1. 如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=3,则AC的长为 ()

A.2
B.3
C.4
D.5

∵ ∠B = ∠C,
∴ AC = AB = 3.

【分析】
首先明确题目已知条件：在△ABC中，∠B=∠C，AB的长度为3，要求AC的长。解题时先回忆等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。接下来确定角和对边的对应关系：∠B的对边是AC，∠C的对边是AB，因此由∠B=∠C可推出AC和AB长度相等，代入AB的数值即可求出AC的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ ∠B = ∠C，
根据“等角对等边”的判定定理，可得AC = AB，
又
∵ AB = 3，
∴ AC = 3，故选B。
【答案】
B
【知识点】
等角对等边，等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的基础应用题，主要考查对“等角对等边”定理的理解与直接应用，只要找准相等的角对应的边，就能快速得出答案，侧重对基础概念掌握程度的考查。
【难度系数】
0.9

2. [2026淮南段考]如图，BE是$△ ABC$的角平分线，过点E作$DE// BC$交AB于点D.若$DE=7$，$AD=5$，则AB的长为（）

A.10
B.12
C.14
D.16

∵ BE是∠ABC的平分线,
∴ ∠ABE = ∠CBE.
∵ DE//BC,
∴ ∠DEB = ∠CBE,
∴ ∠ABE = ∠DEB,
∴ BD = DE = 7,
∴ AB = AD + BD = 5 + 7 = 12.
角平分线+平行→等腰三角形
如图,在△ABC中,BE是△ABC的角平分线,DE//BC,则BD = DE.

【分析】
解题时首先梳理已知条件，要求AB的长，已知AD的长度，因此只需求出BD的长度即可。首先根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，再结合DE//BC，利用平行线的内错角相等可得∠DEB=∠CBE，通过等量代换得到∠ABE=∠DEB，最后利用等腰三角形“等角对等边”的判定即可得到BD=DE，代入数值计算就能得到AB的总长度。
【解析】
解：
∵ BE是∠ABC的角平分线，
∴ ∠ABE = ∠CBE，
∵ DE//BC，
∴ ∠DEB = ∠CBE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABE = ∠DEB，
∴ BD = DE = 7（等角对等边），
∴ AB = AD + BD = 5 + 7 = 12。
【答案】
B

【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线得等腰三角形”基础模型的典型应用，掌握该常见几何模型能够快速定位解题思路，提升解题效率，同学们要牢记该模型的角和边的转化规律。
【难度系数】
0.8

3. 如图所示,共有等腰三角形 ()

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

由题图易得∠OBC = ∠OCB = 36°,∠A = ∠AOB = 72°,∠D = ∠COD = 72°,∠A = ∠ABC = 72°,∠D = ∠BCD = 72°,所以OB = OC, OB = AB, CD = OC, AC = BC, BC = BD,所以等腰三角形有△BOC,△AOB,△COD,△ABC和△CBD(易错提醒:可以先确定图中有多少个三角形,然后在里面找符合题意的,做到不重不漏),共5个.

【分析】
要解决这道题，首先回忆等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。解题时第一步先找出图中所有的三角形，第二步利用三角形内角和为180°、对顶角相等的性质，计算每个三角形的各个内角度数，第三步逐个判断是否存在两个相等的内角，统计符合条件的等腰三角形数量，注意计数时不重复、不遗漏。
【解析】
1. 推导各未知角的度数：
已知∠A=∠D=72°，∠OBC=∠OCB=36°，
由三角形内角和定理可得∠BOC=180°-36°-36°=108°，
根据对顶角相等的性质，得∠AOB=∠COD=180°-108°=72°。
2. 逐个判断等腰三角形：
①△BOC：∠OBC=∠OCB=36°，满足等角对等边，是等腰三角形；
②△AOB：∠A=∠AOB=72°，满足等角对等边，是等腰三角形；
③△COD：∠D=∠COD=72°，满足等角对等边，是等腰三角形；
④△ABC：在△AOB中可算出∠ABO=180°-72°-72°=36°，因此∠ABC=∠ABO+∠OBC=36°+36°=72°=∠A，满足等角对等边，是等腰三角形；
⑤△CBD：在△COD中可算出∠DCO=180°-72°-72°=36°，因此∠BCD=∠DCO+∠OCB=36°+36°=72°=∠D，满足等角对等边，是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题核心考查等腰三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和、对顶角的性质计算各角的度数，计数时要先梳理清楚图中所有三角形，再逐一判断，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6

4. [2025陕西中考副卷]如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$∠ ADB = 2∠ C$. 若$AB = 5$,$BC = 6$,则$△ ABD$的周长为 ()

A.8
B.10
C.11
D.12

∵ ∠ADB = ∠C + ∠DAC,∠ADB = 2∠C,
∴ ∠C = ∠DAC,
∴ AD = DC,
∴ △ABD的周长为AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC = 5 + 6 = 11.

【分析】
拿到题目首先明确所求目标：△ABD的周长等于AB+BD+AD，已知AB=5，因此只需要求出BD+AD的长度即可。首先观察角的条件：∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此∠ADB=∠C+∠DAC，结合题中给出的∠ADB=2∠C，代入即可推导得出∠C=∠DAC。再根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可得AD=DC，此时BD+AD就可以转化为BD+DC=BC=6，因此直接将AB和BC的长度相加就能得到△ABD的周长。
【解析】
∵ ∠ADB是△ADC的外角，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DAC，
又
∵ ∠ADB = 2∠C，
∴ 2∠C = ∠C + ∠DAC，化简得∠C = ∠DAC，
根据等角对等边可得AD = DC，
∴ △ABD的周长 = AB + BD + AD = AB + BD + DC = AB + BC，
代入AB=5，BC=6，得周长=5+6=11。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角性质，等角对等边，周长计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用三角形外角性质和等腰三角形的判定实现边的等量转化，无需单独求解未知边的长度，巧妙运用整体思想即可快速算出结果，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 教材P152T4变式 [2026亳州谯城区期末] 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠ABC=∠DCB,∠1=∠2.求证:OB=OC.

证明:在△ABC和△DCB中,
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\∠ABC = ∠DCB, \\BC = CB,\end{cases}$
∴ △ABC≌△DCB(AAS),
∴ ∠OBC = ∠OCB,
∴ OB = OC.

【分析】
要证OB=OC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可先证明∠OBC=∠OCB。已知∠ABC=∠DCB，∠1=∠2，若能证明△ABC≌△DCB，即可得到对应角相等，进而推出∠OBC=∠OCB。观察两个三角形，已有两组角对应相等，且有公共边BC=CB，满足AAS全等判定条件，因此可先证三角形全等，再推导角相等，最终得到边相等的结论。
【解析】
证明：在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\∠ABC = ∠DCB, \\BC = CB,\end{cases}$
∴ △ABC≌△DCB(AAS)，
∴ ∠OBC = ∠OCB，
∴ OB = OC。
【答案】
证明:在△ABC和△DCB中,
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\∠ABC = ∠DCB, \\BC = CB,\end{cases}$
∴ △ABC≌△DCB(AAS),
∴ ∠OBC = ∠OCB,
∴ OB = OC.
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何证明基础题型，解题的关键是挖掘图形中公共边的隐含条件，结合已知的角相等条件证明三角形全等，再利用等腰三角形的判定定理得到结论，注重对基础定理应用的考查。
【难度系数】
0.8

6. 下列条件不能判定$△ ABC$是等边三角形的是（）

A.$∠ A = ∠ B = ∠ C$
B.$AB = AC, ∠ B = 60°$
C.$∠ A = 60°, ∠ B = 60°$
D.$AB = AC, ∠ B = ∠ C$

A项,由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故A项不符合题意;B项,由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判定△ABC是等边三角形,故B项不符合题意;C项,由“∠A = 60°,∠B = 60°”可以得到“∠A = ∠B = ∠C = 60°”,可以判定△ABC是等边三角形,故C项不符合题意;D项,由AB = AC,∠B = ∠C,只能判定△ABC是等腰三角形,故D项符合题意.

【分析】
这道题要求选出不能判定$△ ABC$是等边三角形的选项，解题时首先要回忆等边三角形的判定定理，再逐一验证每个选项是否符合判定条件，最终确定符合要求的选项。具体思考路径：先明确等边三角形的常见判定方法：①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有一个内角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，之后对四个选项依次判断即可。
【解析】
对各选项逐一分析：
A选项：$∠ A=∠ B=∠ C$，符合“三个角都相等的三角形是等边三角形”的判定定理，可判定$△ ABC$是等边三角形，不符合题意；
B选项：$AB=AC$说明$△ ABC$是等腰三角形，又$∠ B=60°$，符合“有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形”的判定定理，可判定$△ ABC$是等边三角形，不符合题意；
C选项：已知$∠ A=60°$，$∠ B=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ C=180°-60°-60°=60°$，即三个内角都为$60°$，可判定$△ ABC$是等边三角形，不符合题意；
D选项：$AB=AC$且$∠ B=∠ C$，只能说明$△ ABC$是等腰三角形，无法证明有内角为$60°$或三边、三个角全相等，不能判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 等边三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的判定规则，同时注意审题，明确题目要求选择“不能判定”的选项，避免因粗心看错题目要求失分。
【难度系数】
0.8

7. 新趋势·结论开放 [2025资阳中考] 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE//DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是.

理由如下:
∵ CE//DA,
∴ ∠A = ∠BEC.
∵ ∠A = ∠B,
∴ ∠B = ∠BEC.
∵ ∠BCE = ∠B,
∴ ∠B = ∠BCE = ∠BEC,
∴ △BCE是等边三角形.

【分析】
解题时先从已知条件入手推导：首先由CE//AD，根据平行线的同位角相等可得∠A=∠BEC，结合题目给出的∠A=∠B，可等量代换得到∠B=∠BEC，由此可知△BCE已经是等腰三角形（CE=CB）。要使等腰三角形变为等边三角形，可根据等边三角形的判定定理，添加“有一个角为60°”“另一边与腰相等”“第三个角等于已知底角”这类符合判定的条件即可。
【解析】
我们以添加条件∠BCE=∠B为例（答案不唯一）：
∵ CE//DA，
∴ ∠A = ∠BEC（两直线平行，同位角相等），
∵ ∠A = ∠B，
∴ ∠B = ∠BEC，
又
∵ ∠BCE = ∠B，
∴ ∠B = ∠BCE = ∠BEC，
△BCE三个内角都相等，因此△BCE是等边三角形。
【答案】
∠BCE=∠B（答案不唯一，如∠A=60°、∠B=60°、BC=BE等均可）
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形判定、等边三角形判定
【点评】
本题为开放性结论题，需要先利用已知条件推导得出图形的现有性质，再结合目标图形的判定规则补充合适的条件，能有效考查对几何性质和判定的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

8. [2025淮北期末]如图，$∠ AOB = 30°$,按下列步骤作图:
①在射线$OA$上取一点$C$,以点$O$为圆心,$OC$长为半径作圆弧$DE$,交射线$OB$于点$F$,连接$CF$;
②以点$F$为圆心,$CF$长为半径作圆弧,交弧$DE$于点$G$;
③连接$FG$,$CG$,作射线$OG$.
根据以上作图过程及所作图形完成下列问题.
(1)求证:$OF$垂直平分$CG$.
(2)求证:$△ OCG$为等边三角形.

证明:(1)由作图可知,OC = OG,FC = FG,
∴ OF垂直平分线段CG.
(2)在△FOC和△FOG中,
$\begin{cases}OC = OG, \\OF = OF, \\FC = FG,\end{cases}$
∴ △FOC≌△FOG(SSS),
∴ ∠FOC = ∠FOG = 30°,
∴ ∠COG = 60°.
又
∵ OC = OG,
∴ △OCG是等边三角形.
提分大招
若已知三边关系,一般选用定义法;若已知三角关系,一般利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”判定;若已知该三角形是等腰三角形,一般利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”判定.

【分析】
(1) 要证OF垂直平分CG，可利用线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。从作图步骤可得OC=OG、FC=FG，说明点O、F都在CG的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可得OF是CG的垂直平分线。
(2) 要证△OCG为等边三角形，已知OC=OG，只需证明顶角∠COG=60°即可。先通过SSS判定△FOC≌△FOG，得到∠FOG=∠FOC=30°，因此∠COG=60°，结合OC=OG，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可完成证明。
【解析】
(1) 根据作图过程，弧DE是以O为圆心、OC为半径所作，因此OC和OG都是弧DE的半径，故OC=OG；弧CG是以F为圆心、CF为半径所作，因此FC和FG都是该弧的半径，故FC=FG。
由线段垂直平分线的判定可知，点O、F都在线段CG的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此OF垂直平分线段CG。
(2) 在△FOC和△FOG中：
$\{\begin{array}{l}OC = OG,\\OF = OF,\\FC = FG,\end{array} $
根据三边对应相等的两个三角形全等，可得△FOC≌△FOG(SSS)。
由全等三角形对应角相等，得∠FOC=∠FOG=30°，因此∠COG=∠FOC+∠FOG=60°。
又已知OC=OG，即△OCG是等腰三角形，且有一个内角为60°，因此△OCG是等边三角形。
【答案】
证明:(1)由作图可知,OC = OG,FC = FG,
∴ OF垂直平分线段CG.
(2)在△FOC和△FOG中,
$\begin{cases}OC = OG, \\OF = OF, \\FC = FG,\end{cases}$
∴ △FOC≌△FOG(SSS),
∴ ∠FOC = ∠FOG = 30°,
∴ ∠COG = 60°.
又
∵ OC = OG,
∴ △OCG是等边三角形.
【知识点】
线段垂直平分线的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何推理能力，解题关键是从作图步骤中提取隐含的等线段条件，再结合相关几何定理逐步推导，侧重对基础判定定理的理解与应用。
【难度系数】
0.75