4. [2026吴忠三中期中] 如图1,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 120°$,$AD ⊥ BC$,垂足为点$D$,且$AB + BD = DC$,求$∠ C$的度数.

小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程(如下):
解:如图2,在线段$DC$上取一点$E$,使$DE = BD$,连接$AE$.
$\because AD ⊥ BC$,$DE = BD$,$\therefore AD$垂直平分$BE$,
$\therefore AB = AE$(依据1),$\therefore ∠ B = ∠ AEB$(依据2).
$\because AB + BD = DC$,$\therefore AE + DE = DC$.
又$\because DE + EC = DC$,$\therefore AE = EC$,
$\therefore ∠ C = ∠ EAC$,$\therefore ∠ B = ∠ AEB = ∠ C + ∠ EAC = 2∠ C$,
$\because ∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$,$∠ BAC = 120°$,
$\therefore 3∠ C + 120° = 180°$,$\therefore ∠ C = 20°$.
(1)依据1: ;
依据2: .
(2)看完小亮的解题过程,小创提出了自己的想法:如图3,延长$DB$到点$E$,使$BE = AB$,连接$AE$.请根据小创的思路写出完整的解题步骤.

(1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 等边对等角
(2)如题图3,延长 DB 到点 E,使$BE = AB$,连接 AE,则$∠E = ∠EAB$.
∵ $AB + BD = CD$,$BE + BD = ED$,
∴ $ED = CD$.
又
∵ $AD ⊥ BC$,
∴ AD 垂直平分 EC,
∴ $AE = AC$,
∴ $∠E = ∠C$.
∵ $∠E + ∠EAB + ∠BAC + ∠C = 180°$,$∠BAC = 120°$,
∴ $3∠C + 120° = 180°$,
∴ $∠C = 20°$.

【分析】
(1) 第一问考查几何定理的应用识别：首先AD垂直平分BE，点A在BE的垂直平分线上，因此AB=AE，对应线段垂直平分线的性质；得到AB=AE后，等腰三角形两底角相等，因此∠B=∠AEB，对应等腰三角形的性质，回忆对应定理内容填写即可。
(2) 第二问已给出辅助线思路，按步骤推导即可：先根据辅助线构造的等腰△ABE得到角的等量关系；再结合已知AB+BD=DC，把AB替换为BE推出ED=CD，结合AD⊥BC可得AD是EC的垂直平分线，得到AE=AC，进一步推出角的等量关系；最后利用三角形内角和定理，把所有未知角用∠C表示，代入已知∠BAC的度数即可求解。
【解析】
(1) 依据1是线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；依据2是等腰三角形的性质：等边对等角。
(2) 按照小创的思路解题：
如题图3，延长 DB 到点 E，使$BE = AB$，连接 AE，根据等边对等角可得$∠E = ∠EAB$。
∵ $AB + BD = CD$，$BE + BD = ED$，
∴ $ED = CD$。
又
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ AD 垂直平分 EC，
根据线段垂直平分线的性质可得$AE = AC$，
∴ $∠E = ∠C$。
∵ $∠E + ∠EAB + ∠BAC + ∠C = 180°$，$∠BAC = 120°$，
代入角的等量关系得$3∠C + 120° = 180°$，
解得$∠C = 20°$。
【答案】
(1) 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 等边对等角
(2) 延长 DB 到点 E,使$BE = AB$,连接 AE,则$∠E = ∠EAB$.
∵ $AB + BD = CD$,$BE + BD = ED$,
∴ $ED = CD$.
∵ $AD ⊥ BC$,
∴ AD 垂直平分 EC,
∴ $AE = AC$,
∴ $∠E = ∠C$.
∵ $∠E + ∠EAB + ∠BAC + ∠C = 180°$,$∠BAC = 120°$,
∴ $3∠C + 120° = 180°$,
∴ $∠C = 20°$.
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的构造等腰三角形求解角度的几何题，两种解题思路分别对应截长、补短的辅助线构造方法，能够将分散的线段和条件转化为等线段关系，再结合相关几何性质推导角的等量关系求解，有利于培养辅助线构造思维和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7

5. 》一题多解 》教材P159 T5变式 如图，D是$△ ABC$的边AB上一点，在AC的延长线上取$CE = BD$，连接DE交BC于点F。若$DF = EF$，求证：$△ ABC$为等腰三角形。

证明:
通解 如图,过点 D 作$DM// AE$交 BC 于点 M,
则$∠DMB = ∠ACB$,$∠FDM = ∠E$.
在$△DMF$和$△ECF$中, $\begin{cases}∠FDM = ∠E, \\DF = EF, \\∠DFM = ∠EFC,\end{cases}$
∴ $△DMF≌△ECF(ASA)$,
∴ $DM = EC$.
∵ $CE = BD$,
∴ $BD = DM$,
∴ $∠B = ∠DMB$,
∴ $∠ACB = ∠B$,
∴ $AB = AC$,
∴ $△ABC$为等腰三角形.

另解一 如图,延长 BC 至点 N,使$FN = BF$,
在$△DFB$和$△EFN$中, $\begin{cases}DF = EF, \\∠DFB = ∠EFN, \\BF = NF,\end{cases}$
∴ $△DFB≌△EFN(SAS)$,
∴ $BD = NE$,$∠B = ∠N$.
又
∵ $CE = BD$,
∴ $CE = NE$,
∴ $∠N = ∠NCE$,
∴ $∠B = ∠NCE$.
又
∵ $∠ACB = ∠NCE$,
∴ $∠B = ∠ACB$,
∴ $AB = AC$,
∴ $△ABC$为等腰三角形.

另解二 如图,过点 D 作$DG ⊥ BC$于点 G,过点 E 作$EH ⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 H,则$∠DGF = ∠EHF = 90°$.
在$△DGF$和$△EHF$中, $\begin{cases}∠DGF = ∠EHF, \\∠DFG = ∠EFH, \\DF = EF,\end{cases}$
∴ $△DGF≌△EHF(AAS)$,
∴ $DG = EH$.
在$Rt△BDG$和$Rt△CEH$中, $\begin{cases}BD = CE, \\DG = EH,\end{cases}$
∴ $Rt△BDG≌Rt△CEH(HL)$,
∴ $∠B = ∠HCE$.
又
∵ $∠HCE = ∠ACB$,
∴ $∠B = ∠ACB$,
∴ $AB = AC$,
∴ $△ABC$为等腰三角形.

【分析】
要证明△ABC为等腰三角形，核心是证明∠B=∠ACB。已知CE=BD、DF=EF（F为DE中点），我们可以通过构造全等三角形，将已知的边相等条件转化为角的等量关系：可以过D作AC的平行线构造全等三角形，将CE转化为和BD相等的线段，得到等腰三角形推角相等；也可以延长BC构造全等三角形转化边角；还可以作垂线构造直角三角形全等推角相等，最终都能推导得到∠B=∠ACB。
【解析】
我们以通解为例梳理解题步骤：
1. 作辅助线：过点D作$DM// AE$交BC于点M，根据平行线的性质可得$∠DMB = ∠ACB$，$∠FDM = ∠E$。
2. 证明三角形全等：在$△DMF$和$△ECF$中，$∠FDM = ∠E$，$DF = EF$，对顶角$∠DFM = ∠EFC$，根据ASA可证$△DMF≌△ECF$，由全等性质得$DM = EC$。
3. 推导等腰三角形：已知$CE=BD$，等量代换得$BD=DM$，因此$∠B=∠DMB$。
4. 推导△ABC为等腰三角形：结合$∠DMB = ∠ACB$，等量代换得$∠B=∠ACB$，因此$AB=AC$，△ABC为等腰三角形。
另外两种解法均是通过构造全等三角形转化边角关系，思路一致，具体过程见答案。
【答案】
证明:
通解 如图,过点 D 作$DM// AE$交 BC 于点 M,
则$∠DMB = ∠ACB$,$∠FDM = ∠E$.
在$△DMF$和$△ECF$中, $\begin{cases}∠FDM = ∠E, \\DF = EF, \\∠DFM = ∠EFC,\end{cases}$
∴ $△DMF≌△ECF(ASA)$,
∴ $DM = EC$.
∵ $CE = BD$,
∴ $BD = DM$,
∴ $∠B = ∠DMB$,
∴ $∠ACB = ∠B$,
∴ $AB = AC$,
∴ $△ABC$为等腰三角形.

另解一 如图,延长 BC 至点 N,使$FN = BF$,
在$△DFB$和$△EFN$中, $\begin{cases}DF = EF, \\∠DFB = ∠EFN, \\BF = NF,\end{cases}$
∴ $△DFB≌△EFN(SAS)$,
∴ $BD = NE$,$∠B = ∠N$.
又
∵ $CE = BD$,
∴ $CE = NE$,
∴ $∠N = ∠NCE$,
∴ $∠B = ∠NCE$.
又
∵ $∠ACB = ∠NCE$,
∴ $∠B = ∠ACB$,
∴ $AB = AC$,
∴ $△ABC$为等腰三角形.

另解二 如图,过点 D 作$DG ⊥ BC$于点 G,过点 E 作$EH ⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 H,则$∠DGF = ∠EHF = 90°$.
在$△DGF$和$△EHF$中, $\begin{cases}∠DGF = ∠EHF, \\∠DFG = ∠EFH, \\DF = EF,\end{cases}$
∴ $△DGF≌△EHF(AAS)$,
∴ $DG = EH$.
在$Rt△BDG$和$Rt△CEH$中, $\begin{cases}BD = CE, \\DG = EH,\end{cases}$
∴ $Rt△BDG≌Rt△CEH(HL)$,
∴ $∠B = ∠HCE$.
又
∵ $∠HCE = ∠ACB$,
∴ $∠B = ∠ACB$,
∴ $AB = AC$,
∴ $△ABC$为等腰三角形.

【知识点】
全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型一题多解题型，解题核心是结合已知的边相等、中点条件，通过作不同的辅助线构造全等三角形，实现边角关系的转化，最终推导得到待证三角形的两个底角相等。多种解法可以帮助拓宽辅助线构造的思路，加深对全等三角形、等腰三角形性质的理解。
【难度系数】
0.6