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1 [2026云南保山期末]二次函数$y=ax^2 -3x +2$的图象与x轴有两个交点，则a可以是（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. B 【解析】根据题意,得 $\Delta = (-3)^2 -4a × 2＞0$ 且 $a≠0$,解得 $a＜\frac{9}{8}$ 且 $a≠0$,故选 B.
2[2026浙江湖州期中]若函数$y=(k-1)x^2+3x-2$的图象与x轴只有一个公共点，则实数k的值是
1或$-\frac{1}{8}$
.答案
2. $1或-\frac{1}{8}$ 【解析】当 $k-1=0$,即 $k=1$ 时,函数为$y=3x-2$,此时函数的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,$\therefore k=1$ 满足题意; 当 $k-1 ≠ 0$ 时,$\because$ 函数 $y=(k-1) x^{2}+3 x-2$ 的图象与 $x$ 轴只有一个公共点,$\therefore \Delta=3^{2}-4(k-1) ×(-2)=0$, 解得 $k=-\frac{1}{8}$. 综上所述, 实数 $k$ 的值是 1 或 $-\frac{1}{8}$. 故答案为 1 或 $-\frac{1}{8}$.
3[2026湖北武汉期中]已知抛物线:$y = kx^2 - 3x - 1$.
(1)若抛物线与$x$轴只有一个公共点,则$k$的值为
(2)若抛物线交$x$轴于点$A(x_1,0),B(x_2,0)$,当$x_1+x_2=-3$时.
①$k$的值为
②若直线$y=n$与该抛物线有公共点,求$n$的取值范围.
(1)若抛物线与$x$轴只有一个公共点,则$k$的值为
$-\frac{9}{4}$
.(2)若抛物线交$x$轴于点$A(x_1,0),B(x_2,0)$,当$x_1+x_2=-3$时.
①$k$的值为
$-1$
,抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{3}{2}$
;②若直线$y=n$与该抛物线有公共点,求$n$的取值范围.
答案
3.【解】(1) 根据题意得 $k ≠ 0$ 且 $\Delta=(-3)^{2}-4 k ×(-1)=0$, 解得 $k=-\frac{9}{4}$. 故答案为 $-\frac{9}{4}$.
(2)①$\because$ 抛物线交 $x$ 轴于点 $A(x_1,0),B(x_2,0)$,$\therefore$ 一元二次方程 $k x^{2}-3 x-1=0$ 的两个根为 $x_1$,$x_2$. $\because x_1+x_2=-\frac{-3}{k}=-3$,$\therefore k=-1$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{-3}{2 k}=-\frac{3}{2}$. 故答案为 $-1$,$x=-\frac{3}{2}$.
②$\because$ 抛物线 $y=-x^{2}-3 x-1$ 与直线 $y=n$ 有公共点,$\therefore$ 一元二次方程 $-x^{2}-3 x-1=n$ 有实数解, 整理得 $x^{2}+3 x+n+1=0$,$\therefore \Delta=3^{2}-4(n+1) ≥ 0$, 解得 $n ≤ \frac{5}{4}$, 即 $n$ 的取值范围为 $n ≤ \frac{5}{4}$.
(2)①$\because$ 抛物线交 $x$ 轴于点 $A(x_1,0),B(x_2,0)$,$\therefore$ 一元二次方程 $k x^{2}-3 x-1=0$ 的两个根为 $x_1$,$x_2$. $\because x_1+x_2=-\frac{-3}{k}=-3$,$\therefore k=-1$,$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{-3}{2 k}=-\frac{3}{2}$. 故答案为 $-1$,$x=-\frac{3}{2}$.
②$\because$ 抛物线 $y=-x^{2}-3 x-1$ 与直线 $y=n$ 有公共点,$\therefore$ 一元二次方程 $-x^{2}-3 x-1=n$ 有实数解, 整理得 $x^{2}+3 x+n+1=0$,$\therefore \Delta=3^{2}-4(n+1) ≥ 0$, 解得 $n ≤ \frac{5}{4}$, 即 $n$ 的取值范围为 $n ≤ \frac{5}{4}$.
4[2026河南安阳期末]在平面直角坐标系内,若移动二次函数$y=-(x-2023)(x-2025)+5$的图象,使其与x轴交于两点,且这两点的距离为2个单位,则移动方式可为(
A.向上平移5个单位
B.向左平移2个单位
C.向下平移5个单位
D.向右平移2个单位
C
)A.向上平移5个单位
B.向左平移2个单位
C.向下平移5个单位
D.向右平移2个单位
答案
4. C 【解析】把二次函数 $y=-(x-2023)(x-2025)+5$ 的图象向下平移 5 个单位得 $y=-(x-2023)(x-2025)$, 当 $y=0$ 时,$-(x-2023)(x-2025)=0$, 解得 $x_1=2023$,$x_2=2025$,$\therefore$ 平移后的抛物线 $y=-(x-2023)(x-2025)$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(2023,0)$,$(2025,0)$,$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴的两交点之间的距离为 $2025-2023=2$,$\therefore$ 移动方式为向下平移 5 个单位. 故选 C.
5[2026天津和平区期中]一名男生推铅球，铅球行进高度$y$(单位:$m$)与水平距离$x$(单位:$m$)之间的关系是$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$，则推出铅球的水平距离为（
A.$12$ m
B.$10$ m
C.$4$ m
D.$3$ m
B
）A.$12$ m
B.$10$ m
C.$4$ m
D.$3$ m
答案
5. B 【解析】令 $y=0$,得 $-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}=0$, 则 $x^{2}-8 x-20=0$, 即 $(x-10)(x+2)=0$, 解得 $x_1=10$,$x_2=-2$(舍去),$\therefore$ 推出铅球的水平距离为 10 m, 故选 B.
6[2026江西南昌期中]定义:由两条与x轴有相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”.抛物线$y_1=\frac{1}{2}(x-1)^2-2$与抛物线$y_2=ax^2+bx+c(a＞\frac{1}{2})$组成一个如图所示的“笑口线”.
(1)求出点M,N的坐标;
(2)求$\frac{a}{c}$的值.
(1)求出点M,N的坐标;
(2)求$\frac{a}{c}$的值.
答案
6.【解】(1) 当 $y_1=0$ 时, $\frac{1}{2}(x-1)^2-2=0$, 解得 $x_1=-1$,$x_2=3$,$\therefore M(-1,0)$,$N(3,0)$.
(2)$\because$ 抛物线 $y_2=ax^2+bx+c(a＞\frac{1}{2})$ 与 $x$ 轴的交点为 $M(-1,0)$,$N(3,0)$,$\therefore$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1=-1$,$x_2=3$. $\because x_1x_2=\frac{c}{a}$,$\therefore \frac{c}{a}=-1 × 3=-3$,$\therefore \frac{a}{c}=-\frac{1}{3}$.
(2)$\because$ 抛物线 $y_2=ax^2+bx+c(a＞\frac{1}{2})$ 与 $x$ 轴的交点为 $M(-1,0)$,$N(3,0)$,$\therefore$ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1=-1$,$x_2=3$. $\because x_1x_2=\frac{c}{a}$,$\therefore \frac{c}{a}=-1 × 3=-3$,$\therefore \frac{a}{c}=-\frac{1}{3}$.
