1. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,BC=12 cm,则BD的长为（）

A.5 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.8 cm

∵ AB = AC,AD ⊥ BC,
∴ AD 是△ABC 的中线,
∴ BD = $\frac{1}{2}BC = 6$ cm.

【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，已知AD⊥BC，即AD是等腰△ABC底边上的高。回忆等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，因此AD同时是BC边上的中线，可得BD为BC的一半，代入BC的长度即可求出BD的长。
【解析】
∵ AB = AC，AD ⊥ BC，
∴ AD是等腰△ABC底边BC上的中线（等腰三角形三线合一），
∴ $BD = \frac{1}{2}BC$，
∵ BC = 12 cm，
∴ $BD = \frac{1}{2}×12 = 6$ cm。
【答案】
B
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.线段长度计算
【点评】
本题是基础类题目，核心考查等腰三角形“三线合一”性质的应用，解题的关键是明确等腰三角形底边上的高同时为底边上的中线，牢记性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

2. [2026连云港期中]如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB和AC，当固定点B，C到脚杆E的距离相等，点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是 ()

A.等边对等角
B.垂线段最短
C.等腰三角形的“三线合一”
D.DE是BC的垂直平分线

∵ AB = AC,BE = EC,
∴ AE ⊥ BC,即 DE ⊥ BC.

【分析】
解题时先梳理题目给出的条件：①固定绳AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，BC为底边；②B、C到E的距离相等，即BE=CE，说明AE是等腰△ABC底边BC上的中线。要得到DE⊥BC的结论，只需结合等腰三角形的性质推导即可：等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合，也就是“三线合一”性质，可直接推出AE⊥BC，再结合选项排除不符合的即可得到答案。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，BC为它的底边。
又
∵BE=EC，
∴AE是等腰△ABC底边BC上的中线。
根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合，可得AE⊥BC，即DE⊥BC。
对选项逐一判断：
A. 等边对等角是由边相等推导角相等的性质，无法推出垂直关系，不符合要求；
B. 垂线段最短描述的是垂线段的长度特征，与本题推理逻辑无关，不符合要求；
C. 推导过程正是应用了等腰三角形“三线合一”的性质，是操作的依据；
D. DE是BC的垂直平分线是操作得到的结论，不是操作的原理依据，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形“三线合一”；等腰三角形的定义
【点评】
本题结合工程实际场景考查等腰三角形性质的应用，要求学生能准确区分几何性质与推导结论，学会将课本知识应用到实际问题的分析中，侧重对基础性质的理解。
【难度系数】
0.8

3. [2024云南中考]已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（）

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

∵ AF 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高,
∴ AF 是顶角∠BAC 的平分线.
∵ 点 F 到直线 AB 的距离为 3,
∴ 点 F 到直线 AC 的距离为 3(角平分线的性质定理).

【分析】
解题时首先提取题干关键信息：①△ABC是等腰三角形，AF是底边BC上的高，由此联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AF是∠BAC的角平分线；②已知点F到AB的距离为3，要求点F到AC的距离，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可直接得出两个距离相等，即可求出结果。
【解析】
∵ AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，
∴ AF平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
又
∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，点F在∠BAC的角平分线AF上，且点F到直线AB的距离为3，
∴ 点F到直线AC的距离等于点F到AB的距离，即为3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键是通过等腰三角形三线合一定理判断出AF为角平分线，再结合角平分线的性质即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

4. 教材P156T5变式 [2026蚌埠期末] 如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD$是$∠ ABC$的平分线，延长$BC$到点$E$，使$CE = CD$，$AB = 6$.
(1)求$∠ E$的度数；
(2)求$BE$的长度.

解:(1)
∵ $CE = CD$,
∴ $∠ E = ∠ CDE$.
∵ $△ABC$ 是等边三角形,
∴ $∠ACB = 60°$,
∴ $∠ E = \frac{1}{2}∠ACB = 30°$.
(2)
∵ $△ABC$ 是等边三角形,
∴ $BC = AC = AB = 6$.
∵ $BD$ 是$∠ABC$ 的平分线,
∴ $CD = AD = \frac{1}{2}AC = 3$.
∵ $CE = CD$,
∴ $CE = 3$,
∴ $BE = BC + CE = 6 + 3 = 9$.

【分析】
(1)求∠E的度数时，先由CE=CD判断△CDE为等腰三角形，根据等边对等角可得∠E=∠CDE；再结合等边△ABC的性质得∠ACB=60°，∠ACB是△CDE的外角，根据三角形外角等于不相邻两内角和，可知∠ACB=2∠E，即可求出∠E的度数。
(2)求BE的长度时，BE由BC和CE两段组成，先由等边三角形三边相等得BC=AB=6；再根据BD是等边三角形的角平分线，结合三线合一性质可得D是AC中点，即CD=½AC=3；最后由CE=CD得CE=3，两段相加即可求出BE的长。
【解析】
(1)
∵ $CE = CD$,
∴ $∠ E = ∠ CDE$。
∵ $△ABC$ 是等边三角形,
∴ $∠ACB = 60°$,
∵ $∠ACB$是$△CDE$的外角，
∴ $∠ACB=∠E+∠CDE=2∠E$,
∴ $∠ E = \frac{1}{2}∠ACB = \frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)
∵ $△ABC$ 是等边三角形,
∴ $BC = AC = AB = 6$。
∵ $BD$ 是$∠ABC$ 的平分线，等边三角形三线合一,
∴ $CD = AD = \frac{1}{2}AC = 3$。
∵ $CE = CD$,
∴ $CE = 3$,
∴ $BE = BC + CE = 6 + 3 = 9$。
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的边角规律，结合三线合一和外角性质即可快速求解，掌握特殊三角形的相关性质是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

5. [2025扬州中考]在如图所示的房屋人字梁架中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，下列条件不能说明$AD⊥BC$的是（）


A.$∠ ADB = ∠ ADC$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$BD = CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$

由 $∠ADB = ∠ADC$, $∠ADB + ∠ADC = 180°$可推出$∠ADB = ∠ADC = 90°$,即 $AD ⊥ BC$,故 A 不符合题意;选项 C,D,结合 $AB = AC$,利用等腰三角形“三线合一”的性质可得$AD ⊥ BC$,故 C,D 不符合题意;由 $∠B = ∠C$ 不能说明 $AD ⊥BC$,故 B 符合题意.

【分析】
首先由已知$AB=AC$可知$△ ABC$是等腰三角形，题目要求选出不能证明$AD⊥ BC$的选项，我们可结合等腰三角形的性质、三线合一规律、垂直的定义逐个分析选项，判断每个选项能否推出垂直关系即可。
【解析】
已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$是其固有性质。
对选项A：$∠ ADB$与$∠ ADC$互为邻补角，因此$∠ ADB+∠ ADC=180°$，又已知$∠ ADB=∠ ADC$，可计算得$∠ ADB=∠ ADC=90°$，即$AD⊥ BC$，不符合题意；
对选项B：$∠ B=∠ C$是等腰$△ ABC$本身就具备的性质，和线段$AD$的位置无关，无法推出$AD⊥ BC$，符合题意；
对选项C：$BD=CD$说明$AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，$AD$也是底边$BC$上的高，因此$AD⊥ BC$，不符合题意；
对选项D：$AD$平分$∠ BAC$说明$AD$是等腰$△ ABC$的顶角角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，$AD$也是底边$BC$上的高，因此$AD⊥ BC$，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，三线合一，垂直判定
【点评】
本题核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题时需注意等腰三角形两底角相等是其本身固有的属性，不能用来推导底边上的线段与底边垂直，熟练掌握三线合一“知其一得其二”的规律，就能快速判断这类题目。
【难度系数】
0.8

6. [2026安庆期末]如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC为等腰三角形,AB = AC,BC//x轴.若A(2,4),B(-1,1),则点C的坐标为 ()

A.(2,3)
B.(3,1)
C.(5,1)
D.(1,5)

如图,过点 A 作 $AE ⊥ x$ 轴于点 E,交 BC 于点 D.
∵ $A(2,4),B(-1,1),BC// x$ 轴,
∴ $D(2,1)$.
∵ $△ABC$ 为等腰三角形,
∴ $BD = CD$,则 $x_c + (-1) = 2 × 2$,
∴ $x_c = 5$,
∴ 点 C 的坐标为$(5,1)$.

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先BC平行于x轴，根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，可先确定点C的纵坐标，快速排除不符合的选项；再结合△ABC是AB=AC的等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质，过点A作BC的垂线就是BC的中线，即垂足为BC的中点，最后通过中点坐标的计算逻辑即可求出点C的横坐标，最终得到点C的坐标。
【解析】
如图，过点A作 $AE ⊥ x$ 轴于点E，交BC于点D。
∵ $A(2,4),B(-1,1),BC// x$ 轴，
∴ 点D的横坐标与点A一致为2，点B、C、D的纵坐标相同，即$D(2,1)$。
∵ $△ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，$AD⊥BC$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$BD = CD$，即D是BC的中点。
根据中点横坐标的计算规律，可得$\frac{x_B + x_C}{2}=x_D$，
代入数值：$\frac{-1 + x_C}{2}=2$，解得$x_C=5$，
又
∵点C纵坐标与点B相同为1，
∴ 点C的坐标为$(5,1)$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一，坐标与图形性质，平行线的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与等腰三角形性质结合的基础题型，解题核心是先通过平行线的特征确定点C的纵坐标，再利用等腰三角形三线合一的性质找到BC的中点，进而计算得到点C的坐标，属于几何与坐标系结合的常考基础题。
【难度系数】
0.7

7. [2024广州中考]如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$AB = AC = 6$，$D$为边$BC$的中点，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$AE = CF$，则四边形$AEDF$的面积为（）

A.$18$
B.$9\sqrt{2}$
C.$9$
D.$6\sqrt{2}$

如图,连接 AD.
∵ $∠BAC = 90°,AB = AC,D$ 为边 BC 的中点,
∴ $∠B = ∠C = ∠BAD = 45°,AD = DC = BD$. 又
∵ $AE =CF$,
∴ $△DAE≌△DCF$,
∴ $S_{△AED} = S_{△CFD}$,
∴ $S_{四边形AEDF} = S_{△AED} +S_{△ADF} = S_{△CDF} + S_{△ADF} = S_{△ACD} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = \frac{1}{2} × \frac{1}{2}AB · AC =\frac{1}{2} × \frac{1}{2} ×6 ×6 =9$.

【分析】
本题可通过构造辅助线结合全等三角形性质进行面积转化求解。首先观察到△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD可得到相等的边和45°的等角；再结合已知AE=CF，可证明△DAE与△DCF全等，对应面积相等；最后将四边形AEDF的面积转化为△ACD的面积，即大三角形ABC面积的一半，计算即可得到结果。
【解析】
如图，连接AD。
∵ $∠BAC = 90°,AB = AC = 6$, D 为边 BC 的中点，
∴ $∠C = ∠BAD = 45°,AD = DC$（等腰直角三角形斜边中线等于斜边的一半，且平分顶角）。
又
∵ $AE = CF$，
在$△ DAE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases} AE=CF \\ ∠DAE=∠C \\ AD=CD \end{cases}$
∴ $△ DAE≌△ DCF$（SAS），
∴ $S_{△AED} = S_{△CFD}$，
∴ $S_{四边形AEDF} = S_{△AED} +S_{△ADF} = S_{△CDF} + S_{△ADF} = S_{△ACD}$。
又$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×6×6=18$，D是BC中点，
∴ $S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=9$。
【答案】
C

【知识点】
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等积变换求面积
【点评】
本题是几何中面积计算的典型题，核心解题思路是通过构造辅助线，利用全等三角形实现面积的等量转化，将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7

8. [2026北京海淀区期中]如图,在$△ ANC$中,$AN=AC$,$AM ⊥ MN$于点$M$,且$MN:NC=1:2$.若$∠ NAC=42°$,则$∠ MAN$的度数为.

如图,过点 A 作 $AB ⊥ CN$,垂足为 B.
∵ $AN = AC$,
∴ $BN = BC = \frac{1}{2}CN$, $∠BAN = \frac{1}{2}∠NAC = 21°$.
∵ $MN: NC = 1:2$,
∴ $MN = \frac{1}{2}CN$,
∴ $MN = BN$.
∵ $AM ⊥ MN$,
∴ $∠AMN = ∠ABN =90°$. 又
∵ $AN = AN$,
∴ $Rt△AMN≌Rt△ABN(HL)$,
∴ $∠MAN =∠BAN = 21°$(另解:这里证明 $MN = BN$ 后也可以利用角平分线的判定得证$∠MAN = ∠BAN$).

【分析】
本题是等腰三角形相关的角度计算问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，过点A作NC边上的高AB，既可平分顶角∠NAC，又能得到BN为NC的一半；再结合MN与NC的比例关系，推出MN=BN；最后通过证明Rt△AMN和Rt△ABN全等，或利用角平分线的判定，得到∠MAN与∠BAN相等，即可求出所求角度。
【解析】
如图，过点A作 $AB ⊥ CN$，垂足为B。
∵ $AN = AC$，△ANC为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质：
∴ $BN = BC = \frac{1}{2}CN$，$∠BAN = \frac{1}{2}∠NAC = \frac{1}{2}×42°=21°$。
∵ $MN: NC = 1:2$，
∴ $MN = \frac{1}{2}CN$，
∴ $MN = BN$。
∵ $AM ⊥ MN$，
∴ $∠AMN = ∠ABN =90°$。
又
∵ $AN = AN$（公共边），
∴ $Rt△AMN≌Rt△ABN(HL)$，
∴ $∠MAN =∠BAN = 21°$。
（另解：证明$MN = BN$后，由$AM⊥MN$、$AB⊥NC$，根据角平分线的判定定理，可直接得出AN平分$∠MAC$，即$∠MAN = ∠BAN$）

【答案】
$21°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形全等的判定，角平分线的判定
【点评】
本题侧重考查等腰三角形性质的灵活应用，解题的关键是合理作出辅助线，借助等腰三角形三线合一得到线段、角的等量关系，再结合全等或角平分线判定求解，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

9. 推理能力 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,过点A作$AE// BC$,并且使$AE=AC$,F是AC上一点,连接EF,使$EF=AB$,EF交AB,AD于G,H两点.若$5CD=2BD$,则$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ AEF}}=$.

解题思路:延长 BC 至点 M,使 $CM = AF$,证明$△EAF≌△ACM(SAS)$,可得 $EF = AM,S_{△EAF} = S_{△ACM}$,由等腰三角形“三线合一”的性质,可得 $BD = MD$,结合 $5CD = 2BD$,推出 $CM = \frac{3}{7}BC$,最后利用$\frac{S_{△ABC}}{S_{△AEF}} = \frac{S_{△ABC}}{S_{△ACM}} = \frac{BC}{CM}$ 即可得解.
如图,延长 BC 至点 M,使 $CM = AF$(利用垂直平分线构造等腰三角形见专项3类型2).
∵ $AE// BC$,
∴ $∠EAF = ∠ACM$. 在$△EAF$ 和 $△ACM$ 中,
$\begin{cases} AE = AC, \\ ∠EAF = ∠ACM, \\ AF = CM, \end{cases}$
∴ $△EAF ≅ △ACM$(SAS),
∴ $EF = AM,S_{△EAF} = S_{△ACM}$.
∵ $EF = AB$,
∴ $AM = AB$.
∵ AD 是BC边上的高,
∴ $AD ⊥ BC$,
∴ $BD = MD$,
∵ $5CD = 2BD$,
∴ $CD = \frac{2}{5}BD,BD = \frac{5}{5+2} BC = \frac{5}{7} BC$,
∴ $CM = DM - CD = BD - \frac{2}{5}BD = \frac{3}{5}BD = \frac{3}{5} × \frac{5}{7} BC = \frac{3}{7} BC$,
∴ $\frac{S_{△ABC}}{S_{△AEF}} = \frac{S_{△ABC}}{S_{△ACM}} = \frac{BC}{CM} = \frac{BC}{\frac{3}{7}BC} =\frac{7}{3}$.

【分析】
要求△ABC和△AEF的面积比，直接计算两个三角形面积条件不足，因此考虑转化面积。首先由AE//BC可得∠EAF=∠ACM，结合已知AE=AC的条件，可通过构造辅助线证明三角形全等，将△AEF的面积转化为BC边所在直线上的三角形的面积，使两个三角形同高，将面积比转化为底边长的比。具体思路：延长BC至M使CM=AF，证△EAF≌△ACM，可得$S_{△AEF}=S_{△ACM}$，再由EF=AB推得AB=AM，利用等腰三角形三线合一得到BD=MD，结合$5CD=2BD$的比例关系求出CM与BC的比值，即可得面积比。
【解析】
解：延长BC至点M，使$CM = AF$。
∵ $AE// BC$，
∴ $∠EAF = ∠ACM$（两直线平行，内错角相等）。
在$△EAF$和$△ACM$中：
$\begin{cases} AE = AC \\ ∠EAF = ∠ACM \\ AF = CM \end{cases}$
∴ $△EAF ≅ △ACM(\mathrm{SAS})$，
∴ $EF = AM$，$S_{△EAF} = S_{△ACM}$。
∵ $EF = AB$，
∴ $AM = AB$，即△ABM为等腰三角形。
∵AD是BC边上的高，即$AD⊥BC$，
∴ $BD = MD$（等腰三角形三线合一）。
∵ $5CD = 2BD$，设$BD=5k$（$k＞0$），则$CD=2k$，
∴ $BC = BD + CD = 5k + 2k = 7k$，
$CM = DM - CD = BD - CD = 5k - 2k = 3k$。
∵△ABC和△ACM的高均为AD，同高的三角形面积比等于底的比，
∴ $\frac{S_{△ABC}}{S_{△ACM}} = \frac{BC}{CM} = \frac{7k}{3k} = \frac{7}{3}$。
又
∵$S_{△AEF} = S_{△ACM}$，
∴ $\frac{S_{△ABC}}{S_{△AEF}} = \frac{7}{3}$。
【答案】
$\frac{7}{3}$

【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一；平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合应用题，核心是通过构造全等三角形完成面积的等量转化，结合等腰三角形性质与线段比例关系求解，对学生的辅助线构造能力和逻辑推理能力有一定的考察作用。
【难度系数】
0.4