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8.［2026安庆一模］如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ C=30°$，点$D$在$BC$上，$AB ⊥ AD$，$AD = 2$，则$BC$等于（
A.4
B.5
C.6
D.8
C
）A.4
B.5
C.6
D.8
答案
8. C
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = 30°,
∴ ∠BAC = 180° - 2∠C = 120°.
∵ AB ⊥ AD,
∴ ∠BAD = 90°,
∴ BD = 2AD = 4.
∵ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 90° = 30°,
∴ ∠DAC = ∠C,
∴ DC = AD = 2,
∴ BC = BD + DC = 4 + 2 = 6.
∵ AB = AC,
∴ ∠B = ∠C = 30°,
∴ ∠BAC = 180° - 2∠C = 120°.
∵ AB ⊥ AD,
∴ ∠BAD = 90°,
∴ BD = 2AD = 4.
∵ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 90° = 30°,
∴ ∠DAC = ∠C,
∴ DC = AD = 2,
∴ BC = BD + DC = 4 + 2 = 6.
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B的度数，再计算出顶角∠BAC的度数；接着结合AB⊥AD的垂直条件，发现△ABD是含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的性质求出BD的长度；之后推导∠DAC的度数，通过角度相等得到DC与AD的等量关系，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 30°，
∴ ∠BAC = 180° - 2∠C = 180° - 2×30° = 120°。
∵ AB ⊥ AD，
∴ ∠BAD = 90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，30°角所对的直角边AD=2，
∴ BD = 2AD = 4。
∵ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 90° = 30°，
∴ ∠DAC = ∠C，
∴ DC = AD = 2，
∴ BC = BD + DC = 4 + 2 = 6。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】本题属于基础几何计算题，重点考查特殊三角形的边角性质，解题关键是通过角度推导建立线段之间的等量关系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B的度数，再计算出顶角∠BAC的度数；接着结合AB⊥AD的垂直条件，发现△ABD是含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的性质求出BD的长度；之后推导∠DAC的度数，通过角度相等得到DC与AD的等量关系，最后将BD和DC相加即可得到BC的长度。
【解析】
∵ AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 30°，
∴ ∠BAC = 180° - 2∠C = 180° - 2×30° = 120°。
∵ AB ⊥ AD，
∴ ∠BAD = 90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，30°角所对的直角边AD=2，
∴ BD = 2AD = 4。
∵ ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 90° = 30°，
∴ ∠DAC = ∠C，
∴ DC = AD = 2，
∴ BC = BD + DC = 4 + 2 = 6。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；等角对等边
【点评】本题属于基础几何计算题，重点考查特殊三角形的边角性质，解题关键是通过角度推导建立线段之间的等量关系，是三角形章节的常考题型。
【难度系数】0.7
9. [2025亳州期末]如图,已知$∠ AOB=60°$,点$P$在射线$OA$上,$OP=12$,点$M,N$在射线$OB$上,$PM=PN$.若$MN=2$,则$OM$的长为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9. C 如图,过点 P 作 PH ⊥ MN 于点 H,则∠OHP = 90°. 因为∠AOB = 60°,所以∠OPH = 30°,所以 OH = $\frac{1}{2}$ OP = 6. 因为 PM = PN, PH ⊥ MN,所以 MH = NH = $\frac{1}{2}$ MN = 1,所以 OM = OH - MH = 6 - 1 = 5.
得分要点
当三角形中含15°,60°,120°,150°角时,可通过添加辅助线,构造含30°角的直角三角形求解.
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：①有60°的∠AOB，②等腰△PMN（PM=PN），要求OM的长度。我们可以先利用等腰三角形三线合一的性质，过P作OB的垂线PH，既可以得到MN的中点，算出MH的长度，又能构造出含30°角的Rt△OPH，利用30°角对的直角边等于斜边一半的性质算出OH的长度，最后用OH减去MH就能得到OM的长度。
【解析】
过点P作PH⊥MN于点H，
∴∠OHP=90°。
在Rt△OPH中，∠AOB=60°，
∴∠OPH=90°-60°=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∵OP=12，
∴OH=$\frac{1}{2}$OP=6。
又
∵PM=PN，PH⊥MN，根据等腰三角形三线合一的性质，H为MN的中点，
∵MN=2，
∴MH=$\frac{1}{2}$MN=1，
∴OM=OH-MH=6-1=5。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是常见的几何计算类题型，解题的核心是结合已知特殊角和等腰三角形的条件，通过作高构造特殊三角形求解，既考查了特殊三角形的基本性质，也考查了辅助线的构造能力，需熟练掌握相关性质，看到等腰和特殊角时优先考虑构造直角三角形简化计算。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：①有60°的∠AOB，②等腰△PMN（PM=PN），要求OM的长度。我们可以先利用等腰三角形三线合一的性质，过P作OB的垂线PH，既可以得到MN的中点，算出MH的长度，又能构造出含30°角的Rt△OPH，利用30°角对的直角边等于斜边一半的性质算出OH的长度，最后用OH减去MH就能得到OM的长度。
【解析】
过点P作PH⊥MN于点H，
∴∠OHP=90°。
在Rt△OPH中，∠AOB=60°，
∴∠OPH=90°-60°=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∵OP=12，
∴OH=$\frac{1}{2}$OP=6。
又
∵PM=PN，PH⊥MN，根据等腰三角形三线合一的性质，H为MN的中点，
∵MN=2，
∴MH=$\frac{1}{2}$MN=1，
∴OM=OH-MH=6-1=5。
【答案】
C
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等腰三角形三线合一
【点评】
本题是常见的几何计算类题型，解题的核心是结合已知特殊角和等腰三角形的条件，通过作高构造特殊三角形求解，既考查了特殊三角形的基本性质，也考查了辅助线的构造能力，需熟练掌握相关性质，看到等腰和特殊角时优先考虑构造直角三角形简化计算。
【难度系数】
0.7
10. [2026 阜阳期末] 如图，$△ ABC$是等边三角形，D是BC延长线上一点，$DE ⊥ AB$于点E，$EF ⊥ BC$于点F. 若$CD = 3AE$，$CF = 6$，则AC的长为
10
.答案
10. 10
解题思路:设 AC 与 DE 相交于 G,利用等边三角形的性质得到 AB = BC = AC,∠A = ∠B = ∠ACB = 60°,易得∠CGD = ∠D = 30°,所以 CG = CD. 设 AE = x,则 AG = 2AE = 2x,CG = 3x,所以 AB = BC = AC = AG + CG = 5x,BE = AB - AE = 4x,BF = BC - FC = 5x - 6,然后在 Rt△BEF 中利用 BE = 2BF 得到 4x = 2(5x - 6),解方程求出 x 后计算 5x 即可.
如图,设 AC 与 DE 相交于 G,
∵ △ABC为等边三角形,
∴ AB = BC = AC,∠A = ∠B = ∠ACB = 60°.
∵ DE ⊥ AE,
∴ ∠AEG = 90°,
∴ ∠CGD = ∠AGE = 180° - ∠AEG - ∠A = 30°,
∴ ∠D = ∠ACB - ∠CGD = 30°,
∴ CG = CD. 设 AE = x,则 CG = CD = 3x, 在 Rt△AEG 中,∠AGE = 30°,
∴ AG = 2AE = 2x,
∴ AB = BC = AC = AG + CG = 5x,BE = AB - AE = 4x,BF = BC - FC = 5x - 6. 在 Rt△BEF 中,易得∠BEF = 30°,
∴ BE = 2BF,
∴ 4x = 2(5x - 6),解得 x = 2,
∴ AC = 5x = 10.
解析
【分析】
遇到本题这类含等边三角形和直角的几何求长度问题，首先回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角都是60°。再结合垂直条件，可得到多个含30°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可推出线段间的倍数关系。结合已知CD=3AE的条件，我们可以设AE为未知数，用含未知数的式子表示出各相关线段的长度，再找到Rt△BEF中BE与BF的等量关系列方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
设AC与DE相交于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵DE⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠AEG-∠A=30°，由对顶角相等得∠CGD=∠AGE=30°。
∵∠ACB是△CGD的外角，
∴∠D=∠ACB-∠CGD=60°-30°=30°，
∴CG=CD。
设AE=x，由CD=3AE得CD=CG=3x，
在Rt△AEG中，∠AGE=30°，
∴AG=2AE=2x，
∴AC=AG+CG=2x+3x=5x，即AB=BC=5x。
∴BE=AB-AE=5x-x=4x，BF=BC-CF=5x-6。
在Rt△BEF中，∠B=60°，∠EFB=90°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，代入得：
4x=2(5x-6)
解得x=2，
∴AC=5x=5×2=10。
【答案】
10
【知识点】
等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考察了特殊三角形的性质与方程思想在几何问题中的应用，解题关键是找准含30°角的直角三角形，梳理清楚各线段之间的数量关系，建立方程求解，有助于提升学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到本题这类含等边三角形和直角的几何求长度问题，首先回忆等边三角形的性质：三边相等，三个内角都是60°。再结合垂直条件，可得到多个含30°角的直角三角形，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可推出线段间的倍数关系。结合已知CD=3AE的条件，我们可以设AE为未知数，用含未知数的式子表示出各相关线段的长度，再找到Rt△BEF中BE与BF的等量关系列方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
设AC与DE相交于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵DE⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE=180°-∠AEG-∠A=30°，由对顶角相等得∠CGD=∠AGE=30°。
∵∠ACB是△CGD的外角，
∴∠D=∠ACB-∠CGD=60°-30°=30°，
∴CG=CD。
设AE=x，由CD=3AE得CD=CG=3x，
在Rt△AEG中，∠AGE=30°，
∴AG=2AE=2x，
∴AC=AG+CG=2x+3x=5x，即AB=BC=5x。
∴BE=AB-AE=5x-x=4x，BF=BC-CF=5x-6。
在Rt△BEF中，∠B=60°，∠EFB=90°，
∴∠BEF=30°，
∴BE=2BF，代入得：
4x=2(5x-6)
解得x=2，
∴AC=5x=5×2=10。
【答案】
10
【知识点】
等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考察了特殊三角形的性质与方程思想在几何问题中的应用，解题关键是找准含30°角的直角三角形，梳理清楚各线段之间的数量关系，建立方程求解，有助于提升学生的知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
11. [2026大同段考]如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,将$△ ABC$折叠,折痕$AD$与$BC$交于点$D$,点$B$的对应点为$E$,过点$E$作$EF ⊥ AC$于点$F$,连接$CE$.若$CE$平分$∠ ACB$,且$∠ ACB = 30°$,$BD = 5$,则$EF$的长为
$\frac{5}{2}$
.答案
11. $\frac{5}{2}$
如图,过点 E 作 EH ⊥ BC 于点 H,延长 CE 交 AB 于点 M,连接 BE.
∵ CE 平分∠ACB,EF ⊥ AC,AC = BC,
∴ EF = EH,CM 垂直平分 AB,
∴ AE = BE. 由折叠的性质,可得 AB = AE,BD = ED = 5,
∴ AB = AE = BE,∠DBE = ∠DEB,
∴ △ABE 为等边三角形,
∴ ∠ABE = 60°.
∵ AC = BC,∠ACB = 30°,
∴ ∠ABC = ∠BAC = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°,
∴ ∠DBE = ∠DEB = ∠ABC - ∠ABE = 75° - 60° = 15°,
∴ ∠EDH = ∠DBE + ∠DEB = 15° + 15° = 30°. 在 Rt△EHD 中,∠EDH = 30°,
∴ EH = $\frac{1}{2}$ ED = $\frac{5}{2}$,
∴ EF = EH = $\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：①看到CE平分∠ACB且EF⊥AC，结合角平分线的性质，可过E作EH⊥BC于H，将求EF的长度转化为求EH的长度；②根据折叠的性质可直接得到BD=ED=5，AB=AE；③再结合AC=BC、CE平分∠ACB，由等腰三角形三线合一可知CE所在直线垂直平分AB，推出AE=BE，进而得到△ABE是等边三角形，通过角度计算得出∠EDH=30°；最后在Rt△EDH中利用含30°角的直角三角形的性质求出EH，即可得到EF的长。
【解析】
如图，过点E作EH⊥BC于点H，延长CE交AB于点M，连接BE。
∵ CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥BC，
∴ EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ AC=BC，CE平分∠ACB，
∴ CM⊥AB，且M为AB中点，即CM垂直平分AB，
∴ AE=BE。
由折叠的性质可得：AB=AE，BD=ED=5，
∴ AB=AE=BE，即△ABE为等边三角形，
∴ ∠ABE=60°。
∵ AC=BC，∠ACB=30°，
∴ ∠ABC=∠BAC=$\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ ∠DBE=∠ABC-∠ABE=75°-60°=15°。
又
∵ BD=ED，
∴ ∠DBE=∠DEB=15°，
∴ ∠EDH=∠DBE+∠DEB=15°+15°=30°。
在Rt△EHD中，∠EDH=30°，ED=5，
∴ EH=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{5}{2}$，
∴ EF=EH=$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，综合考查了等腰三角形、角平分线、折叠以及特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是合理作出辅助线实现线段的转化，通过角度推导得到含30°角的直角三角形，进而利用其性质求解，能够较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时从已知条件逐步推导：①看到CE平分∠ACB且EF⊥AC，结合角平分线的性质，可过E作EH⊥BC于H，将求EF的长度转化为求EH的长度；②根据折叠的性质可直接得到BD=ED=5，AB=AE；③再结合AC=BC、CE平分∠ACB，由等腰三角形三线合一可知CE所在直线垂直平分AB，推出AE=BE，进而得到△ABE是等边三角形，通过角度计算得出∠EDH=30°；最后在Rt△EDH中利用含30°角的直角三角形的性质求出EH，即可得到EF的长。
【解析】
如图，过点E作EH⊥BC于点H，延长CE交AB于点M，连接BE。
∵ CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥BC，
∴ EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ AC=BC，CE平分∠ACB，
∴ CM⊥AB，且M为AB中点，即CM垂直平分AB，
∴ AE=BE。
由折叠的性质可得：AB=AE，BD=ED=5，
∴ AB=AE=BE，即△ABE为等边三角形，
∴ ∠ABE=60°。
∵ AC=BC，∠ACB=30°，
∴ ∠ABC=∠BAC=$\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∴ ∠DBE=∠ABC-∠ABE=75°-60°=15°。
又
∵ BD=ED，
∴ ∠DBE=∠DEB=15°，
∴ ∠EDH=∠DBE+∠DEB=15°+15°=30°。
在Rt△EHD中，∠EDH=30°，ED=5，
∴ EH=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{5}{2}$，
∴ EF=EH=$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，综合考查了等腰三角形、角平分线、折叠以及特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是合理作出辅助线实现线段的转化，通过角度推导得到含30°角的直角三角形，进而利用其性质求解，能够较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
12. 教材P152T2变式 如图,点P,M,N分别在等边三角形ABC的各边上,且MP⊥AB于点P, MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:△PMN是等边三角形.
(2)若AB=12 cm,求CM的长.
(1)求证:△PMN是等边三角形.
(2)若AB=12 cm,求CM的长.
答案
12. (1)证明:
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ MP ⊥ AB,MN ⊥ BC,PN ⊥ AC,
∴ ∠MPB = ∠NMC = ∠PNA = 90°,
∴ ∠PMB = ∠MNC = ∠APN = 30°,
∴ ∠NPM = ∠PMN = ∠MNP = 180° - 90° - 30° = 60°,
∴ △PMN 是等边三角形.
(2)解:由(1)可证△PBM ≌ △MCN ≌ △NAP,
∴ PA = BM,BP = CM,
∴ BM + BP = PA + BP = AB = 12 cm.
∵ MP ⊥ AB,∠PMB = 30°,
∴ BM = 2BP,
∴ 2BP + BP = 12 cm,解得 BP = 4 cm,
∴ CM = 4 cm.
∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
∵ MP ⊥ AB,MN ⊥ BC,PN ⊥ AC,
∴ ∠MPB = ∠NMC = ∠PNA = 90°,
∴ ∠PMB = ∠MNC = ∠APN = 30°,
∴ ∠NPM = ∠PMN = ∠MNP = 180° - 90° - 30° = 60°,
∴ △PMN 是等边三角形.
(2)解:由(1)可证△PBM ≌ △MCN ≌ △NAP,
∴ PA = BM,BP = CM,
∴ BM + BP = PA + BP = AB = 12 cm.
∵ MP ⊥ AB,∠PMB = 30°,
∴ BM = 2BP,
∴ 2BP + BP = 12 cm,解得 BP = 4 cm,
∴ CM = 4 cm.
解析
【分析】
(1)要证明△PMN是等边三角形，可通过证明它的三个内角均为60°实现。已知△ABC是等边三角形，三个内角都为60°，结合题中给出的三组垂直关系，先求出直角三角形中30°的锐角，再利用平角或三角形内角和计算△PMN的三个内角，即可完成证明。
(2)要求CM的长，首先由(1)得到△PMN三边相等，结合角度关系可证明△PBM、△MCN、△NAP全等，得到边的等量关系：BP=CM、BM=PA。再根据Rt△PBM中30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到BM=2BP，结合AB的长度列方程求解即可得到CM的长。
【解析】
(1)证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
∵ MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴ ∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴ ∠PMB=∠MNC=∠APN=180°-90°-60°=30°，
∴ ∠NPM=180°-∠APN-∠MPB=180°-30°-90°=60°，
同理可得∠PMN=60°，∠MNP=60°，
∴ △PMN是等边三角形。
(2)解：
由(1)知△PMN是等边三角形，
∴ PM=MN=NP，
在△PBM和△MCN中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ MPB=∠ NMC\\ PM=MN\end{array} $
∴ △PBM≌△MCN（AAS），同理可证△MCN≌△NAP，即△PBM ≌ △MCN ≌ △NAP，
∴ PA=BM，BP=CM，
∴ BM + BP = PA + BP = AB = 12 cm。
∵ MP⊥AB，∠PMB=30°，在Rt△PBM中，30°角所对的直角边是斜边的一半，
∴ BM=2BP，
∴ 2BP + BP = 12 cm，解得BP=4 cm，
∴ CM=BP=4 cm。
【答案】
(1)△PMN是等边三角形，得证；
(2)CM的长为4 cm。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形和特殊直角三角形性质的综合基础题，解题核心是先利用角度关系证明目标三角形为等边三角形，再结合全等三角形的边的等量关系和30°直角三角形的边的比例关系求解线段长度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1)要证明△PMN是等边三角形，可通过证明它的三个内角均为60°实现。已知△ABC是等边三角形，三个内角都为60°，结合题中给出的三组垂直关系，先求出直角三角形中30°的锐角，再利用平角或三角形内角和计算△PMN的三个内角，即可完成证明。
(2)要求CM的长，首先由(1)得到△PMN三边相等，结合角度关系可证明△PBM、△MCN、△NAP全等，得到边的等量关系：BP=CM、BM=PA。再根据Rt△PBM中30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到BM=2BP，结合AB的长度列方程求解即可得到CM的长。
【解析】
(1)证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
∵ MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴ ∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴ ∠PMB=∠MNC=∠APN=180°-90°-60°=30°，
∴ ∠NPM=180°-∠APN-∠MPB=180°-30°-90°=60°，
同理可得∠PMN=60°，∠MNP=60°，
∴ △PMN是等边三角形。
(2)解：
由(1)知△PMN是等边三角形，
∴ PM=MN=NP，
在△PBM和△MCN中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ MPB=∠ NMC\\ PM=MN\end{array} $
∴ △PBM≌△MCN（AAS），同理可证△MCN≌△NAP，即△PBM ≌ △MCN ≌ △NAP，
∴ PA=BM，BP=CM，
∴ BM + BP = PA + BP = AB = 12 cm。
∵ MP⊥AB，∠PMB=30°，在Rt△PBM中，30°角所对的直角边是斜边的一半，
∴ BM=2BP，
∴ 2BP + BP = 12 cm，解得BP=4 cm，
∴ CM=BP=4 cm。
【答案】
(1)△PMN是等边三角形，得证；
(2)CM的长为4 cm。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形和特殊直角三角形性质的综合基础题，解题核心是先利用角度关系证明目标三角形为等边三角形，再结合全等三角形的边的等量关系和30°直角三角形的边的比例关系求解线段长度，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.65
13. 》推理能力 》一题多解 如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN,B,D分别在射线AN,AM上.
(1)在图1中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求证:AB + AD = AC.
(2)若把(1)中的条件“∠ABC = ∠ADC = 90°”改为“∠ABC + ∠ADC = 180°”,其他条件不变,如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(1)在图1中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求证:AB + AD = AC.
(2)若把(1)中的条件“∠ABC = ∠ADC = 90°”改为“∠ABC + ∠ADC = 180°”,其他条件不变,如图2,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
答案
13. (1)证明:
∵ AC 平分∠MAN,∠MAN = 120°,
∴ ∠CAB = ∠CAD = 60°.
∵ ∠ABC = ∠ADC = 90°,
∴ ∠ACB = ∠ACD = 30°,
∴ AB = AD = $\frac{1}{2}$ AC,
∴ AB + AD = AC.
(2)解:成立. 证明如下:
通解 如图,过点 C 分别作 CE ⊥ AB 于点 E,CF ⊥ AM 于点 F,
∵ AC 平分∠MAN,
∴ CE = CF.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠CDF + ∠ADC = 180°,
∴ ∠CBE = ∠CDF,
又
∵ ∠CEB = ∠CFD,CE = CF,
∴ △CBE ≌ △CDF(AAS),
∴ BE = DF,
∴ AE + AF = AE + AD + DF = AE + AD + BE = AD + AB.
由(1)得 AE + AF = AC,
∴ AD + AB = AC.
另解 如图,在 AN 上截取 AG = AC,连接 CG.
∵ ∠CAB = 60°,
∴ △CAG 为等边三角形,
∴ AG = AC = CG,∠AGC = 60°.
∵ ∠DAC = 60°,
∴ ∠DAC = ∠AGC.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠ABC + ∠CBG = 180°,
∴ ∠GBC = ∠ADC.
在△CBG 和△CDA 中,
$\begin{cases}∠BGC = ∠DAC,\\∠GBC = ∠ADC,\\GC = AC,\end{cases}$
∴ △CBG ≌ △CDA(AAS),
∴ BG = AD,
∴ AB + AD = AB + GB = AG = AC.
解析
【分析】
(1) 首先根据角平分线的定义，结合已知∠MAN=120°求出∠CAB=∠CAD=60°，再利用直角三角形两锐角互余得到∠ACB=∠ACD=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质，可得AB、AD均为AC的一半，相加即可证得结论。
(2) 结论仍然成立，可通过两种思路推导：思路一：根据角平分线的性质，过点C向∠MAN的两边作垂线，得到两条相等的垂线段，再结合∠ABC+∠ADC=180°推出一组等角，证明三角形全等，将线段转化后结合(1)的结论即可得证；思路二：采用截长补短法，在AN上截取AG=AC构造等边三角形，再证明三角形全等将AD转化为BG，即可推导出结论。
【解析】
(1) 证明:
∵ AC 平分∠MAN,∠MAN = 120°,
∴ ∠CAB = ∠CAD = 60°.
∵ ∠ABC = ∠ADC = 90°,
∴ ∠ACB = ∠ACD = 30°,
∴ AB = AD = $\frac{1}{2}$ AC,
∴ AB + AD = AC.
(2) 解:成立. 证明如下:
方法1 如图,过点 C 分别作 CE ⊥ AB 于点 E,CF ⊥ AM 于点 F,
∵ AC 平分∠MAN,
∴ CE = CF.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠CDF + ∠ADC = 180°,
∴ ∠CBE = ∠CDF,
又
∵ ∠CEB = ∠CFD,CE = CF,
∴ △CBE ≌ △CDF(AAS),
∴ BE = DF,
∴ AE + AF = AE + AD + DF = AE + AD + BE = AD + AB.
由(1)得 AE + AF = AC,
∴ AD + AB = AC.
方法2 如图,在 AN 上截取 AG = AC,连接 CG.
∵ ∠CAB = 60°,
∴ △CAG 为等边三角形,
∴ AG = AC = CG,∠AGC = 60°.
∵ ∠DAC = 60°,
∴ ∠DAC = ∠AGC.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠ABC + ∠CBG = 180°,
∴ ∠GBC = ∠ADC.
在△CBG 和△CDA 中,
$\begin{cases}∠BGC = ∠DAC,\\∠GBC = ∠ADC,\\GC = AC,\end{cases}$
∴ △CBG ≌ △CDA(AAS),
∴ BG = AD,
∴ AB + AD = AB + GB = AG = AC.
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) 结论仍然成立，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形、全等三角形和角平分线的相关知识，第二问的两种辅助线作法（作角两边的垂线、截长补短构造特殊三角形）是解决几何线段和差问题的常用方法，能有效锻炼逻辑推理和一题多解的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据角平分线的定义，结合已知∠MAN=120°求出∠CAB=∠CAD=60°，再利用直角三角形两锐角互余得到∠ACB=∠ACD=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质，可得AB、AD均为AC的一半，相加即可证得结论。
(2) 结论仍然成立，可通过两种思路推导：思路一：根据角平分线的性质，过点C向∠MAN的两边作垂线，得到两条相等的垂线段，再结合∠ABC+∠ADC=180°推出一组等角，证明三角形全等，将线段转化后结合(1)的结论即可得证；思路二：采用截长补短法，在AN上截取AG=AC构造等边三角形，再证明三角形全等将AD转化为BG，即可推导出结论。
【解析】
(1) 证明:
∵ AC 平分∠MAN,∠MAN = 120°,
∴ ∠CAB = ∠CAD = 60°.
∵ ∠ABC = ∠ADC = 90°,
∴ ∠ACB = ∠ACD = 30°,
∴ AB = AD = $\frac{1}{2}$ AC,
∴ AB + AD = AC.
(2) 解:成立. 证明如下:
方法1 如图,过点 C 分别作 CE ⊥ AB 于点 E,CF ⊥ AM 于点 F,
∵ AC 平分∠MAN,
∴ CE = CF.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠CDF + ∠ADC = 180°,
∴ ∠CBE = ∠CDF,
又
∵ ∠CEB = ∠CFD,CE = CF,
∴ △CBE ≌ △CDF(AAS),
∴ BE = DF,
∴ AE + AF = AE + AD + DF = AE + AD + BE = AD + AB.
由(1)得 AE + AF = AC,
∴ AD + AB = AC.
方法2 如图,在 AN 上截取 AG = AC,连接 CG.
∵ ∠CAB = 60°,
∴ △CAG 为等边三角形,
∴ AG = AC = CG,∠AGC = 60°.
∵ ∠DAC = 60°,
∴ ∠DAC = ∠AGC.
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°,∠ABC + ∠CBG = 180°,
∴ ∠GBC = ∠ADC.
在△CBG 和△CDA 中,
$\begin{cases}∠BGC = ∠DAC,\\∠GBC = ∠ADC,\\GC = AC,\end{cases}$
∴ △CBG ≌ △CDA(AAS),
∴ BG = AD,
∴ AB + AD = AB + GB = AG = AC.
【答案】
(1) 证明成立，过程见解析；
(2) 结论仍然成立，证明过程见解析。
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊三角形、全等三角形和角平分线的相关知识，第二问的两种辅助线作法（作角两边的垂线、截长补短构造特殊三角形）是解决几何线段和差问题的常用方法，能有效锻炼逻辑推理和一题多解的能力。
【难度系数】
0.6
