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9. [2025宿州期中]如图,在$△ ABC$中,$AB = 5,BC = 7,∠ B = 60°$,将$△ ABC$沿射线$BC$的方向平移2个单位长度后,得到$△ A'B'C'$,连接$A'C$,则线段$A'C$的长为 (
A.2
B.5
C.3
D.7
B
)A.2
B.5
C.3
D.7
答案
由平移的性质可知A'B' = AB = 5,∠A'B'C = ∠B = 60°.由题意可知BB' = 2,
∴ B'C = BC - BB' = 7 - 2 = 5,
∴ A'B' = B'C,
∴ △A'B'C是等边三角形,
∴ A'C = A'B' = 5.
∴ B'C = BC - BB' = 7 - 2 = 5,
∴ A'B' = B'C,
∴ △A'B'C是等边三角形,
∴ A'C = A'B' = 5.
解析
【分析】
拿到这道题首先观察题目特征，题干涉及图形平移，首先回忆平移的性质：平移后对应线段相等、对应角相等。我们首先根据平移性质得到$A'B'$的长度和$∠ A'B'C$的度数，再结合已知的平移距离算出$B'C$的长度，发现$A'B'$与$B'C$相等，此时$△ A'B'C$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，根据等边三角形判定定理就能推出$△ A'B'C$是等边三角形，进而得到$A'C$的长度。
【解析】
根据平移的性质可得：$A'B' = AB = 5$，$∠ A'B'C = ∠ B = 60°$，且平移距离$BB'=2$。
计算$B'C$的长度：$B'C = BC - BB' = 7 - 2 = 5$，
由此可得$A'B' = B'C = 5$，即$△ A'B'C$是等腰三角形，
又因为$∠ A'B'C = 60°$，所以$△ A'B'C$是等边三角形，
因此$A'C = A'B' = 5$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是熟练运用平移的性质得到对应边、对应角的关系，再结合等边三角形的判定定理即可快速求解，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先观察题目特征，题干涉及图形平移，首先回忆平移的性质：平移后对应线段相等、对应角相等。我们首先根据平移性质得到$A'B'$的长度和$∠ A'B'C$的度数，再结合已知的平移距离算出$B'C$的长度，发现$A'B'$与$B'C$相等，此时$△ A'B'C$是有一个内角为$60°$的等腰三角形，根据等边三角形判定定理就能推出$△ A'B'C$是等边三角形，进而得到$A'C$的长度。
【解析】
根据平移的性质可得：$A'B' = AB = 5$，$∠ A'B'C = ∠ B = 60°$，且平移距离$BB'=2$。
计算$B'C$的长度：$B'C = BC - BB' = 7 - 2 = 5$，
由此可得$A'B' = B'C = 5$，即$△ A'B'C$是等腰三角形，
又因为$∠ A'B'C = 60°$，所以$△ A'B'C$是等边三角形，
因此$A'C = A'B' = 5$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何题，解题核心是熟练运用平移的性质得到对应边、对应角的关系，再结合等边三角形的判定定理即可快速求解，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
10. [2026安庆宜秀区段考]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 3∠ C,∠ 1 = ∠ 2,BE ⊥ AE,AB = 5,BE = 3$,则$AC =$ (
A.10
B.11
C.13
D.15
B
)A.10
B.11
C.13
D.15
答案
如图,延长BE交AC于M(点拨:见平分线+垂线,延长相交构造等腰三角形).
∵ BE⊥AE,
∴ ∠AEB = ∠AEM = 90°.又
∵ ∠1 = ∠2,AE = AE,
∴ △AEB≌△AEM(ASA),
∴ ∠3 = ∠4,AB = AM,BE = ME,即BM = 2BE = 6.
∵ ∠4 = ∠5 + ∠C,∠ABC = 3∠C,∠ABC = ∠3 + ∠5,
∴ 3∠C = ∠3 + ∠5 = ∠4 + ∠5 = 2∠5 + ∠C,
∴ ∠5 = ∠C,
∴ CM = BM = 6,
∴ AC = AM + CM = AB + CM = 5 + 6 = 11.
解析
【分析】
遇到角平分线与角边上的垂线组合的条件时，常用辅助线是延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形与等腰三角形。本题首先延长BE交AC于点M，先利用ASA证明△AEB≌△AEM，得到AB=AM、BE=ME及对应角相等的结论；再结合∠ABC=3∠C的已知条件，利用三角形外角的性质推导∠5与∠C相等，得到CM=BM；最后将AC拆分为AM+CM，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长BE交AC于M，
$\because BE⊥ AE$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AEM=90°$，
在$△ AEB$和$△ AEM$中：
$\begin{cases}∠1=∠2 \\AE=AE \\∠ AEB=∠ AEM\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ AEM\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=AM=5$，$BE=ME$，$∠3=∠4$，
$\therefore BM=BE+ME=2BE=2×3=6$，
$\because ∠4$是$△ BCM$的外角，
$\therefore ∠4=∠5+∠ C$，
又$\because ∠ ABC=3∠ C$，且$∠ ABC=∠3+∠5$，
$\therefore 3∠ C=∠3+∠5=∠4+∠5=(∠5+∠ C)+∠5=2∠5+∠ C$，
化简得$2∠ C=2∠5$，即$∠5=∠ C$，
$\therefore CM=BM=6$（等角对等边），
$\therefore AC=AM+CM=5+6=11$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题核心是掌握“角平分线+垂线”的经典辅助线构造方法，通过延长垂线构造全等三角形实现线段、角的转化，再结合三角形外角性质和等腰三角形的判定求解，是几何中典型的综合应用类题目。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与角边上的垂线组合的条件时，常用辅助线是延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形与等腰三角形。本题首先延长BE交AC于点M，先利用ASA证明△AEB≌△AEM，得到AB=AM、BE=ME及对应角相等的结论；再结合∠ABC=3∠C的已知条件，利用三角形外角的性质推导∠5与∠C相等，得到CM=BM；最后将AC拆分为AM+CM，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：延长BE交AC于M，
$\because BE⊥ AE$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AEM=90°$，
在$△ AEB$和$△ AEM$中：
$\begin{cases}∠1=∠2 \\AE=AE \\∠ AEB=∠ AEM\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ AEM\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore AB=AM=5$，$BE=ME$，$∠3=∠4$，
$\therefore BM=BE+ME=2BE=2×3=6$，
$\because ∠4$是$△ BCM$的外角，
$\therefore ∠4=∠5+∠ C$，
又$\because ∠ ABC=3∠ C$，且$∠ ABC=∠3+∠5$，
$\therefore 3∠ C=∠3+∠5=∠4+∠5=(∠5+∠ C)+∠5=2∠5+∠ C$，
化简得$2∠ C=2∠5$，即$∠5=∠ C$，
$\therefore CM=BM=6$（等角对等边），
$\therefore AC=AM+CM=5+6=11$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形外角的性质
【点评】
本题核心是掌握“角平分线+垂线”的经典辅助线构造方法，通过延长垂线构造全等三角形实现线段、角的转化，再结合三角形外角性质和等腰三角形的判定求解，是几何中典型的综合应用类题目。
【难度系数】
0.6
11. 如图,已知在四边形ABCD内,$DB = DC$, $∠ DCA = 60°$, $∠ DAC = 78°$, $∠ CAB = 24°$, 则$∠ ACB$ 的度数为
18°
. 答案
解题思路:延长CA到E使AE = AB,先证明△DAE≌△DAB(SAS),即可得到DE = DB = DC,由∠DCA = 60°,可得△DEC是等边三角形,再得到∠BDC的度数,最后利用等腰三角形的性质得到∠DCB的度数,∠ACB的度数即可得解.
如图,延长CA到E使AE = AB,连接DE.
∵ ∠DAC = 78°,
∴ ∠DAE = 102°.
∵ ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB = 78° + 24° = 102°,
∴ ∠DAE = ∠DAB. 又 DA = DA,
∴ △DAE≌△DAB(SAS),
∴ DE = DB = DC. 又∠DCA = 60°,
∴ △DEC是等边三角形,
∴ ∠EDC = 60°.
∵ ∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠DCA = 180° - 78° - 60° = 42°,
∴ ∠EDA = ∠EDC - ∠ADC = 60° - 42° = 18°,
∴ ∠ADB = ∠EDA = 18°,
∴ ∠BDC = ∠EDC - 2∠ADB = 60° - 2×18° = 24°.
∵ DB = DC,
∴ ∠DBC = ∠DCB = $\frac{1}{2}(180° - ∠BDC) = \frac{1}{2}×(180° - 24°) = 78°$,
∴ ∠ACB = ∠DCB - ∠DCA = 78° - 60° = 18°.
解析
【分析】
本题直接计算∠ACB的已知条件不足，可通过构造全等三角形转化边角关系求解。首先观察角度可得∠DAB=78°+24°=102°，其邻补角∠DAE也为102°，因此考虑延长CA到E使AE=AB，构造SAS全等将DB转化为DE，结合DB=DC可得DE=DC，再结合∠DCA=60°推出等边三角形，后续利用等边、等腰三角形的角度性质逐步推导即可得解。
【解析】
如图，延长CA到E使AE = AB，连接DE。
∵ ∠DAC = 78°，
∴ ∠DAE = 180° - 78° = 102°。
∵ ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB = 78° + 24° = 102°，
∴ ∠DAE = ∠DAB。
在△DAE和△DAB中：
$\begin{cases} AE=AB \\ ∠DAE=∠DAB \\ DA=DA \end{cases}$
∴ △DAE≌△DAB(SAS)，
∴ DE = DB，
又
∵ DB = DC，
∴ DE = DC。
∵ ∠DCA = 60°，
∴ △DEC是等边三角形，
∴ ∠EDC = 60°。
在△ADC中，∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠DCA = 180° - 78° - 60° = 42°，
∴ ∠EDA = ∠EDC - ∠ADC = 60° - 42° = 18°，
由全等可得∠ADB = ∠EDA = 18°，
∴ ∠BDC = ∠EDC - ∠ADB - ∠EDA = 60° - 2×18° = 24°。
∵ DB = DC，
∴ ∠DCB = $\frac{1}{2}(180° - ∠BDC) = \frac{1}{2}×(180° - 24°) = 78°$，
∴ ∠ACB = ∠DCB - ∠DCA = 78° - 60° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，解题的关键是通过构造辅助线得到全等三角形，实现边与角的转化，需要学生熟练掌握全等三角形、特殊三角形的边角性质，具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.3
本题直接计算∠ACB的已知条件不足，可通过构造全等三角形转化边角关系求解。首先观察角度可得∠DAB=78°+24°=102°，其邻补角∠DAE也为102°，因此考虑延长CA到E使AE=AB，构造SAS全等将DB转化为DE，结合DB=DC可得DE=DC，再结合∠DCA=60°推出等边三角形，后续利用等边、等腰三角形的角度性质逐步推导即可得解。
【解析】
如图，延长CA到E使AE = AB，连接DE。
∵ ∠DAC = 78°，
∴ ∠DAE = 180° - 78° = 102°。
∵ ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB = 78° + 24° = 102°，
∴ ∠DAE = ∠DAB。
在△DAE和△DAB中：
$\begin{cases} AE=AB \\ ∠DAE=∠DAB \\ DA=DA \end{cases}$
∴ △DAE≌△DAB(SAS)，
∴ DE = DB，
又
∵ DB = DC，
∴ DE = DC。
∵ ∠DCA = 60°，
∴ △DEC是等边三角形，
∴ ∠EDC = 60°。
在△ADC中，∠ADC = 180° - ∠DAC - ∠DCA = 180° - 78° - 60° = 42°，
∴ ∠EDA = ∠EDC - ∠ADC = 60° - 42° = 18°，
由全等可得∠ADB = ∠EDA = 18°，
∴ ∠BDC = ∠EDC - ∠ADB - ∠EDA = 60° - 2×18° = 24°。
∵ DB = DC，
∴ ∠DCB = $\frac{1}{2}(180° - ∠BDC) = \frac{1}{2}×(180° - 24°) = 78°$，
∴ ∠ACB = ∠DCB - ∠DCA = 78° - 60° = 18°。
【答案】
18°
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，解题的关键是通过构造辅助线得到全等三角形，实现边与角的转化，需要学生熟练掌握全等三角形、特殊三角形的边角性质，具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.3
12. 推理能力 [2026阜阳期末]在边长为9的等边三角形ABC中,点P是AB上一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动,设运动时间为t秒.
(1)如图1,若点Q是BC上一定点,BQ=6,当PQ//AC时,求t的值；
(2)如图2,若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动,当t为何值时,△APQ为等边三角形？
(1)如图1,若点Q是BC上一定点,BQ=6,当PQ//AC时,求t的值；
(2)如图2,若点P从点A向点B运动,同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动,当t为何值时,△APQ为等边三角形？
答案
解:(1)
∵ △ABC是等边三角形,PQ//AC,
∴ ∠BQP = ∠C = 60°,∠BPQ = ∠A = 60°,∠B = 60°,
∴ ∠B = ∠BQP = ∠BPQ,
∴ △BPQ是等边三角形,
∴ BP = BQ = 6.
由题意可知,AP = t,则BP = 9 - t,
∴ 9 - t = 6,解得t = 3.
(2)①
,当点Q在边BC上时,△APQ不可能为等边三角形.②
,当点Q在边AC上时,∵ ∠A = 60°,
∴ 若△APQ为等边三角形,则AP = AQ.
由题意可知,AP = t,BC + CQ = 2t,
∴ AQ = BC + AC - (BC + CQ) = 9 + 9 - 2t = 18 - 2t,
∴ 18 - 2t = t,解得t = 6,
∴ 当t = 6时,△APQ为等边三角形.
解析
【分析】
(1) 首先利用等边三角形内角均为60°的性质，结合PQ//AC得到的同位角相等，可证明△BPQ为等边三角形，得到BP与BQ的等量关系；再根据点P的运动速度和时间表示出AP、BP的长度，代入等量关系列方程即可求出t的值。
(2) 需分情况讨论点Q的位置：①当Q在BC边上时，结合角度特征可判断无法构成等边△APQ；②当Q在AC边上时，已知∠A=60°，要使△APQ为等边三角形，只需满足AP=AQ，再用含t的式子分别表示AP、AQ的长度，列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，PQ//AC，
∴∠BQP = ∠C = 60°，∠BPQ = ∠A = 60°，又∠B = 60°，
∴∠B = ∠BQP = ∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP = BQ = 6。
由题意可知，AP = t，则BP = 9 - t，
∴9 - t = 6，解得t = 3。
(2) ①，当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三角形。
②，当点Q在边AC上时，
∵∠A = 60°，
∴若△APQ为等边三角形，则AP = AQ。
由题意可知，AP = t，BC + CQ = 2t，
∴AQ = BC + AC - (BC + CQ) = 9 + 9 - 2t = 18 - 2t，
∴18 - 2t = t，解得t = 6，
∴当t = 6时，△APQ为等边三角形。
【答案】
(1) $t=3$；
(2) ①，当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三角形；②，当$t=6$时，△APQ为等边三角形。
【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 平行线的性质
3. 动点分类讨论
【点评】
本题以等边三角形为载体，结合动点问题考查几何推理能力和方程思想的应用，解题的关键是根据图形特征分类讨论点的位置，找到边的等量关系列方程求解，能有效巩固等边三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
(1) 首先利用等边三角形内角均为60°的性质，结合PQ//AC得到的同位角相等，可证明△BPQ为等边三角形，得到BP与BQ的等量关系；再根据点P的运动速度和时间表示出AP、BP的长度，代入等量关系列方程即可求出t的值。
(2) 需分情况讨论点Q的位置：①当Q在BC边上时，结合角度特征可判断无法构成等边△APQ；②当Q在AC边上时，已知∠A=60°，要使△APQ为等边三角形，只需满足AP=AQ，再用含t的式子分别表示AP、AQ的长度，列方程求解即可。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，PQ//AC，
∴∠BQP = ∠C = 60°，∠BPQ = ∠A = 60°，又∠B = 60°，
∴∠B = ∠BQP = ∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP = BQ = 6。
由题意可知，AP = t，则BP = 9 - t，
∴9 - t = 6，解得t = 3。
(2) ①
，当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三角形。②
，当点Q在边AC上时，∵∠A = 60°，
∴若△APQ为等边三角形，则AP = AQ。
由题意可知，AP = t，BC + CQ = 2t，
∴AQ = BC + AC - (BC + CQ) = 9 + 9 - 2t = 18 - 2t，
∴18 - 2t = t，解得t = 6，
∴当t = 6时，△APQ为等边三角形。
【答案】
(1) $t=3$；
(2) ①
，当点Q在边BC上时，△APQ不可能为等边三角形；②，当$t=6$时，△APQ为等边三角形。【知识点】
1. 等边三角形的性质与判定
2. 平行线的性质
3. 动点分类讨论
【点评】
本题以等边三角形为载体，结合动点问题考查几何推理能力和方程思想的应用，解题的关键是根据图形特征分类讨论点的位置，找到边的等量关系列方程求解，能有效巩固等边三角形的相关知识。
【难度系数】
0.7
1. 双角平分线与底边的平行线交于一点·教材P159T6变式 [2026淮南期中]如图,在△ABC中,AB=6,AC=8,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CD交于点D,过点D作EF//BC,分别交AB,AC于点E,F,则△AEF的周长为 (
A.12
B.13
C.14
D.15
C
)A.12
B.13
C.14
D.15
答案
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC.
∵ EF//BC,
∴ ∠EDB = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠EDB,
∴ BE = ED. 同理可得DF = CF,
∴ △AEF的周长为AE + EF + AF = AE + ED + DF + AF = AE + BE + CF + AF = AB + AC = 6 + 8 = 14.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出了角平分线与平行线两个核心条件，首先回忆相关性质：1.角平分线可将对应角分成两个相等的角；2.两直线平行，内错角相等；结合两个性质可推出相等的角，再利用等腰三角形“等角对等边”的判定得到相等线段，最后将△AEF的周长的线段做等量代换，转化为AB、AC的长度和即可求解。
【解析】
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC，
∵ EF//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠EDB，
∴ BE = ED，
同理可得DF = CF，
∴ △AEF的周长 = AE + EF + AF = AE + ED + DF + AF = AE + BE + CF + AF = AB + AC = 6 + 8 = 14。
【答案】
C
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”的经典常考题，掌握该模型的线段等量转化规律，就能快速求解这类周长计算问题。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：题目给出了角平分线与平行线两个核心条件，首先回忆相关性质：1.角平分线可将对应角分成两个相等的角；2.两直线平行，内错角相等；结合两个性质可推出相等的角，再利用等腰三角形“等角对等边”的判定得到相等线段，最后将△AEF的周长的线段做等量代换，转化为AB、AC的长度和即可求解。
【解析】
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC，
∵ EF//BC，
∴ ∠EDB = ∠DBC，
∴ ∠ABD = ∠EDB，
∴ BE = ED，
同理可得DF = CF，
∴ △AEF的周长 = AE + EF + AF = AE + ED + DF + AF = AE + BE + CF + AF = AB + AC = 6 + 8 = 14。
【答案】
C
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”的经典常考题，掌握该模型的线段等量转化规律，就能快速求解这类周长计算问题。
【难度系数】
0.8
2. 双角平分线与底边的平行线交于两点1 [2026铜陵期末]如图,在$△ ABC$中,$ED// BC$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$G$,$F$.若$FG=4$,$ED=8$,则$EB+DC$的值为
12
.答案
∵ ED//BC,
∴ ∠EGB = ∠GBC,∠DFC = ∠FCB,
∵ BG平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴ ∠ABG = ∠CBG,∠ACF = ∠FCB,
∴ ∠EBG = ∠EGB,∠DFC = ∠ACF,
∴ EB = EG,DF = DC,
∴ EB + DC = EG + DF = ED + FG = 8 + 4 = 12.
解析
【分析】
解题时先结合已知的平行线与角平分线条件，首先利用平行线的内错角相等性质、角平分线的定义推导得到相等的角，再通过等角对等边判定出等腰三角形，把所求的EB、DC分别转化为与之相等的EG、DF，最后通过线段的和差关系将EG+DF转化为已知长度的ED和FG的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
∵ ED//BC，
∴ ∠EGB = ∠GBC，∠DFC = ∠FCB（两直线平行，内错角相等），
∵ BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠EBG = ∠CBG，∠DCF = ∠FCB（角平分线的定义），
∴ ∠EBG = ∠EGB，∠DFC = ∠DCF（等量代换），
∴ EB = EG，DF = DC（等角对等边），
∴ EB + DC = EG + DF = ED + FG，
将FG=4，ED=8代入得：EB+DC=8+4=12。
【答案】
12
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是“平行线+角平分线”几何模型的典型应用，解题核心是通过角的等量关系识别出等腰三角形，实现未知线段向已知线段的转化，熟练掌握该模型可大幅提升同类型题目的解题速度。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的平行线与角平分线条件，首先利用平行线的内错角相等性质、角平分线的定义推导得到相等的角，再通过等角对等边判定出等腰三角形，把所求的EB、DC分别转化为与之相等的EG、DF，最后通过线段的和差关系将EG+DF转化为已知长度的ED和FG的和，代入数值即可计算出结果。
【解析】
∵ ED//BC，
∴ ∠EGB = ∠GBC，∠DFC = ∠FCB（两直线平行，内错角相等），
∵ BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠EBG = ∠CBG，∠DCF = ∠FCB（角平分线的定义），
∴ ∠EBG = ∠EGB，∠DFC = ∠DCF（等量代换），
∴ EB = EG，DF = DC（等角对等边），
∴ EB + DC = EG + DF = ED + FG，
将FG=4，ED=8代入得：EB+DC=8+4=12。
【答案】
12
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是“平行线+角平分线”几何模型的典型应用，解题核心是通过角的等量关系识别出等腰三角形，实现未知线段向已知线段的转化，熟练掌握该模型可大幅提升同类型题目的解题速度。
【难度系数】
0.7
3. 双角平分线与底边的平行线交于两点2 [2025营口期末]
如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,过点D作DE//BC交AC于点E,BF平分∠ABC交DE于点F.若EC=3EF=6,则BD的长度为
如图,在△ABC中,CD是△ABC的角平分线,过点D作DE//BC交AC于点E,BF平分∠ABC交DE于点F.若EC=3EF=6,则BD的长度为
4
.答案
∵ EC=3EF=6,
∴ EF = 2,
∵ CD平分∠ACB,BF平分∠ABC,
∴ ∠ACD = ∠DCB,∠ABF = ∠CBF,
∵ DE//BC,
∴ ∠EDC = ∠DCB,∠DFB = ∠CBF,
∴ ∠ACD = ∠EDC,∠ABF = ∠DFB,
∴ ED = EC = 6,DB = DF,
∴ DB = DF = DE - EF = CE - EF = 6 - 2 = 4.
解析
【分析】
解题时先从已知条件EC=3EF=6入手，先算出EF的长度；再结合题中的角平分线和平行线的条件，回忆“角平分线+平行线”的常用模型：角平分线可得两个角相等，平行线的内错角也相等，通过等量代换可得到等角，再利用等腰三角形“等角对等边”的判定得到相等的边，最后通过线段的和差关系计算BD的长度即可。
【解析】
∵ EC=3EF=6，
∴ EF = 2，
∵ CD平分∠ACB，BF平分∠ABC，
∴ ∠ACD = ∠DCB，∠ABF = ∠CBF，
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠DCB，∠DFB = ∠CBF，
∴ ∠ACD = ∠EDC，∠ABF = ∠DFB，
∴ ED = EC = 6，DB = DF，
∴ DB = DF = DE - EF = CE - EF = 6 - 2 = 4。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”构造等腰三角形的典型题型，解题的核心是识别该模型并推导出图中的等腰三角形，进而通过边的转化求解，属于几何基础常考题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件EC=3EF=6入手，先算出EF的长度；再结合题中的角平分线和平行线的条件，回忆“角平分线+平行线”的常用模型：角平分线可得两个角相等，平行线的内错角也相等，通过等量代换可得到等角，再利用等腰三角形“等角对等边”的判定得到相等的边，最后通过线段的和差关系计算BD的长度即可。
【解析】
∵ EC=3EF=6，
∴ EF = 2，
∵ CD平分∠ACB，BF平分∠ABC，
∴ ∠ACD = ∠DCB，∠ABF = ∠CBF，
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠DCB，∠DFB = ∠CBF，
∴ ∠ACD = ∠EDC，∠ABF = ∠DFB，
∴ ED = EC = 6，DB = DF，
∴ DB = DF = DE - EF = CE - EF = 6 - 2 = 4。
【答案】
4
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”构造等腰三角形的典型题型，解题的核心是识别该模型并推导出图中的等腰三角形，进而通过边的转化求解，属于几何基础常考题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
