1[中]如图,已知抛物线过点$O(0,0),A(5,5)$,其对称轴为直线$x=2$.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限.
①当$△ OAB$的面积为15时,求点B的坐标;
②在①的条件下,P是抛物线上的动点,当$PA-PB$取得最大值时,求点P的坐标.

1.【解】(1)
∵ 抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为直线x=2,
∴ 抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(4,0).设抛物线解析式为y=ax(x-4).把A(5,5)代入,得5a=5,解得a=1,
∴ 此抛物线的解析式为y=x²-4x.
(2)①如图(1),点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,
∴ 设B(2,m)(m＞0),直线OA的解析式为y=kx,则5k=5,解得k=1,
∴ 直线OA的解析式为y=x.设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),
∴ BH=|m-2|.
∵ S△OAB=15,
∴ 1/2×|m-2|×5=15,解得m=8或m=-4(舍去),
∴ 点B的坐标为(2,8).
②设直线AB的解析式为y=cx+d.把A(5,5),B(2,8)代入得{5c+d=5,2c+d=8,解得{c=-1,d=10,
∴ 直线AB的解析式为y=-x+10.
如图(2),当PA-PB的值最大时,点A,B,P在同一条直线上.
关键点拨：当P,B,A共线时,PA-PB的值最大.
∵ P是抛物线上的动点,
∴ 联立得{y=-x+10,y=x²-4x,解得{x₁=-2,y₁=12,{x₂=5,y₂=5(舍去),
∴ P(-2,12).

2[2026江苏苏州期中,中]如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与y轴交于点$A(0,3)$,与x轴交于点$B(1,0)$、点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接AB,AE,求$△ ABE$的面积;
(3)线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D的下方),且$CD=BE$,当$AD+BC$的值最小时,求点C的坐标.

2.【解】(1)
∵ 二次函数y=x²+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(1,0)、点E,
∴ 将点A、点B的坐标分别代入,得{c=3,1+b+c=0,解得{c=3,b=-4,
∴ 抛物线的解析式为y=x²-4x+3.
(2)令y=x²-4x+3中y=0,则x²-4x+3=0,解得x₁=1,x₂=3,
∴ E(3,0).又
∵ 点A(0,3),点B(1,0),
∴ BE=2,AO=3,
∴ △ABE的面积=1/2×BE·AO=1/2×2×3=3.
(3)
∵ CD=BE,
∴ CD=2.如图,将点A沿y轴向下平移2个单位,得到点F,连接CE,CF,EF,
∴ AF=2.
关键点拨：本题是“造桥选址”与“将军饮马”的综合,先平移,再找对称点,然后再求坐标.
∵ CD=2,
∴ AF=CD.
∵ 抛物线的对称轴//y轴,且线段CD在抛物线的对称轴上,线段AF在y轴上,
∴ CD//AF,
∴ 四边形CDAF是平行四边形,
∴ AD=CF.
∵ 抛物线是轴对称图形,
∴ BC=CE,
∴ AD+BC=CF+CE≥EF,
∴ 当F,C,E三点共线,即点C是EF与抛物线对称轴的交点时,AD+BC的值最小.
∵ A(0,3),由平移的性质可得点F的纵坐标为3-2=1,
∴ F(0,1).设直线EF的解析式为y=kx+t,将点E,F的坐标分别代入,得{3k+t=0,t=1,解得{k=-1/3,t=1,
∴ 直线EF的解析式为y=-1/3x+1.抛物线y=x²-4x+3的对称轴为直线x=-(-4)/(2×1)=2,当y=-1/3x+1中x=2时,y=1/3,
∴ C(2,1/3).

3[中]如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = -x^2 -4x +c$与$x$轴交于点$A,B$(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C$,且点$C$的坐标为$(0,5)$.
(1)求点$A$的坐标;
(2)若点$P$是第二象限内抛物线上一动点,求点$P$到直线$AC$距离的最大值.

3.【解】(1)
∵ 点C(0,5)在抛物线y=-x²-4x+c上,
∴ c=5,
∴ y=-x²-4x+5,令y=0,得0=-x²-4x+5,解得x=1或-5,
∴ 点A的坐标为(-5,0).
(2)过P作PE⊥直线AC于点E,过点P作PF⊥x轴于点F,交AC于点H,如图.
∵ A(-5, 0), C ( 0, 5 ),
∴ OA=OC,
∴ △AOC是等腰直角三角形,
∴ ∠CAO=45°.
∵ PF⊥x轴,
∴ ∠AHF=45°=∠PHE,
∴ △PHE是等腰直角三角形,
∴ PE=PH/√2,
∴ 当PH取最大值时,PE取最大值.
设直线AC的解析式为y=kx+5,将A(-5,0)代入得0=-5k+5,
∴ k=1,
∴ 直线AC的解析式为y=x+5.设P(m,-m²-4m+5)(-5＜m＜0),则H(m,m+5),
∴ PH=(-m²-4m+5)-(m+5)=-(m+5/2)²+25/4.
∵ a=-1＜0,
∴ 当m=-5/2时,PH取得最大值,为25/4,
∴ PE=25/(4√2)=25√2/8,
∴ 点P到直线AC距离的最大值为25√2/8.