4[2026四川绵阳期末,中]如图,抛物线$y=x^2-3kx+6k-5$与x轴相交于A,B两点,当抛物线与x轴围成的区域(阴影部分)面积最小时,k的值是.

4. 4/3 【解析】设A(x₁,0),B(x₂,0).当y=0时,x²-3kx+6k-5=0,
∴ x₁+x₂=3k,x₁x₂=6k-5,
∴ (x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(3k)²-4(6k-5)=9k²-24k+20,
∴ AB=√(9k²-24k+20)=√((3k-4)²+4).抛物线y=x²-3kx+6k-5是由抛物线y=x²平移得到的,当AB取最小值时,阴影部分的面积最小,此时3k-4=0,
∴ k=4/3,故答案为4/3.
关键点拨：利用一元二次方程根和系数的关系表示出AB是解题关键.

5[2025湖北武汉质检,较难]如图(1),已知抛物线$C_1:y=\frac{1}{4}x^2+bx+c$经过y轴正半轴上一点$C(0,2)$和x轴负半轴上一点A,且$\frac{OC}{OA}=2$.
(1)求抛物线$C_1$的解析式.
(2)将抛物线$C_1$平移至其顶点与点$(0,1)$重合得到抛物线$C_2$,如图(2)所示,设抛物线$C_2$上有任意一点P,过P作$PM⊥x$轴于点M,y轴正半轴上存在一定点N,使得线段$PM=PN$恒成立,请求出N点坐标.
(3)在(2)的基础上,设过点N的直线l分别交抛物线$C_2$于D,E两点(点D在点E右侧),如图(3)所示,请求出$DN+3EN$的最小值.

5.【解】(1)
∵ C(0,2),OC/OA=2,且点A位于x轴负半轴上,
∴ OC=2,OA=1,
∴ A(-1,0).把A(-1,0),C(0,2)代入y=1/4 x²+bx+c得,{1/4 -b +c=0,c=2,解得{b=9/4,c=2,
∴ 抛物线C₁的解析式为y=1/4 x²+9/4 x+2.
(2)
∵ 将抛物线C₁平移至其顶点与点(0,1)重合得到抛物线C₂,
∴ 抛物线C₂的函数解析式为y=1/4 x²+1.设P(p,1/4 p²+1),N(0,n).
∵ PM⊥x轴,
∴ PM=1/4 p²+1,PN²=p²+(1/4 p²+1 -n)²,当PM=PN时,PM²=PN²,
∴ (1/4 p²+1)²=p²+(1/4 p²+1 -n)²,整理得(1 - n/2)p² -2n +n²=0.
∵ y轴正半轴上存在一定点N,使得线段PM=PN恒成立,
∴ 1 - n/2=0,
∴ n=2,
∴ N(0,2).
(3)思路分析：作EG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H,设出E,D两点的坐标,求出直线l的解析式,根据坐标表示出DN+3EN,进而可得最小值.
如图,作EG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.设E(e,1/4 e²+1),D(d,1/4 d²+1).由(2)知,EG=EN,DN=DH,
∴ DN+3EN=1/4 d²+1 + 3/4 e² +3=1/4 d² + 3/4 e² +4.设直线l的解析式为y=kx+m,把点E、点D的坐标代入得,{ek+m=1/4 e²+1,dk+m=1/4 d²+1,解得{k=1/4(d+e),m=1 - 1/4 de,
∴ y=1/4(d+e)x +1 - 1/4 de.
∵ N(0,2)在直线l上,
∴ 1 - 1/4 de=2,
∴ de=-4,
∴ d=-4/e,
∴ DN+3EN=4/e² + 3/4 e² +4=(2/e - √3 e/2)² + 2√3 +4.
∵ (2/e - √3 e/2)²≥0,
∴ DN+3EN的最小值是2√3 +4.

6[中]如图,抛物线$y=ax^2+bx+c$($a,b,c$为常数,$a≠0$)经过点$A(-1,0),B(5,-6),C(6,0)$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,连接$AB$,点$P$在直线$AB$下方的抛物线上,求出$△ ABP$的面积最大时点$P$的坐标.

6.【解】(1)设y=a(x+1)(x-6)(a≠0).把B(5,-6)代入,得a(5+1)(5-6)=-6,解得a=1,
∴ y=(x+1)(x-6)=x²-5x-6.
(2)大招解读：铅垂法巧求面积最值 铅垂法是一种求三角形面积的特殊方法,主要解决的是斜三角形面积问题.具体公式为三角形面积等于水平宽和铅垂高乘积的一半.三角形的水平宽指的是两个顶点之间的水平距离,而铅垂高是指从一个顶点到对边的铅垂高度. S△ABC=1/2·l·h
如图,连接AP,BP,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E.由A(-1,0),B(5,-6),易得直线AB的解析式为y=-x-1.设P(m,m²-5m-6)(-1＜m＜5),则E(m,-m-1),
∴ PE=(-m-1)-(m²-5m-6)=-m²+4m+5,
∴ S△ABP=1/2 PE·(x_B -x_A)=1/2(-m²+4m+5)×6=-3(m-2)²+27.
∵ -3＜0,
∴ 当m=2时,S△ABP最大,此时P(2,-12).

7[2026广东东莞期末,较难]如图,抛物线$y=x^2-4x$与x轴相交于原点O和点A,直线$y=x$与抛物线在第一象限的交点为点B,抛物线的顶点为点C.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)点E是点B关于抛物线对称轴的对称点,点F是直线OB下方的抛物线上的动点,EF与直线OB交于点G.设$△ BFG$和$△ BEG$的面积分别为$S_1$和$S_2$,求$\frac{S_1}{S_2}$的最大值.

7.【解】(1)
∵ 抛物线y=x²-4x=(x-2)²-4,
∴ C(2,-4).
∵ 直线y=x与抛物线在第一象限的交点为点B,
∴ 联立得{y=x,y=x²-4x,解得{x=5,y=5或{x=0,y=0(舍去),
∴ B(5,5).故点B和点C的坐标分别为(5,5)和(2,-4).
(2)
∵ 点B(5,5)与点E关于对称轴x=2对称,
∴ E(-1,5).如图,分别过点E,F作y轴的平行线,交直线OB于点M,N,
∴ M(-1,-1),
∴ EM=6.设F(m,m²-4m)(0＜m＜5),则N(m,m),
∴ FN=m-(m²-4m)=-m²+5m.
∵ S₁=1/2 FN(x_B -x_C),S₂=1/2 EM(x_B -x_G),
∴ S₁/S₂=FN/ME=(-m²+5m)/6=-1/6(m²-5m)=-1/6(m-5/2)²+25/24.
∵ -1/6＜0,
∴ 当m=5/2时,S₁/S₂取最大值,为25/24.
结论证明：证明:如图,S△ABC=S△ABF + S△BCF=1/2 BF·AG +1/2 BF·EC=1/2 BF·(AG+EC)=1/2 BF·(AG+GD)=1/2 BF·AD.
易错警示：函数可以是一次函数,也可以是二次函数,注意要分类讨论,不要漏解.
关键点拨：解题的关键是正确表示出两个三角形面积的比.