1[2026浙江宁波期末,中]如图,二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(-2,0),B(4,0),C(0,-8)$,那么二次函数$y_2=ax^2+bx+c+8$的图象中,当$y_2＜0$时,自变量$x$的取值范围是 ()

A.$-2＜x＜0$
B.$-2＜x＜2$
C.$0＜x＜2$
D.$2＜x＜4$

(第1题图)
(第3题图)

【解析】
∵二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(-2,0),B(4,0)$,
∴二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象的对称轴为直线$x=\frac{-2+4}{2}=1$,
∴点$(2,-8)$与点$C(0,-8)$关于二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象的对称轴对称.
∵二次函数$y_2=ax^2+bx+c+8$的图象是由二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的图象向上平移8个单位长度得到的,
∴二次函数$y_2=ax^2+bx+c+8$的图象经过点$(0,0)$和$(2,0)$,由图象可知,当$y_2＜0$时,自变量x的取值范围是$0＜x＜2$. 故选C.

2[中]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过$(-2,0)$与$(1,0)$两点，若$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是关于$x$的一元二次方程$-x^2+bx+c+m^2=0$的两根，则下列结论中正确的是（）

A.$-2＜x_1＜x_2＜1$
B.$x_1≤-2＜1≤ x_2$
C.$x_1＜-2＜1＜x_2$
D.$-2≤ x_1＜x_2≤1$

【解析】
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过$(-2,0)$与$(1,0)$两点,$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是关于x的一元二次方程$-x^2+bx+c+m^2=0$的两根,
∴$x_1,x_2(x_1＜x_2)$是二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与直线$y=-m^2$的交点的横坐标,如图所示,由图象可得,$x_1≤-2＜1≤x_2$,故选B.

3[2025浙江宁波期中,中]二次函数$y=x^2+bx$的图象如图,对称轴为直线$x=1$.若关于$x$的一元二次方程$x^2+bx-t=0(b,t$为实数$)$在$-1＜x＜4$的范围内有解,则$t$的取值范围是.

【解析】抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2×1}=1$,解得$b=-2$,
∴二次函数解析式为$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$. 当$x=1$时,$y=-1$,当$x=-1$时,$y=3$,当$x=4$时,$y=8$.
∵方程$x^2+bx-t=0$的解相当于抛物线$y=x^2+bx$与直线$y=t$的交点的横坐标,
∴当$-1≤t＜8$时,关于x的一元二次方程$x^2+bx-t=0$在$-1＜x＜4$的范围内有解. 故答案为$-1≤t＜8$.
思路分析
根据对称轴求出b的值,从而得到$x=1,-1,4$时的函数值,再根据一元二次方程$x^2+bx-t=0(b,t$为实数)在$-1＜x＜4$的范围内有解相当于抛物线$y=x^2+bx$与直线$y=t$在$-1＜x＜4$的范围内有交点求解.

4[较难]已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴的一个交点为$(2,0)$，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有整数根，则$p$的值有个.

【解析】
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$的对称轴为直线$x=-1$,
∴$-\frac{b}{2a}=-1$,解得$b=2a$. 又
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a＜0)$与x轴的一个交点为$(2,0)$,把$(2,0)$代入$y=ax^2+bx+c$,得$0=4a+4a+c$,解得$c=-8a$,
∴$y=ax^2+2ax-8a(a＜0)$,则函数的最大值为$\frac{4a·(-8a)-4a^2}{4a}=-9a$,
∴抛物线顶点坐标为$(-1,-9a)$. 令$ax^2+2ax-8a=0$,即$x^2+2x-8=0$,解得$x=-4$或$x=2$,
∴当$a＜0$时,抛物线始终与x轴交于$(-4,0),(2,0)$. 如图所示,当$ax^2+bx+c=p(p＞0)$有实数根时,$0＜p≤-9a$,$-4＜x＜2$,其中x为整数时,$x=-3,-2,-1,0,1$,
∴一元二次方程$ax^2+bx+c=p(p＞0)$的整数解有5个. 由抛物线的对称性可知$x=-3$与$x=1$时的函数值相等,$x=-2$与$x=0$时的函数值相等,当$x=-1$时,直线$y=p$恰好过抛物线顶点,
∴p的值有3个. 故答案为3.

5[2025北京海淀区质检,中]在平面直角坐标系xOy中,一次函数$y=kx+b$的图象与二次函数$y=ax^2 - 2ax + \frac{1}{2}$的图象交于点$A(1,0),B(3,2)$.
(1)求一次函数解析式;
(2)若抛物线$y=ax^2 - 2ax + n$与x轴存在交点,且当$x＞3$时,对于x的每一个值,函数$y=ax^2 - 2ax + n$的值都大于函数$y=kx+b$的值,请直接写出n的值.

(1)把$A(1,0),B(3,2)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}k+b=0,\\3k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=-1,\end{cases}$
∴一次函数解析式为$y=x-1$.
(2)$n=\frac{1}{2}$. 把$A(1,0)$代入$y=ax^2-2ax+\frac{1}{2}$,得$a-2a+\frac{1}{2}=0$,解得$a=\frac{1}{2}$,则$y=\frac{1}{2}x^2-x+n$.
∵抛物线$y=\frac{1}{2}x^2-x+n$与x轴存在交点,且当$x＞3$时,对于x的每一个值,函数$y=\frac{1}{2}x^2-x+n$的值都大于函数$y=x-1$的值,
∴易得$\begin{cases}\frac{9}{2}-3+n≥2,\\1-4×\frac{1}{2}n≥0,\end{cases}$
∴$n=\frac{1}{2}$.

6 思想方法 数形结合 [较难]利用函数图象探究方程$x(|x|-2)=\frac{1}{2}$的实数根的个数.
(1)设函数$y=x(|x|-2)$,则这个函数的图象与直线$y=\frac{1}{2}$的交点的横坐标就是方程$x(|x|-2)=\frac{1}{2}$的实数根.
(2)分类讨论:当$x≤0$时,$y=-x^2-2x$；当$x＞0$时,$y=$.
(3)如图,在给定的坐标系中,已经画出了当$x≤0$时的函数图象,请根据(2)中的解析式,通过描点、连线,画出当$x＞0$时的函数图象.
(4)如图,在给定的坐标系中画直线$y=\frac{1}{2}$,观察图象可知方程$x(|x|-2)=\frac{1}{2}$的实数根有个.
(5)深入探究:若关于$x$的方程$2x(|x|-2)=m$有三个不相等的实数根,且这三个实数根的和为负数,则$m$的取值范围是.

(2)当$x＞0$时,$y=x(|x|-2)=x(x-2)=x^2-2x$,故答案为$x^2-2x$.
(3)如图(1)所示.
(4)如图(1),直线$y=\frac{1}{2}$与$y=x(|x|-2)$的图象有3个交点,故方程$x(|x|-2)=\frac{1}{2}$的实数根有3个. 故答案为3.

(5)根据题意画出图象,如图(2),此时直线$y=m$与函数$y=2x(|x|-2)$图象的交点的横坐标$x_1＜0＜x_2＜x_3$,且$x_2+x_3=2$,$x_1＜-2$,
∴$x_1+x_2+x_3＜0$,
∴$-2＜m＜0$,
∴关于x的方程$2x(|x|-2)=m$有三个不相等的实数根,且这三个实数根的和为负数,则m的取值范围是$-2＜m＜0$,故答案为$-2＜m＜0$.

关键点拨
(4)利用数形结合,将问题转化为求$y=x·(|x|-2)$的图象与直线$y=\frac{1}{2}$的交点个数.