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1[2026云南昆明期中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，函数值y与自变量x的部分对应值如表所示，则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根为（
A.$x_1=x_2=-3$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-3,x_2=-2$
D.$x_1=-3,x_2=3$
B
）A.$x_1=x_2=-3$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-3,x_2=-2$
D.$x_1=-3,x_2=3$
答案
【解析】观察表格可知抛物线对称轴为直线x=-1，当x=-3时，y=0，
∴x=1时，y=0，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-3,x_2=1$。故选B.
∴x=1时，y=0，
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是$x_1=-3,x_2=1$。故选B.
2 新考法[2026江苏徐州期中]如图,已知二次函数$y=a(x+1)(x-3)$的图象经过点$A(0,3)$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2 -2ax=3a+3$的根是（
A.$x_1=0,x_2=2$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
（第2题图）
（第4题图）
A
）A.$x_1=0,x_2=2$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
（第2题图）
（第4题图）
答案
【解析】
∵抛物线$y=a(x+1)(x-3)=ax^2-2ax-3a$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴点A(0,3)关于抛物线对称轴对称的点为(2,3),
∴抛物线$y=ax^2-2ax-3a$与直线$y=3$的交点横坐标为0,2,
∴关于x的一元二次方程$ax^2-2ax=3a+3$的根为$x_1=0,x_2=2$. 故选A.
思路分析
对 $ax^2 - 2ax = 3a+3$ 进行整理得 $ax^2 -2ax-3a=3$,即求二次函数$y=a(x+1)(x-3)$函数值为3时自变量的值.
技巧点拨
画出简图,运用数形结合思想解决此题更加简单,关键是把方程的根转化为抛物线和直线的交点的横坐标.
∵抛物线$y=a(x+1)(x-3)=ax^2-2ax-3a$的对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$,
∴点A(0,3)关于抛物线对称轴对称的点为(2,3),
∴抛物线$y=ax^2-2ax-3a$与直线$y=3$的交点横坐标为0,2,
∴关于x的一元二次方程$ax^2-2ax=3a+3$的根为$x_1=0,x_2=2$. 故选A.
思路分析
对 $ax^2 - 2ax = 3a+3$ 进行整理得 $ax^2 -2ax-3a=3$,即求二次函数$y=a(x+1)(x-3)$函数值为3时自变量的值.
技巧点拨
画出简图,运用数形结合思想解决此题更加简单,关键是把方程的根转化为抛物线和直线的交点的横坐标.
3[2025浙江杭州期中]二次函数$y_1=ax^2+bx$($a,b$为实数，$a＜0$)图象的对称轴为直线$x=2$，且图象经过点$(m,n)$.若二次函数$y_2=a(x-2)^2+b(x-2)$的图象经过点$(m-2,n)$，则关于$x$的方程$a(x-2)^2+b(x-2)=n$的解是
$x_1=2,x_2=6$
.答案
【解析】由题意可得,二次函数$y_2=a(x-2)^2+b(x-2)$的图象是由二次函数$y_1=ax^2+bx(a,b$为实数,$a＜0)$的图象向右平移2个单位得到的,
∴当点$(m,n)$在$y_1$的图象上时,有$(m+2,n)$在$y_2$的图象上,且平移后的抛物线的对称轴是直线$x=4$.
∵点$(m-2,n)$在$y_2$的图象上,
∴$y_2=a(x-2)^2+b(x-2)$的对称轴是直线$\frac{m-2+m+2}{2}=m=4$,
∴点$(2,n),(6,n)$在$y_2=a(x-2)^2+b(x-2)$的图象上,
∴方程$a(x-2)^2+b(x-2)=n$的解是$x_1=2,x_2=6$. 故答案为$x_1=2,x_2=6$.
∴当点$(m,n)$在$y_1$的图象上时,有$(m+2,n)$在$y_2$的图象上,且平移后的抛物线的对称轴是直线$x=4$.
∵点$(m-2,n)$在$y_2$的图象上,
∴$y_2=a(x-2)^2+b(x-2)$的对称轴是直线$\frac{m-2+m+2}{2}=m=4$,
∴点$(2,n),(6,n)$在$y_2=a(x-2)^2+b(x-2)$的图象上,
∴方程$a(x-2)^2+b(x-2)=n$的解是$x_1=2,x_2=6$. 故答案为$x_1=2,x_2=6$.
4[2026湖北武汉期中]如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$,则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是 (
A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
B
)A.$-4＜x＜-3$
B.$-3＜x＜-2$
C.$-2＜x＜-1$
D.$-1＜x＜0$
答案
【解析】
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,抛物线与x轴的一个交点在$(0,0)$和$(1,0)$之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在$(-2,0)$和$(-3,0)$之间,
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围为$-3＜x＜-2$或$0＜x＜1$. 故选B.
∵抛物线的对称轴为直线$x=-1$,抛物线与x轴的一个交点在$(0,0)$和$(1,0)$之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在$(-2,0)$和$(-3,0)$之间,
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围为$-3＜x＜-2$或$0＜x＜1$. 故选B.
5[2025北京西城区期中]如表是若干组二次函数$y=x^2-4x+c$中的x与y的对应值：
则关于x的方程$x^2-4x+c=0$的一个近似根为
（
A.3.0
B.3.1
C.3.2
D.3.3
则关于x的方程$x^2-4x+c=0$的一个近似根为
（
C
）A.3.0
B.3.1
C.3.2
D.3.3
答案
【解析】
∵二次函数$y=x^2-4x+c$,
∴图象的对称轴为直线$x=2$. 观察表格得方程$x^2-4x+c=0$的一个近似根是0.8. 设另一个近似根为m,则另一个近似根满足$\frac{0.8+m}{2}=2$,
∴$m=3.2$,故选C.
∵二次函数$y=x^2-4x+c$,
∴图象的对称轴为直线$x=2$. 观察表格得方程$x^2-4x+c=0$的一个近似根是0.8. 设另一个近似根为m,则另一个近似根满足$\frac{0.8+m}{2}=2$,
∴$m=3.2$,故选C.
6 已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，若$y ＞ -3$，则自变量$x$的取值范围是（
A.$x＜0$或$x＞2$
B.$x＜1$或$x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$1＜x＜3$
A
）A.$x＜0$或$x＞2$
B.$x＜1$或$x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$1＜x＜3$
答案
【解析】
∵二次函数$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴该抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=1$,令$x=0$,则$y=-3$,
∴抛物线与y轴的交点是$(0,-3)$,
∴点$(0,-3)$关于对称轴的对称点为$(2,-3)$,
∴当$y＞-3$时,自变量x的取值范围是$x＜0$或$x＞2$. 故选A.
∵二次函数$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,
∴该抛物线的开口向上,对称轴为直线$x=1$,令$x=0$,则$y=-3$,
∴抛物线与y轴的交点是$(0,-3)$,
∴点$(0,-3)$关于对称轴的对称点为$(2,-3)$,
∴当$y＞-3$时,自变量x的取值范围是$x＜0$或$x＞2$. 故选A.
7[2026湖南长沙质检]若二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的图象如图所示，则关于$x$的不等式$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$的解集为
$x＜-1或x＞1$
。答案
【解析】由图象可得,当$x＜1$或$x＞3$时,$ax^2+bx+c＜0$,
∴当$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$时,$x+2＜1$或$x+2＞3$,解得$x＜-1$或$x＞1$,故答案为$x＜-1$或$x＞1$.
∴当$a(x+2)^2+b(x+2)+c＜0$时,$x+2＜1$或$x+2＞3$,解得$x＜-1$或$x＞1$,故答案为$x＜-1$或$x＞1$.
8[2026广东广州质检]如图为二次函数$y=-x^2-2x+3$的图象,观察图象回答下列问题:
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$
(2)当$y＞0$时,$x$的取值范围为
(3)若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根,则$t$的取值范围是
(4)当$-3＜x＜3$时,$y$的取值范围是
(1)方程$-x^2-2x+3=0$的解为$x_1=$
-3
, $x_2=$1
;(2)当$y＞0$时,$x$的取值范围为
$-3＜x＜1$
;(3)若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根,则$t$的取值范围是
$t≤4$
;(4)当$-3＜x＜3$时,$y$的取值范围是
$-12＜y≤4$
.答案
【解析】(1)$-x^2-2x+3=0$,解得$x=-3$或1,故答案为-3,1.
(2)从图象看,当$y＞0$时,x的取值范围为$-3＜x＜1$,故答案为$-3＜x＜1$.
(3)$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,则抛物线的顶点为$(-1,4)$,
∴若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根,则t的取值范围是$t≤4$,故答案为$t≤4$.
(4)当$x=-3$时,$y=-x^2-2x+3=0$;当$x=3$时,$y=-x^2-2x+3=-12$,抛物线顶点的纵坐标为4,则当$-3＜x＜3$时,y的取值范围是$-12＜y≤4$,故答案为$-12＜y≤4$.
(2)从图象看,当$y＞0$时,x的取值范围为$-3＜x＜1$,故答案为$-3＜x＜1$.
(3)$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,则抛物线的顶点为$(-1,4)$,
∴若方程$-x^2-2x+3=t$有实数根,则t的取值范围是$t≤4$,故答案为$t≤4$.
(4)当$x=-3$时,$y=-x^2-2x+3=0$;当$x=3$时,$y=-x^2-2x+3=-12$,抛物线顶点的纵坐标为4,则当$-3＜x＜3$时,y的取值范围是$-12＜y≤4$,故答案为$-12＜y≤4$.
