登录
1. 数学老师在讲解等腰三角形时举了下面两个例题.
例1:等腰三角形ABC中,∠A=120°,求∠B的度数.(答案:30°.)
例2:等腰三角形ABC中,∠A=50°,求∠B的度数.(答案:50°或80°或65°.)
受老师的启发,同学们进行变式,小明编了如下的一道题目.
变式:等腰三角形ABC中,∠A=70°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解答完(1)后,小明发现,当∠A的度数不同时,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
例1:等腰三角形ABC中,∠A=120°,求∠B的度数.(答案:30°.)
例2:等腰三角形ABC中,∠A=50°,求∠B的度数.(答案:50°或80°或65°.)
受老师的启发,同学们进行变式,小明编了如下的一道题目.
变式:等腰三角形ABC中,∠A=70°,求∠B的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解答完(1)后,小明发现,当∠A的度数不同时,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.
答案
1. 解:(1)若∠A 为顶角,则∠B = $\frac{1}{2}(180° - ∠A)$ = 55°.
若∠A 为底角,
①当∠B 为顶角时,∠B = 180° - 2∠A = 180° - 2×70° = 40°;
②当∠B 为底角时,∠B = 70°.
故∠B 的度数为 55°或 40°或 70°.
(2)①当 90 ≤ x ＜ 180 时,∠A 只能为顶角,
∴ ∠B 的度数只有一个;
②当 0 ＜ x ＜ 90 时,若∠A 为顶角,则∠B = $(\frac{180 - x}{2})°$;
若∠A 为底角,∠B 为顶角,则∠B = $(180 - 2x)°$;
若∠A 为底角,∠B 为底角,则∠B = $x°$.
当$\frac{180 - x}{2} ≠ 180 - 2x$ 且 $180 - 2x ≠ x$ 且 $\frac{180 - x}{2} ≠ x$,即 x ≠ 60 时,∠B 有三个不同的度数.
综上所述,当 0 ＜ x ＜ 90 且 x ≠ 60 时,∠B 有三个不同的度数.
若∠A 为底角,
①当∠B 为顶角时,∠B = 180° - 2∠A = 180° - 2×70° = 40°;
②当∠B 为底角时,∠B = 70°.
故∠B 的度数为 55°或 40°或 70°.
(2)①当 90 ≤ x ＜ 180 时,∠A 只能为顶角,
∴ ∠B 的度数只有一个;
②当 0 ＜ x ＜ 90 时,若∠A 为顶角,则∠B = $(\frac{180 - x}{2})°$;
若∠A 为底角,∠B 为顶角,则∠B = $(180 - 2x)°$;
若∠A 为底角,∠B 为底角,则∠B = $x°$.
当$\frac{180 - x}{2} ≠ 180 - 2x$ 且 $180 - 2x ≠ x$ 且 $\frac{180 - x}{2} ≠ x$,即 x ≠ 60 时,∠B 有三个不同的度数.
综上所述,当 0 ＜ x ＜ 90 且 x ≠ 60 时,∠B 有三个不同的度数.
解析
【分析】
（1）第一问需结合等腰三角形“角分顶角和底角”的特征分类讨论：先确定∠A是顶角还是底角，再确定∠B的身份，结合三角形内角和为180°计算即可。
（2）第二问首先要明确：当∠A为直角或钝角时，它只能作为等腰三角形的顶角，此时∠B只有1个度数；只有当∠A为锐角时，才存在三种角度情况，再排除三种计算结果相等的特殊情况，就能得到x的取值范围。
【解析】
(1) 分三种情况计算：
① 若∠A为顶角，等腰三角形两底角相等，则$∠ B = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = \frac{1}{2}(180° - 70°) = 55°$；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，则$∠ B = 180° - 2∠ A = 180° - 2×70° = 40°$；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，则$∠ B = ∠ A = 70°$。
(2) 分范围讨论x的取值：
① 当$90 ≤ x ＜ 180$时，∠A为直角或钝角，只能作为等腰三角形的顶角，此时$∠ B = (\frac{180-x}{2})°$，仅1个度数，不符合要求；
② 当$0 ＜ x ＜ 90$时，∠A为锐角，可分三种情况计算∠B：
若∠A为顶角，$∠ B = (\frac{180-x}{2})°$；
若∠A为底角，∠B为顶角，$∠ B = (180-2x)°$；
若∠A为底角，∠B为底角，$∠ B = x°$。
要使∠B有三个不同度数，需三个结果互不相等，解不等式得：$\frac{180-x}{2} ≠ 180-2x$、$180-2x≠x$、$\frac{180-x}{2}≠x$，三个不等式的解集均为$x≠60$。
综上，当$0 ＜ x ＜ 90$且$x≠60$时，∠B有三个不同的度数。
【答案】
(1) $∠ B$的度数为$55°$或$40°$或$70°$；
(2) $x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 90$且$x≠60$。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题核心考察等腰三角形角度计算的分类讨论逻辑，解题时要注意等腰三角形的底角只能为锐角，避免出现概念错误，第二问需要排除角度相等的特殊值，对逻辑严谨性有一定要求，是等腰三角形的经典易错题。
【难度系数】
0.65
（1）第一问需结合等腰三角形“角分顶角和底角”的特征分类讨论：先确定∠A是顶角还是底角，再确定∠B的身份，结合三角形内角和为180°计算即可。
（2）第二问首先要明确：当∠A为直角或钝角时，它只能作为等腰三角形的顶角，此时∠B只有1个度数；只有当∠A为锐角时，才存在三种角度情况，再排除三种计算结果相等的特殊情况，就能得到x的取值范围。
【解析】
(1) 分三种情况计算：
① 若∠A为顶角，等腰三角形两底角相等，则$∠ B = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = \frac{1}{2}(180° - 70°) = 55°$；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，则$∠ B = 180° - 2∠ A = 180° - 2×70° = 40°$；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，则$∠ B = ∠ A = 70°$。
(2) 分范围讨论x的取值：
① 当$90 ≤ x ＜ 180$时，∠A为直角或钝角，只能作为等腰三角形的顶角，此时$∠ B = (\frac{180-x}{2})°$，仅1个度数，不符合要求；
② 当$0 ＜ x ＜ 90$时，∠A为锐角，可分三种情况计算∠B：
若∠A为顶角，$∠ B = (\frac{180-x}{2})°$；
若∠A为底角，∠B为顶角，$∠ B = (180-2x)°$；
若∠A为底角，∠B为底角，$∠ B = x°$。
要使∠B有三个不同度数，需三个结果互不相等，解不等式得：$\frac{180-x}{2} ≠ 180-2x$、$180-2x≠x$、$\frac{180-x}{2}≠x$，三个不等式的解集均为$x≠60$。
综上，当$0 ＜ x ＜ 90$且$x≠60$时，∠B有三个不同的度数。
【答案】
(1) $∠ B$的度数为$55°$或$40°$或$70°$；
(2) $x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 90$且$x≠60$。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题核心考察等腰三角形角度计算的分类讨论逻辑，解题时要注意等腰三角形的底角只能为锐角，避免出现概念错误，第二问需要排除角度相等的特殊值，对逻辑严谨性有一定要求，是等腰三角形的经典易错题。
【难度系数】
0.65
2. [2026 阜阳期末]已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$36°$,求这个等腰三角形底角的度数.
答案
2. 解:分三种情况讨论:
①当三角形为锐角三角形时,如图1,AB = AC,BD ⊥ AC,∠ABD = 36°,则∠BDA = 90°,
∴ ∠A + ∠ABD = 90°,
∴ ∠A = 90° - 36° = 54°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C(等边对等角) = $\frac{1}{2} × (180° - ∠A)$ = 63°.
②当三角形为钝角三角形时,如图2,AB = AC,BD ⊥ AC,∠ABD = 36°,则∠ADB = 90°,
∴ ∠DAB + ∠ABD = 90°,
∴ ∠DAB = 90° - 36° = 54°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C(等边对等角) = $\frac{1}{2} ∠DAB$ = 27°.
③当三角形为直角三角形时,两条腰互为高,则一腰上的高与另一腰的夹角为 0°,与已知矛盾,舍去.
综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 63°或 27°.
解析
【分析】
解决本题需先明确等腰三角形的形状不确定时，一腰上的高的位置会发生变化：锐角等腰三角形的高在三角形内部，钝角等腰三角形的高在三角形外部，直角等腰三角形的两条腰互为高，因此需要分类讨论。解题时先根据高与腰的夹角求出顶角（或顶角的外角）的度数，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理计算底角度数，最后排除不符合题意的情况即可。
【解析】
分三种情况讨论:
①当三角形为锐角三角形时,如图1,AB = AC,BD ⊥ AC,∠ABD = 36°,则∠BDA = 90°,
∴ ∠A + ∠ABD = 90°,
∴ ∠A = 90° - 36° = 54°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C(等边对等角) = $\frac{1}{2} × (180° - ∠A)$ = 63°.
②当三角形为钝角三角形时,如图2,AB = AC,BD ⊥ AC,∠ABD = 36°,则∠ADB = 90°,
∴ ∠DAB + ∠ABD = 90°,
∴ ∠DAB = 90° - 36° = 54°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C(等边对等角) = $\frac{1}{2} ∠DAB$ = 27°.
③当三角形为直角三角形时,两条腰互为高,则一腰上的高与另一腰的夹角为0°,与已知矛盾,舍去.
综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 63°或 27°.
【答案】
63°或27°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形高的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略钝角等腰三角形的高在外部的情况导致漏解，解答这类涉及三角形高的问题时，要结合高的位置全面分析三角形的所有可能形状，避免出现遗漏。
【难度系数】
0.6
解决本题需先明确等腰三角形的形状不确定时，一腰上的高的位置会发生变化：锐角等腰三角形的高在三角形内部，钝角等腰三角形的高在三角形外部，直角等腰三角形的两条腰互为高，因此需要分类讨论。解题时先根据高与腰的夹角求出顶角（或顶角的外角）的度数，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理计算底角度数，最后排除不符合题意的情况即可。
【解析】
分三种情况讨论:
①当三角形为锐角三角形时,如图1,AB = AC,BD ⊥ AC,∠ABD = 36°,则∠BDA = 90°,
∴ ∠A + ∠ABD = 90°,
∴ ∠A = 90° - 36° = 54°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C(等边对等角) = $\frac{1}{2} × (180° - ∠A)$ = 63°.
②当三角形为钝角三角形时,如图2,AB = AC,BD ⊥ AC,∠ABD = 36°,则∠ADB = 90°,
∴ ∠DAB + ∠ABD = 90°,
∴ ∠DAB = 90° - 36° = 54°.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠C(等边对等角) = $\frac{1}{2} ∠DAB$ = 27°.
③当三角形为直角三角形时,两条腰互为高,则一腰上的高与另一腰的夹角为0°,与已知矛盾,舍去.
综上所述,这个等腰三角形底角的度数为 63°或 27°.
【答案】
63°或27°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形高的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论的数学思想，解题时容易忽略钝角等腰三角形的高在外部的情况导致漏解，解答这类涉及三角形高的问题时，要结合高的位置全面分析三角形的所有可能形状，避免出现遗漏。
【难度系数】
0.6
3. [2026安庆段考]在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A,B是两格点.若C也是图中的格点，且使得$△ ABC$为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是
8
.答案
3. 8
解题思路:AB 是腰长时,根据网格结构,找出一个小正方形与 A,B 顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形,AB 是底边时,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,AB 垂直平分线上的格点都可以作为点 C,然后相加即可得解.
①当 AB 为等腰三角形 ABC 的底边时,符合条件的点 C 有 4 个;②当 AB 为等腰三角形 ABC 的一条腰时,符合条件的点 C 有 4 个.
∴ 符合条件的点 C 的个数是 8.
解题思路:AB 是腰长时,根据网格结构,找出一个小正方形与 A,B 顶点相对的顶点,连接即可得到等腰三角形,AB 是底边时,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,AB 垂直平分线上的格点都可以作为点 C,然后相加即可得解.
①当 AB 为等腰三角形 ABC 的底边时,符合条件的点 C 有 4 个;②当 AB 为等腰三角形 ABC 的一条腰时,符合条件的点 C 有 4 个.
∴ 符合条件的点 C 的个数是 8.
解析
【分析】
解决这道题要结合等腰三角形的判定条件，用分类讨论的思路避免漏解：首先分两种情况讨论，一是AB为等腰三角形的底边，二是AB为等腰三角形的腰；当AB为底边时，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，找AB垂直平分线上的格点即可；当AB为腰时，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，找弧经过的格点即可，最后统计两类格点的总个数。
【解析】
我们分两种情况寻找符合条件的格点C：
1. 当AB为等腰$△ ABC$的底边时：此时需满足$CA=CB$，即点C在AB的垂直平分线上，结合网格结构，可找到符合条件的格点C共4个；
2. 当AB为等腰$△ ABC$的腰时：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，弧经过的格点即为符合要求的C点，合计可找到4个符合条件的格点C。
将两种情况的数量相加：$4+4=8$，即符合条件的点C总共有8个。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形判定的应用，核心是运用分类讨论思想，按AB为底边、AB为腰两种情况逐一分析，解题时要熟悉网格的结构特征，计数时做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.6
解决这道题要结合等腰三角形的判定条件，用分类讨论的思路避免漏解：首先分两种情况讨论，一是AB为等腰三角形的底边，二是AB为等腰三角形的腰；当AB为底边时，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，找AB垂直平分线上的格点即可；当AB为腰时，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，找弧经过的格点即可，最后统计两类格点的总个数。
【解析】
我们分两种情况寻找符合条件的格点C：
1. 当AB为等腰$△ ABC$的底边时：此时需满足$CA=CB$，即点C在AB的垂直平分线上，结合网格结构，可找到符合条件的格点C共4个；
2. 当AB为等腰$△ ABC$的腰时：分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，弧经过的格点即为符合要求的C点，合计可找到4个符合条件的格点C。
将两种情况的数量相加：$4+4=8$，即符合条件的点C总共有8个。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查等腰三角形判定的应用，核心是运用分类讨论思想，按AB为底边、AB为腰两种情况逐一分析，解题时要熟悉网格的结构特征，计数时做到不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.6
4. [2025马鞍山八中期末] 已知$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，且$∠ BAD = 40°$. 点$E$是边$AC$上的一点，若$△ ADE$为等腰三角形，求$∠ EDC$的度数.
答案
4. 解:若△ADE 为等腰三角形,则有以下三种情况:
①如图1,若 ED = AE,则∠EDA = ∠DAE,
∵ AB = AC,AD 是 BC 边上的中线,
∴ ∠DAE = ∠BAD = 40°,AD ⊥ BC,
∴ ∠ADC = 90°,∠EDA = ∠DAE = 40°,
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠EDA = 90° - 40° = 50°.
②如图2,若 AD = AE,则∠ADE = ∠AED,
∵ ∠CAD = 40°,
∴ ∠ADE = 70°,
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠EDA = 90° - 70° = 20°.
③若 AD = DE,则∠DAE = ∠AED,
∴ ∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠AED = 180° - 40° - 40° = 100°,而点 E 是边 AC 上的一点,∠ADE 的最大值为 90°,不符合题意.
综上,∠EDC 的度数是 50°或 20°.
解析
【分析】
首先根据△ABC是等腰三角形、AD是BC边中线的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到AD既是∠BAC的角平分线，也是BC边上的高，因此能推出∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°。由于△ADE为等腰三角形但未明确腰和底，需要分三种情况讨论等腰的可能性：ED=AE、AD=AE、AD=DE，分别计算对应的∠EDC度数，再结合点E在AC上的位置限制排除不符合的情况，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，即∠DAE=∠BAD=40°，∠ADC=90°
△ADE为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 如图1，若ED=AE，根据等边对等角得∠EDA=∠DAE=40°
∴∠EDC=∠ADC - ∠EDA=90° - 40°=50°
② 如图2，若AD=AE，根据等边对等角得∠ADE=∠AED
由三角形内角和为180°，可得∠ADE=(180°-∠DAE)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∴∠EDC=∠ADC - ∠EDA=90° - 70°=20°
③ 若AD=DE，根据等边对等角得∠DAE=∠AED=40°
则∠ADE=180°-40°-40°=100°，由于点E在AC上，∠ADE最大为90°（E与C重合时），该情况不符合题意，舍去。
综上，∠EDC的度数为50°或20°。
【答案】
∠EDC的度数是50°或20°。
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.等腰三角形等边对等角
3.三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质的综合应用，解题核心是明确等腰三角形腰底不明确时需分类讨论，同时要结合图形中点的位置限制，排除不符合实际的情况，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先根据△ABC是等腰三角形、AD是BC边中线的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可得到AD既是∠BAC的角平分线，也是BC边上的高，因此能推出∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°。由于△ADE为等腰三角形但未明确腰和底，需要分三种情况讨论等腰的可能性：ED=AE、AD=AE、AD=DE，分别计算对应的∠EDC度数，再结合点E在AC上的位置限制排除不符合的情况，最终得到正确结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，即∠DAE=∠BAD=40°，∠ADC=90°
△ADE为等腰三角形，分三种情况讨论：
① 如图1
，若ED=AE，根据等边对等角得∠EDA=∠DAE=40°∴∠EDC=∠ADC - ∠EDA=90° - 40°=50°
② 如图2
，若AD=AE，根据等边对等角得∠ADE=∠AED由三角形内角和为180°，可得∠ADE=(180°-∠DAE)÷2=(180°-40°)÷2=70°
∴∠EDC=∠ADC - ∠EDA=90° - 70°=20°
③ 若AD=DE，根据等边对等角得∠DAE=∠AED=40°
则∠ADE=180°-40°-40°=100°，由于点E在AC上，∠ADE最大为90°（E与C重合时），该情况不符合题意，舍去。
综上，∠EDC的度数为50°或20°。
【答案】
∠EDC的度数是50°或20°。
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.等腰三角形等边对等角
3.三角形内角和定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质的综合应用，解题核心是明确等腰三角形腰底不明确时需分类讨论，同时要结合图形中点的位置限制，排除不符合实际的情况，避免出现多解、漏解的问题。
【难度系数】
0.6
