ BC,
∴ ∠ACB = ∠CAB,
∴ AB = BC,
∴ CD = $\frac{1}{2}$ AB.
又
∵ AB = $30 × \frac{40}{60}$ = 20(海里),
∴ CD = 10 海里.
∵ 15 ＞ 10,
∴ 渔船继续前行有触礁危险.
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；等腰三角形的判定；方位角的应用
【点评】
本题是几何实际应用类题型，解题关键是通过作垂线构造直角三角形，结合方位角、等腰三角形性质和特殊直角三角形的性质求出点到直线的最短距离，考查了将实际问题转化为几何问题的转化能力。
【难度系数】
0.7
