1. 如图,在$△ ABC$中,BD为$∠ ABC$的平分线,$AE ⊥ BD$,垂足为E,且$AB=5$,$AE=3$,$BC=11$,则$∠ BAE$与$∠ C$的关系为 ()

A.$∠ BAE = 3∠ C$
B.$∠ BAE + 2∠ C = 90°$
C.$∠ BAE = 2∠ C$
D.$\frac{1}{2}∠ BAE + ∠ C = 90°$

如图,延长 AE 交 BC 于点 F.
∵ BD为$∠ABC$的平分线,$AE ⊥ BD$,
∴ $∠ABE = ∠FBE$, $∠AEB = ∠FEB = 90°$.
在$△ABE$与$△FBE$中, $∠ABE = ∠FBE$, $BE = BE$, $∠AEB = ∠FEB$,
∴ $△ABE≌△FBE(ASA)$,
∴ $AB = BF = 5$,$AE = EF = 3$, $∠BAE = ∠BFE$,
∴ $AF = 6$.
∵ $BC = 11$,
∴ $CF = 6$,
∴ $AF = CF$,
∴ $∠CAF = ∠C$.
∵ $∠AFB = ∠CAF + ∠C = 2∠C$,
∴ $∠BAE = 2∠C$.

【分析】
遇到“角平分线+过角一边上的点作角平分线的垂线”的几何模型时，通常采用延长垂线交角的另一边的辅助线做法，利用角平分线的对称性构造全等三角形。本题首先延长AE交BC于点F，先证明△ABE和△FBE全等，得到对应边、对应角相等，再计算线段CF的长度，得到AF=CF推出等腰三角形，结合三角形外角的性质即可推导∠BAE和∠C的关系。
【解析】
解：如图，延长AE交BC于点F。
∵ BD为∠ABC的平分线，$AE ⊥ BD$，
∴ $∠ABE = ∠FBE$，$∠AEB = ∠FEB = 90°$。
在$△ABE$与$△FBE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠FBE \\BE = BE \\∠AEB = ∠FEB\end{array} $
∴ $△ABE≌△FBE(ASA)$，
∴ $AB = BF = 5$，$AE = EF = 3$， $∠BAE = ∠BFE$，
∴ $AF = AE+EF=6$。
∵ $BC = 11$，
∴ $CF = BC-BF=11-5=6$，
∴ $AF = CF$，
∴ $∠CAF = ∠C$。
∵ $∠BFE$是$△AFC$的外角，
∴ $∠BFE = ∠CAF + ∠C = 2∠C$，
又
∵ $∠BAE = ∠BFE$，
∴ $∠BAE = 2∠C$。
【答案】
C

【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题核心考查“角平分线+垂线”的经典辅助线构造方法，需要学生熟练掌握全等、等腰三角形以及三角形外角的相关性质，通过辅助线转移边角关系推导角的数量关系，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

2. [2025 重庆西南大学附中期中] 如图, 在$△ ABC$中, $AB=AC$, $∠ BAC=90°$, $CD$平分$∠ ACB$, $BE ⊥ CD$交$CD$的延长线于点$E$. 求证: $CD=2BE$.

证明:如图,延长 CA 交 BE 的延长线于点 F.
∵ $BE ⊥ CE$, $∠BAC = 90°$,
∴ $∠BED = ∠CEF = ∠BAC = ∠BAF = 90°$.
∵ CD 平分$∠ACB$,
∴ $∠1 = ∠2$.
在$△CEF$和$△CEB$中,
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\CE = CE, \\∠CEF = ∠CEB,\end{cases}$
∴ $△CEF≌△CEB(ASA)$,
∴ $EF = BE$,
∴ $BF = 2BE$.
∵ $∠4 = ∠5$,
∴ $∠1 = ∠3$(点拨:等角的余角相等).
在$△ACD$和$△ABF$中, $\begin{cases}∠1 = ∠3, \\AC = AB, \\∠CAD = ∠BAF,\end{cases}$
∴ $△ACD≌△ABF(ASA)$,
∴ $CD = BF$.
∴ $CD = 2BE$.

【分析】
要证明$CD=2BE$这类线段倍分关系问题，通常可将倍分关系转化为两条线段相等的问题求解。观察已知条件：CD是$∠ ACB$的角平分线，且$BE⊥ CD$，结合角平分线的对称性，可延长BE交CA的延长线于点F，先构造全等三角形得到$BF=2BE$，再证明CD与BF相等，即可推出结论。
【解析】
证明：如图，延长 CA 交 BE 的延长线于点 F。
$\because BE⊥ CE$，$∠ BAC = 90°$，
$\therefore ∠ BED = ∠ CEF = ∠ BAC = ∠ BAF = 90°$。
$\because CD$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$。
在$△ CEF$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 2, \\CE = CE, \\∠ CEF = ∠ CEB,\end{cases}$
$\therefore △ CEF≌△ CEB(\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF = BE$，即$BF = 2BE$。
$\because ∠ 4 = ∠ 5$（对顶角相等），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（等角的余角相等）。
在$△ ACD$和$△ ABF$中，
$\begin{cases}∠ 1 = ∠ 3, \\AC = AB, \\∠ CAD = ∠ BAF,\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ ABF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore CD = BF$。
结合$BF=2BE$可得$CD = 2BE$。
【答案】
证明:如图,延长 CA 交 BE 的延长线于点 F.
∵ $BE ⊥ CE$, $∠BAC = 90°$,
∴ $∠BED = ∠CEF = ∠BAC = ∠BAF = 90°$.
∵ CD 平分$∠ACB$,
∴ $∠1 = ∠2$.
在$△CEF$和$△CEB$中,
$\begin{cases}∠1 = ∠2, \\CE = CE, \\∠CEF = ∠CEB,\end{cases}$
∴ $△CEF≌△CEB(ASA)$,
∴ $EF = BE$,
∴ $BF = 2BE$.
∵ $∠4 = ∠5$,
∴ $∠1 = ∠3$(等角的余角相等).
在$△ACD$和$△ABF$中, $\begin{cases}∠1 = ∠3, \\AC = AB, \\∠CAD = ∠BAF,\end{cases}$
∴ $△ACD≌△ABF(ASA)$,
∴ $CD = BF$.
∴ $CD = 2BE$.

【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等
【点评】
本题是线段倍分证明的典型题型，解题关键是结合角平分线的性质作出合适的辅助线，将倍分关系转化为线段相等问题，再通过两次全等证明即可得到结论，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. [2026天津和平区期中]如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.
(1)求证:BD = CE.
(2)若AB =6 cm,AC =10 cm,求AD的长.

(1)证明:如图,连接 PB,PC.
∵ AP 平分$∠DAC$,$PD ⊥ AB$,$PE ⊥ AC$,
∴ $PD = PE$.
∵ PQ 垂直平分 BC,
∴ $PB = PC$.
在$Rt△BDP$和$Rt△CEP$中, $\begin{cases}PB = PC, \\PD = PE,\end{cases}$
∴ $Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)$,
∴ $BD = CE$.

(2)解:设$AD = x$ cm,
∴ $BD = AD + AB = (x + 6)$ cm.
在$Rt△PDA$和$Rt△PEA$中, $\begin{cases}AP = AP, \\PD = PE,\end{cases}$
∴ $Rt△PDA≌Rt△PEA(HL)$,
∴ $AE = AD = x$ cm,
∴ $CE = AC - AE = (10 - x)$ cm.
∵ $BD = CE$,
∴ $x + 6 = 10 - x$,解得 $x = 2$,
∴ AD 的长为 2 cm.

【分析】
(1)要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解。首先连接PB、PC，点P在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得PB=PC；又AP是∠DAC的角平分线，且PD⊥AB、PE⊥AC，根据角平分线的性质可得PD=PE，此时可通过HL判定Rt△BDP≌Rt△CEP，即可得到BD=CE。
(2)求AD的长度时，先通过HL证明Rt△PDA≌Rt△PEA，得到AD=AE，设AD的长为x cm，分别用含x的代数式表示出BD和CE的长度，再结合(1)中BD=CE的结论列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：如图，连接PB，PC。
∵ AP平分$∠DAC$，$PD ⊥ AB$，$PE ⊥ AC$，
∴ $PD = PE$。
∵ PQ垂直平分BC，
∴ $PB = PC$。
在$Rt△BDP$和$Rt△CEP$中, $\begin{cases}PB = PC, \\PD = PE,\end{cases}$
∴ $Rt△BDP≌Rt△CEP(HL)$，
∴ $BD = CE$。

(2)解：设$AD = x$ cm，
∴ $BD = AD + AB = (x + 6)$ cm。
在$Rt△PDA$和$Rt△PEA$中, $\begin{cases}AP = AP, \\PD = PE,\end{cases}$
∴ $Rt△PDA≌Rt△PEA(HL)$，
∴ $AE = AD = x$ cm，
∴ $CE = AC - AE = (10 - x)$ cm。
∵ $BD = CE$，
∴ $x + 6 = 10 - x$，解得 $x = 2$，
∴ AD的长为2 cm。
【答案】
(1)证明见解析，$BD=CE$成立；
(2)$AD=2\mathrm{cm}$

【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，第二问通过设未知数列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.7