1. 如图，$△ ACM$ 和 $△ CBN$ 都是等边三角形，$AN$ 与 $BM$ 交于点 $O$.
(1)求证:$AN = BM$.
(2)求$∠ AOM$的度数.

1. (1)证明:
∵ △ACM 和△CBN 都是等边三角形,
∴ CA = CM,CB = CN,∠ACM = ∠BCN = 60°,
∴ ∠ACM + ∠MCN = ∠BCN + ∠MCN,即∠ACN = ∠MCB,
∴ △ACN ≌ △MCB(SAS),
∴ AN = BM.
(2)解:设 CM 与 AO 交于点 D.
∵ △ACN ≌ △MCB,
∴ ∠CAD = ∠OMD.
又
∵ ∠ADC = ∠MDO,∠AOM = 180° - ∠OMD - ∠MDO,
∠ACM = 180° - ∠CAD - ∠ADC,
∴ ∠AOM = ∠ACM = 60°.

【分析】
(1)要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中AN属于△ACN，BM属于△MCB，首先根据等边三角形的性质可得两组对应边相等，再通过角度的和差关系得到两组边的夹角相等，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边AN=BM。
(2)要求∠AOM的度数，可利用(1)中全等三角形的对应角相等的性质，结合对顶角相等、三角形内角和定理，推导得出∠AOM与等边△ACM的内角度数相等，即可求出结果。
【解析】
(1)证明：
∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴$CA = CM$，$CB = CN$，$∠ACM = ∠BCN = 60°$，
∴$∠ACM + ∠MCN = ∠BCN + ∠MCN$，即$∠ACN = ∠MCB$，
在$△ ACN$和$△ MCB$中：
$\begin{cases}CA=CM \\∠ACN=∠MCB \\CN=CB\end{cases}$
∴$△ ACN ≌ △ MCB(\mathrm{SAS})$，
∴$AN = BM$。
(2)解：设CM与AO交于点D。
∵$△ ACN ≌ △ MCB$，
∴$∠CAD = ∠OMD$，
又
∵$∠ADC = ∠MDO$（对顶角相等），
根据三角形内角和定理可得：$∠AOM = 180° - ∠OMD - ∠MDO$，$∠ACM = 180° - ∠CAD - ∠ADC$，
∴$∠AOM = ∠ACM = 60°$。
【答案】
(1)AN=BM，证明成立；
(2)$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，解题核心是利用等边三角形的边、角性质找到全等的判定条件，再借助全等的性质推导边的等量关系和角的度数，能够很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$△ ADE$ 和$△ ABC$ 都是等边三角形，点$M$，$N$分别是$CE$，$BD$的中点，连接$AM$，$AN$，$MN$.
求证:(1) $△ ABD≌△ ACE$.
(2) $△ AMN$ 是等边三角形.

2. 证明:(1)
∵ △ADE 和△ABC 都是等边三角形,
∴ AB = AC,AD = AE,∠BAC = ∠DAE = 60°,
∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD,即∠BAD = ∠CAE.
在△ABD 和△ACE 中,
$\begin{cases}AB = AC,\\∠BAD = ∠CAE,\\AD = AE,\end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACE(SAS).
(2)
∵ △ABD ≌ △ACE,
∴ BD = CE,∠ADB = ∠AEC.
∵ 点 M,N 分别是 CE,BD 的中点,
∴ EM = $\frac{1}{2}$ CE,DN = $\frac{1}{2}$ BD,
∴ EM = DN,
∴ △AND ≌ △AME(SAS),
∴ ∠DAN = ∠EAM,AN = AM,
∴ ∠MAN = ∠DAM + ∠DAN = ∠DAM + ∠EAM = ∠DAE = 60°,
∴ △AMN 都是等边三角形.

【分析】
(1) 要证明$△ ABD≌△ ACE$，可从已知的等边三角形性质入手：等边三角形三边相等、内角均为$60°$，先得到两组对应边相等，再通过角的和差推导两边的夹角相等，满足SAS全等判定条件即可得证。
(2) 要证明$△ AMN$是等边三角形，常用判定为“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”。首先利用(1)的全等结论，得到对应边、对应角相等，结合中点的性质得到新的一组相等边，证明第二次全等，推出$AN=AM$，再推导两边的夹角为$60°$，即可完成判定。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ADE$和$△ ABC$都是等边三角形，
$\therefore AB = AC,AD = AE,∠ BAC = ∠ DAE = 60°$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ CAD = ∠ DAE - ∠ CAD$，即$∠ BAD = ∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中，
$\begin{cases}AB = AC,\\∠ BAD = ∠ CAE,\\AD = AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
(2) 证明：
$\because △ ABD ≌ △ ACE$，
$\therefore BD = CE,∠ ADB = ∠ AEC$。
$\because$点$M,N$分别是$CE,BD$的中点，
$\therefore EM = \frac{1}{2}CE,DN = \frac{1}{2}BD$，
$\therefore EM = DN$。
在$△ AND$和$△ AME$中，
$\begin{cases}AD = AE,\\∠ ADN = ∠ AEM,\\DN = EM,\end{cases}$
$\therefore △ AND ≌ △ AME(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ DAN = ∠ EAM,AN = AM$，
$\therefore ∠ MAN = ∠ DAM + ∠ DAN = ∠ DAM + ∠ EAM = ∠ DAE = 60°$，
$\therefore △ AMN$是等边三角形。
【答案】
(1) $△ ABD≌△ ACE$得证；
(2) $△ AMN$是等边三角形得证。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的综合基础题，解题核心是灵活运用等边三角形的边、角性质，挖掘全等所需的条件，通过两次全等转化边和角的关系完成最终判定，对训练几何逻辑推理能力有较好的作用。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$△ ABC$ 和 $△ AMN$ 都是等边三角形，点N是直线BC上的动点（与点C不重合）。
(1)当点N与点B重合时，求证：$△ AMN ≌ △ ACB$。
(2)点B,C将直线BC分成3个部分，请在备用图中画出另两种情况，观察图形，BM与AC之间有什么位置关系？说明理由。
(3)根据已知图形与你画的两个图形，分析线段BM,BN和BC之间有什么数量关系，不需要说明理由。

备用图
备用图

3. (1)证明:当点 N 与点 B 重合时,AN = AB.
∵ △ABC 和△AMN 是等边三角形,
∴ ∠ANM = ∠ABC = 60°,∠NAM = ∠BAC = 60°,
∴ △AMN ≌ △ACB(ASA).
(2)解:BM // AC. 理由:如图1,过点 N 作 ND // AC 交 AB 于点 D,易知△BDN 是等边三角形,则 BN = DN,∠BDN = 60°.
∵ △AMN 是等边三角形,
∴ AN = MN.
又
∵ ∠ANM - ∠DNM = ∠BND - ∠DNM,
∴ ∠AND = ∠MNB.
∴ △AND ≌ △MNB(SAS),
∴ ∠MBN = ∠ADN = 180° - ∠BDN = 120°,
∴ ∠MBC + ∠ACB = 180°,
∴ BM // AC.
如图2,同理证明△AND ≌ △MNB,
∴ ∠MBN = ∠D = 60°,
∴ ∠MBN = ∠ACB = 60°,
∴ BM // AC.
(3)解:在图1 中,BC = BM + BN;
在图2 中,BM = BC + BN;
在图3 中,BN = BC + BM.
特别地,当点 N 与点 B 重合时,BN = 0,则 BM = BC.

【分析】
(1) 证明全等需先找对应相等的边和角：已知两个三角形都是等边三角形，天然有对应角相等，当点N与点B重合时可得到一组对应边相等，结合ASA判定定理即可完成证明。
(2) 判断BM与AC的位置关系优先考虑平行，证明平行需要找到角的等量关系，可通过作辅助线ND//AC构造等边三角形，再证明△AND≌△MNB得到对应角相等，进而推导角的关系证明平行，注意要分点N在线段BC上、BC延长线上、CB延长线上三种情况讨论。
(3) 线段的数量关系可结合全等得到的对应边相等、等边三角形三边相等的性质，分三种情况分析线段的和差关系即可。
【解析】
(1) 证明：当点N与点B重合时，$AN = AB$。
$\because △ ABC$和$△ AMN$是等边三角形，
$\therefore ∠ ANM = ∠ ABC = 60°$，$∠ NAM = ∠ BAC = 60°$，
$\therefore △ AMN ≌ △ ACB(\mathrm{ASA})$。
(2) $BM// AC$，理由如下：
当点N在线段BC上时，过点N作$ND// AC$交AB于点D，易知$△ BDN$是等边三角形，则$BN = DN$，$∠ BDN = 60°$。
$\because △ AMN$是等边三角形，$\therefore AN = MN$。
又$\because ∠ ANM - ∠ DNM = ∠ BND - ∠ DNM$，$\therefore ∠ AND = ∠ MNB$。
$\therefore △ AND ≌ △ MNB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ MBN = ∠ ADN = 180° - ∠ BDN = 120°$，
$\because △ ABC$是等边三角形，$∠ ACB=60°$，
$\therefore ∠ MBC + ∠ ACB = 180°$，$\therefore BM// AC$。
当点N在BC延长线上时，同理可证$△ AND ≌ △ MNB$，
$\therefore ∠ MBN = ∠ D = 60°$，
$\therefore ∠ MBN = ∠ ACB = 60°$，$\therefore BM// AC$。
当点N在CB延长线上时，同理可证$BM// AC$。
(3) 分情况讨论：
点N在线段BC上时，$BC = BM + BN$；
点N在BC延长线上时，$BM = BC + BN$；
点N在CB延长线上时，$BN = BC + BM$；
点N与点B重合时，$BN=0$，此时$BM=BC$。
【答案】
3. (1)证明:当点 N 与点 B 重合时,AN = AB.
∵ △ABC 和△AMN 是等边三角形,
∴ ∠ANM = ∠ABC = 60°,∠NAM = ∠BAC = 60°,
∴ △AMN ≌ △ACB(ASA).
(2)解:BM // AC. 理由:如图1,过点 N 作 ND // AC 交 AB 于点 D,易知△BDN 是等边三角形,则 BN = DN,∠BDN = 60°.
∵ △AMN 是等边三角形,
∴ AN = MN.
又
∵ ∠ANM - ∠DNM = ∠BND - ∠DNM,
∴ ∠AND = ∠MNB.
∴ △AND ≌ △MNB(SAS),
∴ ∠MBN = ∠ADN = 180° - ∠BDN = 120°,
∴ ∠MBC + ∠ACB = 180°,
∴ BM // AC.
如图2,同理证明△AND ≌ △MNB,
∴ ∠MBN = ∠D = 60°,
∴ ∠MBN = ∠ACB = 60°,
∴ BM // AC.
(3)解:在图1 中,BC = BM + BN;
在图2 中,BM = BC + BN;
在图3 中,BN = BC + BM.
特别地,当点 N 与点 B 重合时,BN = 0,则 BM = BC.
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于动点类几何综合题，需要结合动点的不同位置分类讨论，通过构造辅助线得到全等三角形是解题的关键，既考查了基础的几何性质与判定，也能锻炼分类讨论的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6