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6. [2026合肥四十五中期末]已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE
(3)【拓展结论,设计新题】
如图3,在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE
=
DB.(填“＞”“＜”或“=”)(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE
=
DB(填“＞”“＜”或“=”).理由:过点E作EF//BC,交AC于点F.(请你补全上述解答过程)(3)【拓展结论,设计新题】
如图3,在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.
答案
(1)= 【解法提示】
∵ $ED = EC$,
∴ $∠D = ∠ECD$.
∵ $△ABC$是等边三角形,
∴ $∠ACB = ∠ABC = 60°$.
∵ E 为 AB 的中点,
∴ $∠ECD = \frac{1}{2}∠ACB = 30°$,$AE = BE$,
∴ $∠D = 30°$.
∵ $∠ABC = ∠D + ∠DEB$,
∴ $∠DEB = ∠ABC - ∠D = 30°$,
∴ $∠DEB = ∠D$,
∴ $DB = BE$,
∴ $AE = DB$.
(2)=
解答过程:如图,过点 E 作$EF// BC$,交 AC 于点 F,
则$∠AEF = ∠ABC$,$∠AFE = ∠ACB$,$∠FEC = ∠ECD$,
∵ $△ABC$是等边三角形,
∴ $AB = AC$,$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$,
∴ $∠AEF = ∠AFE = ∠A = 60°$,$∠DBE = 120°$,
∴ $△AEF$为等边三角形,$∠EFC = 120°$,
∴ $AE = EF$,$∠DBE = ∠EFC = 120°$,
∵ $ED = EC$,
∴ $∠D = ∠ECD$,
∴ $∠D = ∠FEC$.
在$△DBE$和$△EFC$中,
$\begin{cases}∠DBE = ∠EFC, \\∠D = ∠FEC, \\ED = CE,\end{cases}$
∴ $△DBE≌△EFC(AAS)$,
∴ $DB = EF$,
∴ $AE = DB$.
(3)如图,过点 E 作$EF// BC$,交 AC 的延长线于点 F,
则$∠AEF = ∠ABC$,$∠F = ∠ACB$,$∠FEC = ∠ECD$.
∵ $△ABC$是等边三角形,
∴ $AB = AC$,$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$,
∴ $∠AEF = ∠F = ∠A = 60°$,$∠DBE = 60°$,
∴ $△AEF$为等边三角形,
∴ $EF = AE = 2$,$∠DBE = ∠F = 60°$,
∵ $ED = EC$,
∴ $∠D = ∠ECD$,
∴ $∠D = ∠FEC$.
在$△DBE$和$△EFC$中,
$\begin{cases}∠DBE = ∠F, \\∠D = ∠FEC, \\ED = CE,\end{cases}$
∴ $△DBE≌△EFC(AAS)$,
∴ $DB = EF = 2$,
∵ $BC = 1$,
∴ $CD = BC + DB = 1 + 2 = 3$.
解析
【分析】
(1) 第一问是特殊情形，E为等边△ABC边AB中点，先利用等边三角形三线合一性质得到∠ECD=30°，再结合ED=EC得∠D=30°，通过三角形外角性质推出∠DEB=∠D，得DB=BE，结合AE=BE即可推导结论。
(2) 第二问是一般情形，根据题目提示过E作EF//BC，先由平行线性质和等边三角形性质证△AEF是等边三角形，得AE=EF，再结合ED=EC推导角相等，证明△DBE和△EFC全等，得DB=EF，即可推出AE与DB的关系。
(3) 第三问E在直线AB上，类比第二问的思路，过E作EF//BC交AC延长线于F，同样构造等边△AEF，证△DBE≌△EFC得到DB的长度，再结合BC长度即可求出CD。
【解析】
(1)
∵ $ED = EC$，
∴ $∠D = ∠ECD$。
∵ $△ABC$是等边三角形，
∴ $∠ACB = ∠ABC = 60°$。
∵ E 为 AB 的中点，
∴ $∠ECD = \frac{1}{2}∠ACB = 30°$，$AE = BE$，
∴ $∠D = 30°$。
∵ $∠ABC = ∠D + ∠DEB$，
∴ $∠DEB = ∠ABC - ∠D = 30°$，
∴ $∠DEB = ∠D$，
∴ $DB = BE$，
∴ $AE = DB$。
(2) 过点 E 作$EF// BC$，交 AC 于点 F，
则$∠AEF = ∠ABC$，$∠AFE = ∠ACB$，$∠FEC = ∠ECD$，
∵ $△ABC$是等边三角形，
∴ $AB = AC$，$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$，
∴ $∠AEF = ∠AFE = ∠A = 60°$，$∠DBE = 120°$，
∴ $△AEF$为等边三角形，$∠EFC = 120°$，
∴ $AE = EF$，$∠DBE = ∠EFC = 120°$，
∵ $ED = EC$，
∴ $∠D = ∠ECD$，
∴ $∠D = ∠FEC$。
在$△DBE$和$△EFC$中，
$\begin{cases}∠DBE = ∠EFC, \\∠D = ∠FEC, \\ED = CE,\end{cases}$
∴ $△DBE≌△EFC(AAS)$，
∴ $DB = EF$，
∴ $AE = DB$。
(3) 过点 E 作$EF// BC$，交 AC 的延长线于点 F，
则$∠AEF = ∠ABC$，$∠F = ∠ACB$，$∠FEC = ∠ECD$。
∵ $△ABC$是等边三角形，
∴ $AB = AC$，$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$，
∴ $∠AEF = ∠F = ∠A = 60°$，$∠DBE = 60°$，
∴ $△AEF$为等边三角形，
∴ $EF = AE = 2$，$∠DBE = ∠F = 60°$，
∵ $ED = EC$，
∴ $∠D = ∠ECD$，
∴ $∠D = ∠FEC$。
在$△DBE$和$△EFC$中，
$\begin{cases}∠DBE = ∠F, \\∠D = ∠FEC, \\ED = CE,\end{cases}$
∴ $△DBE≌△EFC(AAS)$，
∴ $DB = EF = 2$，
∵ $BC = 1$，
∴ $CD = BC + DB = 1 + 2 = 3$。
【答案】
(1) =
(2) =
(3) 3
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，核心考查等边三角形、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与应用，通过作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键，有助于提升几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问是特殊情形，E为等边△ABC边AB中点，先利用等边三角形三线合一性质得到∠ECD=30°，再结合ED=EC得∠D=30°，通过三角形外角性质推出∠DEB=∠D，得DB=BE，结合AE=BE即可推导结论。
(2) 第二问是一般情形，根据题目提示过E作EF//BC，先由平行线性质和等边三角形性质证△AEF是等边三角形，得AE=EF，再结合ED=EC推导角相等，证明△DBE和△EFC全等，得DB=EF，即可推出AE与DB的关系。
(3) 第三问E在直线AB上，类比第二问的思路，过E作EF//BC交AC延长线于F，同样构造等边△AEF，证△DBE≌△EFC得到DB的长度，再结合BC长度即可求出CD。
【解析】
(1)
∵ $ED = EC$，
∴ $∠D = ∠ECD$。
∵ $△ABC$是等边三角形，
∴ $∠ACB = ∠ABC = 60°$。
∵ E 为 AB 的中点，
∴ $∠ECD = \frac{1}{2}∠ACB = 30°$，$AE = BE$，
∴ $∠D = 30°$。
∵ $∠ABC = ∠D + ∠DEB$，
∴ $∠DEB = ∠ABC - ∠D = 30°$，
∴ $∠DEB = ∠D$，
∴ $DB = BE$，
∴ $AE = DB$。
(2) 过点 E 作$EF// BC$，交 AC 于点 F，
则$∠AEF = ∠ABC$，$∠AFE = ∠ACB$，$∠FEC = ∠ECD$，
∵ $△ABC$是等边三角形，
∴ $AB = AC$，$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$，
∴ $∠AEF = ∠AFE = ∠A = 60°$，$∠DBE = 120°$，
∴ $△AEF$为等边三角形，$∠EFC = 120°$，
∴ $AE = EF$，$∠DBE = ∠EFC = 120°$，
∵ $ED = EC$，
∴ $∠D = ∠ECD$，
∴ $∠D = ∠FEC$。
在$△DBE$和$△EFC$中，
$\begin{cases}∠DBE = ∠EFC, \\∠D = ∠FEC, \\ED = CE,\end{cases}$
∴ $△DBE≌△EFC(AAS)$，
∴ $DB = EF$，
∴ $AE = DB$。
(3) 过点 E 作$EF// BC$，交 AC 的延长线于点 F，
则$∠AEF = ∠ABC$，$∠F = ∠ACB$，$∠FEC = ∠ECD$。
∵ $△ABC$是等边三角形，
∴ $AB = AC$，$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$，
∴ $∠AEF = ∠F = ∠A = 60°$，$∠DBE = 60°$，
∴ $△AEF$为等边三角形，
∴ $EF = AE = 2$，$∠DBE = ∠F = 60°$，
∵ $ED = EC$，
∴ $∠D = ∠ECD$，
∴ $∠D = ∠FEC$。
在$△DBE$和$△EFC$中，
$\begin{cases}∠DBE = ∠F, \\∠D = ∠FEC, \\ED = CE,\end{cases}$
∴ $△DBE≌△EFC(AAS)$，
∴ $DB = EF = 2$，
∵ $BC = 1$，
∴ $CD = BC + DB = 1 + 2 = 3$。
【答案】
(1) =
(2) =
(3) 3
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题遵循从特殊到一般的探究逻辑，核心考查等边三角形、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与应用，通过作平行线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键，有助于提升几何辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
7. [2026南宁翠竹实验学校月考]徐老师给爱好学习的小敏和小洁提出这样一个问题:如图1,在$△ ABC$中,$∠ B = 2∠ C$,AD是$∠ BAC$的平分线.求证:$AB + BD = AC$.
小敏的证明思路:在AC上截取$AE = AB$,连接DE.(如图2)
小洁的证明思路:延长CB至点E,使$BE = AB$,连接AE.(如图3)
请你任意选择一种思路完成证明.
小敏的证明思路:在AC上截取$AE = AB$,连接DE.(如图2)
小洁的证明思路:延长CB至点E,使$BE = AB$,连接AE.(如图3)
请你任意选择一种思路完成证明.
答案
解:
小敏的证明思路:如图1,在 AC 上截取$AE = AB$,连接 DE.
∵ AD 是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAD = ∠EAD$.
在$△ABD$和$△AED$中, $\begin{cases}AB = AE, \\∠BAD = ∠EAD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴ $△ABD≌△AED(SAS)$,
∴ $BD = DE$,$∠B = ∠AED$.
∵ $∠AED = ∠EDC + ∠C$,$∠B = 2∠C$,
∴ $∠EDC = ∠C$,
∴ $DE = EC$,
∴ $AB + BD = AE + DE = AE + CE = AC$.
小洁的证明思路:如图2,延长 CB 至点 E,使$BE = AB$,连接 AE,则$∠E = ∠BAE$.
∵ $∠ABC = ∠E + ∠BAE$,
∴ $∠ABC = 2∠E$.
∵ $∠ABC = 2∠C$,
∴ $∠E = ∠C$,
∴ $AE = AC$.
∵ AD 是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAD = ∠DAC$.
∵ $∠ADE = ∠DAC + ∠C$,$∠DAE = ∠BAD + ∠BAE$,$∠BAE = ∠E = ∠C$,
∴ $∠ADE = ∠DAE$,
∴ $AE = DE = AC$,
∴ $AB + BD = BE + BD = DE = AC$.
解析
【分析】
要证明$AB + BD = AC$，属于线段和差类证明问题，常用“截长法”或“补短法”求解。若选小敏的截长思路：先在较长线段AC上截取一段等于AB，结合AD是角平分线的条件，可构造全等三角形，将BD转化为DE，再利用$∠B=2∠C$的条件推导$△ EDC$为等腰三角形，得到$DE=EC$，即可完成线段和的转化；若选小洁的补短思路：延长CB补出$BE=AB$，把$AB+BD$转化为ED，再通过角的倍数关系推导等腰三角形，证明$ED=AC$即可。
【解析】
我们选择小敏的思路证明如下：
在AC上截取$AE = AB$，连接DE。
∵AD是$∠BAC$的平分线，
∴$∠BAD = ∠EAD$。
在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE \\∠BAD = ∠EAD \\AD = AD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
∴$BD = DE$，$∠B = ∠AED$。
根据三角形外角性质，$∠AED = ∠EDC + ∠C$，
又
∵$∠B = 2∠C$，
∴$2∠C = ∠EDC + ∠C$，即$∠EDC = ∠C$，
∴$DE = EC$，
∴$AB + BD = AE + DE = AE + CE = AC$，得证。
（若选择小洁的思路，推理逻辑类似，通过补短构造等腰三角形，逐步转化线段关系即可证明）
【答案】
小敏的证明思路:如图1,在 AC 上截取$AE = AB$,连接 DE.
∵ AD 是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAD = ∠EAD$.
在$△ABD$和$△AED$中, $\begin{cases}AB = AE, \\∠BAD = ∠EAD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴ $△ABD≌△AED(SAS)$,
∴ $BD = DE$,$∠B = ∠AED$.
∵ $∠AED = ∠EDC + ∠C$,$∠B = 2∠C$,
∴ $∠EDC = ∠C$,
∴ $DE = EC$,
∴ $AB + BD = AE + DE = AE + CE = AC$.
小洁的证明思路:如图2,延长 CB 至点 E,使$BE = AB$,连接 AE,则$∠E = ∠BAE$.
∵ $∠ABC = ∠E + ∠BAE$,
∴ $∠ABC = 2∠E$.
∵ $∠ABC = 2∠C$,
∴ $∠E = ∠C$,
∴ $AE = AC$.
∵ AD 是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAD = ∠DAC$.
∵ $∠ADE = ∠DAC + ∠C$,$∠DAE = ∠BAD + ∠BAE$,$∠BAE = ∠E = ∠C$,
∴ $∠ADE = ∠DAE$,
∴ $AE = DE = AC$,
∴ $AB + BD = BE + BD = DE = AC$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心用到截长补短的辅助线构造方法，解题时结合角平分线的条件构造全等三角形，再利用已知角的倍数关系推导等腰三角形，实现线段的等量转化即可得证，能很好地锻炼几何辅助线构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明$AB + BD = AC$，属于线段和差类证明问题，常用“截长法”或“补短法”求解。若选小敏的截长思路：先在较长线段AC上截取一段等于AB，结合AD是角平分线的条件，可构造全等三角形，将BD转化为DE，再利用$∠B=2∠C$的条件推导$△ EDC$为等腰三角形，得到$DE=EC$，即可完成线段和的转化；若选小洁的补短思路：延长CB补出$BE=AB$，把$AB+BD$转化为ED，再通过角的倍数关系推导等腰三角形，证明$ED=AC$即可。
【解析】
我们选择小敏的思路证明如下：
在AC上截取$AE = AB$，连接DE。
∵AD是$∠BAC$的平分线，
∴$∠BAD = ∠EAD$。
在$△ ABD$和$△ AED$中：
$\begin{cases}AB = AE \\∠BAD = ∠EAD \\AD = AD\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ AED(\mathrm{SAS})$，
∴$BD = DE$，$∠B = ∠AED$。
根据三角形外角性质，$∠AED = ∠EDC + ∠C$，
又
∵$∠B = 2∠C$，
∴$2∠C = ∠EDC + ∠C$，即$∠EDC = ∠C$，
∴$DE = EC$，
∴$AB + BD = AE + DE = AE + CE = AC$，得证。
（若选择小洁的思路，推理逻辑类似，通过补短构造等腰三角形，逐步转化线段关系即可证明）
【答案】
小敏的证明思路:如图1,在 AC 上截取$AE = AB$,连接 DE.
∵ AD 是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAD = ∠EAD$.
在$△ABD$和$△AED$中, $\begin{cases}AB = AE, \\∠BAD = ∠EAD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴ $△ABD≌△AED(SAS)$,
∴ $BD = DE$,$∠B = ∠AED$.
∵ $∠AED = ∠EDC + ∠C$,$∠B = 2∠C$,
∴ $∠EDC = ∠C$,
∴ $DE = EC$,
∴ $AB + BD = AE + DE = AE + CE = AC$.
小洁的证明思路:如图2,延长 CB 至点 E,使$BE = AB$,连接 AE,则$∠E = ∠BAE$.
∵ $∠ABC = ∠E + ∠BAE$,
∴ $∠ABC = 2∠E$.
∵ $∠ABC = 2∠C$,
∴ $∠E = ∠C$,
∴ $AE = AC$.
∵ AD 是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAD = ∠DAC$.
∵ $∠ADE = ∠DAC + ∠C$,$∠DAE = ∠BAD + ∠BAE$,$∠BAE = ∠E = ∠C$,
∴ $∠ADE = ∠DAE$,
∴ $AE = DE = AC$,
∴ $AB + BD = BE + BD = DE = AC$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心用到截长补短的辅助线构造方法，解题时结合角平分线的条件构造全等三角形，再利用已知角的倍数关系推导等腰三角形，实现线段的等量转化即可得证，能很好地锻炼几何辅助线构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
